知識點(diǎn)31與圓有關(guān)的位置關(guān)系

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上一、選擇題5（2019·蘇州）如圖，AB為O的切線切點(diǎn)為A，連接AO，BO，BO與O交于點(diǎn)C，延長BO與O交于點(diǎn)D，連接AD若ABO =36°，則ADC的度數(shù)為（ ） A54 ° B36° C32 ° D27°（第5題）【答案】D【解析】本題考查了切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)AB為O的切線，OAB=90°，ABO=36°，AOB=90°-ABO=54°，OA=OD，ADC=OAD，AOB=ADC+OAD，ADC=AOB=27

2、6;，故選D1. （2019·無錫）如圖，PA是O的切線，切點(diǎn)為A，PO的延長線交O于點(diǎn)B，若P=40°，則B的度數(shù)為 （ ）A.20° B.25° C.40° D.50°【答案】B【解析】PA是O的切線，切點(diǎn)為A，OAAP，OAP=90°，APB=40°，AOP=50°，OA=OB，B=OAB=AOP=25°故選B2.（2019·自貢）如圖，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（8，0）、（0，8），點(diǎn)C、F分別是直線x=-5和x軸上的動點(diǎn)，CF=10，點(diǎn)D是線段CF的中點(diǎn)，連接AD交y軸于點(diǎn)

3、E，當(dāng)ABE的面積取得最小值時(shí)，tanBAD的值是（ ） A.817B.717C.49D.59【答案】B.【解析】A（8，0），B（0，8），AOB=900，AOB是等腰直角三角形，AB=82，OBA=450，取D（-5，0），當(dāng)C、F分別在直線x=-5和x軸上運(yùn)動時(shí)，線段DH是RtCFD斜邊上中線，DH=12CF=10，故D在以H為圓心,半徑為5的圓上運(yùn)動，當(dāng)AD與圓H相切時(shí)，ABE的面積最小.在RtADH中，AH=OH+OA=13,AD=AH2-AD2=12.AOE=ADH=900，EAO=HAD，AOEADH，OEAO=DHAD，即OE8=512，OE=103，BE=OB-OE=143.

4、SABE=12BE·OA=12AB·EG，EG=BE·OAAB=143×882=723.在RtBGE中，EBG=450，BG=EG=723，AG=AB-BG=1723.在RtAEG中，tanBAD=EGAG=717.故選B.3. (2019·臺州)如圖,等邊三角形ABC的邊長為8,以BC上一點(diǎn)O為圓心的圓分別與邊AB,AC相切,則¤O的半徑為( )A.B.3C.4D.【答案】A【解析】¤O與AB,AC相切,ODAB,OEAC,又ODOE,DAOEAO,又ABAC,BOCO,DAO30°,BO4,ODOAtanDAO

5、OA,又在RtAOB中,OD,故選A.4.（2019·重慶B卷）如圖，AB是O的直徑，AC是O的切線，A為切點(diǎn)，若C40°則B的度數(shù)為（）A.60° B.50° C.40° D.30°【答案】【解析】圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑，因?yàn)锳C是O的切線，A為切點(diǎn)，所以BAC90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，若C40°則B的度數(shù)為50°. 故選5. （2019·重慶A卷）如圖，AB是O的直徑，AC是O的切線，A為切點(diǎn)，BC與O交于點(diǎn)D，連結(jié)OD若C50°，則AOD的度數(shù)為 （ ）A40°

6、; B50° C80° D100°【答案】C【解析】AC是O的切線，ACABC50°，B90°C40°OBOD，BODB40°AODBODB80°故選C67.8.910.二、填空題1.（2019·岳陽）如圖，AB為O的直徑，點(diǎn)P為AB延長線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作O的切線PE，切點(diǎn)為M，過A、B兩點(diǎn)分別作PE的垂線AC、BD，垂足分別為C、D，連接AM，則下列結(jié)論正確的是_（寫出所有正確結(jié)論的序號）AM平分CAB；AM2=AC·AB；若AB=4，APE=30°，則的長為；若AC=3，BD=1

7、，則有CM=DM=【答案】【解析】連接OM，BMPE是O的切線，OMPEACPE，ACOMCAMAMOOAOM，AMOMAOCAM=MAOAM平分CAB選項(xiàng)正確；AB為直徑，AMB=90º=ACMCAM=MAO，AMCABMAM2=AC·AB選項(xiàng)正確；P=30°，MOP=60°AB=4，半徑r=2選項(xiàng)錯(cuò)誤；BDOMAC，OA=OB，CM=MDCAMAMC=90°，AMCBMD=90°，CAMBMDACM=BDM=90°，ACMMDBCM·DM=3×1=3CM=DM=選項(xiàng)正確；綜上所述，結(jié)論正確的有2. （

8、2019·無錫）如圖，在ABC中，ACBCAB=51213，O在ABC內(nèi)自由移動，若O的半徑為1，且圓心O在ABC內(nèi)所能到達(dá)的區(qū)域的面積為，則ABC的周長為_.【答案】25【解析】如圖，圓心O在ABC內(nèi)所能到達(dá)的區(qū)域是O1O2O3，O1O2O3三邊向外擴(kuò)大1得到ACB，它的三邊之比也是51213， O1O2O3的面積=，O1O2=，O2O3=4，O1O3=，連接AO1 與CO2，并延長相交于I，過I作IDAC于D，交O1O2于E，過I作IGBC于G交O3O2于F，則I是RtABC與RtO1O2O3的公共內(nèi)心，四邊形IEO2F四邊形IDCG都是正方形，IE=IF= =，ED=1，ID=

9、IE+ED=，設(shè)ACB的三邊分別為5m、12m、13m，則有ID=2m=，解得m=，ABC的周長=30m=25.3. （2019·濟(jì)寧）如圖，O為RtABC直角邊AC上一點(diǎn)，以O(shè)C為半徑的O與斜邊AB相切于點(diǎn)D，交OA于點(diǎn)E，已知BC，AC3則圖中陰影部分的面積是 【答案】【解析】在RtABC中，A30°O與斜邊AB相切于點(diǎn)D，ODAB設(shè)O的半徑為r，在RtADO中，解得r，陰影的面積是S××()24. （2019·眉山）如圖，在RtAOB中，OA=OB=，O的半徑為2，點(diǎn)P是AB邊上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作O的一條切線PQ（點(diǎn)Q為切點(diǎn)），則線段PQ長

10、的最小值為【答案】【解析】連接OQ，如圖所示，PQ是O的切線，OQPQ，根據(jù)勾股定理知：PQ2=OP2-OQ2，當(dāng)POAB時(shí)，線段PQ最短，在RtAOB中，OA=OB=，AB=OA=8，SAOB= OAOB=ABOP，即OP=4，PQ= =故答案為： .5. (2019·寧波)如圖,RtABC中,C90°,AC12 ,點(diǎn)D在邊BC上,CD5,BD13.點(diǎn)P是線段AD上一動點(diǎn),當(dāng)半徑為6的P與ABC的一邊相切時(shí),AP的長為_.【答案】或【解析】半徑為6的P與ABC的一邊相切,可能與AC,BC,AB相切,故分類討論:當(dāng)P與AC相切時(shí),點(diǎn)P到AC的距離為6,但點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動

11、,距離最大在點(diǎn)D處取到,為5,故這種情況不存在;當(dāng)P與AC相切時(shí),點(diǎn)P到BC的距離為6,如圖PE6,PEAC,PE為ACD的中位線,點(diǎn)P為AD中點(diǎn),AP;當(dāng)P與AB相切時(shí),點(diǎn)P到AB的距離為6,即PF6,PFAB,過點(diǎn)D作DGAB于點(diǎn)G,APFADGABC,其中,PF6,AC12,AB,AP;綜上所述,AP的長為或.67.8.910.三、解答題23（2019·衡陽）如圖，點(diǎn)A、B、C在半徑為8的O上，過點(diǎn)B作BDAC，交OA延長線于點(diǎn)D，連接BC，且BCAOAC30°（1）求證：BD是O的切線；（2）求圖中陰影部分的面積解：（1）證明：連接OB交AC于E，由BCA30

12、76;，AOB60°在AOE中，OAC30°，OEA90°，所以O(shè)BACBDAC，OBBD又B在圓上，BD為O的切線；（2）由半徑為8，所以O(shè)A=OB=8在AOC中，OACOCA30°，COA120°，AC8由BCAOAC30°，OABC，而BDAC，四邊形ABCD是平行四邊形.BD8OBD的面積為×8×832，扇形OAB的面積為××82，陰影部分的面積為3224（2019·淮安）如圖，AB是O的直徑，AC與O交于點(diǎn)F，弦AD平分BAC，DEAC，垂足為E.(1)試判斷直線DE與O的位

13、置關(guān)系，并說明理由；(2)若O的半徑為2，BAC=60°，求線段EF的長.第24題圖【解題過程】（1）直線DE與O相切.理由如下：第24題答圖1如圖所示，連接OD，則OA=OD，ODA=BAD.弦AD平分BAC，F(xiàn)AD=BAD.FAD=ODA，ODAF.又DEAC，DEOD，直線DE與O相切.（2）連接BD，AB是O的直徑，ADB=90°.第24題答圖1AD平分BAC，BAC=60°，F(xiàn)AD=BAD=30°，B=60°，DFE=B=60°.O的半徑為2，AB=4，.22（2019·常德，22題，7分）如圖6，O與ABC的AC

14、邊相切于點(diǎn)C，與AB、BC邊分別交于點(diǎn)D、E，DEOA，CE是O的直徑 （1）求證：AB是O的切線； （2）若BD4，CE6，求AC的長 【解題過程】證明：（1）連接OD，DEOA，AOCOED，AODODE，ODOE，OEDODE，AOCAOD，又OAOA，ODOC，AOCAOD（SAS），ADOACOCE是O的直徑，AC為O的切線，OCAC， OCA90°，ADO90°，ODAB，OD為O的半徑，AB是O的切線（2）CE6，ODOC3，BDO90°，BD4，OB5，BC8，BDO OCA90°，BB，BDOBCA，AC621（2019·武漢

15、）已知AB是O的直徑，AM和BN是O的兩條切線，DC與O相切于點(diǎn)E，分別交AM、BN于D、C兩點(diǎn)（1） 如圖1，求證：AB24AD·BC（2） 如圖2，連接OE并延長交AM于點(diǎn)F，連接CF若ADE2OFC，AD1，求圖中陰影部分的面積 圖1 圖2【解題過程】證明：（1）如圖1，連接OD，OC，OEAD，BC，CD是O的切線，OAAD，OBBC，OECD，ADED，BCEC，ODEADC，OCEBCDAD/BC，ODEOCE（ADCBCD）90°，ODEDOE90°，DOEOCE又OEDCEO90°，ODECOE，OE2ED·EC4OE24AD&

16、#183;BC，AB24AD·BC（2）解：如圖2，由（1）知ADEBOE，ADE2OFC，BOE2COF，COFOFC，COF等腰三角形。OECD，CD垂直平分OFAODDOEOFD30°，BOE120°，BCOB×tan60°3S陰影2SOBCS扇形OBE3圖1 圖226（2019·隴南）如圖，在ABC中，ABAC，BAC120°，點(diǎn)D在BC邊上，D經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B且與BC邊相交于點(diǎn)E（1）求證：AC是D的切線；（2）若CE2，求D的半徑（1）證明：連接AD，ABAC，BAC120°，BC30°，ADB

17、D，BADB30°，ADC60°，DAC180°60°30°90°，AC是D的切線；（2）解：連接AE，ADDE，ADE60°，ADE是等邊三角形，AEDE，AED60°，EACAEDC30°，EACC，AECE2，D的半徑AD224(2019·泰州,24題,10分) 如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于O,AC為O的直徑,D為弧AC的中點(diǎn),過點(diǎn)D作DEAC,交BC的延長線于點(diǎn)E.(1)判斷DE與O的位置關(guān)系,并說明理由;(2)若O的半徑為5,AB8,求CE的長.第24題圖【解題過程】(1)DE為O的切線

18、,理由如下:連接OD,AC為O的直徑,D為弧AC的中點(diǎn),弧AD弧CD,所以ADDC,因?yàn)锳OOC,所以O(shè)DAC,AODCOD90°,又DEAC,EDOAOD90°,所以O(shè)DDE,DE為O的切線;第24題答圖(2)DEAC,EDCACD,ACDABD,所以EDCABD,又DCEBAD,DCEBAD,半徑為5,AC10, D為弧AC的中點(diǎn),ADCD,CE1. （2019·金華）如圖，在OABC中，以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓與BC相切于點(diǎn)B，與OC相交于點(diǎn)D.（1）求的度數(shù)；（2）如圖，點(diǎn)E在O上，連結(jié)CE與O交于點(diǎn)F.若EF=AB，求OCE的度數(shù).解： 1）連結(jié)OBB

19、C是O的切線，OBBC，四邊形OABC是平行四邊形OABC，OBOAAOB是等腰直角三角形ABO45°OCAB，BOCABO45°的的度數(shù)為45°；（2）連結(jié)OE，過點(diǎn)O作OHEC于點(diǎn)H，設(shè)EHt，OHEC，EF2HE2t，四邊形OABC是平行四邊形ABCOEF2t，AOB是等腰直角三角形O的半徑OAt在RtEHO中，OHt在RtOCH中，OC2OH，OCE30°2. （2019·湖州）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1分別交x軸和y軸于點(diǎn)A(3，0)、B(0，3)（1）如圖1，已知P經(jīng)過點(diǎn)O，且與直線l1相切于點(diǎn)B，求P的直徑長；（2）如

20、圖2，已知直線l2：y3x3分別交x軸和y軸于點(diǎn)C和點(diǎn)D，點(diǎn)Q是直線l2上的一個(gè)動點(diǎn)，以Q為圓心，2為半徑畫圓當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，求證：直線l1與Q相切；設(shè)Q與直線l1相交于點(diǎn)M，N，連結(jié)QM，QN問：是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得QMN是等腰直角三角形，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：（1）如答圖1，連接PO、PBP與直線l1相切于點(diǎn)B， ABBPA(3，0)、B(0，3)，OAOB3又AOB90°，OBAOAB45°PBO45°PBPO，OPB90°在RtPOB中，由sinPBO，得POOBsinPBO3×sin45°P

21、的直徑為3（2）如答圖2，過點(diǎn)C作CEAB于點(diǎn)E易知C(1，0)，從而AC314在RtACE中，由sinCAE，得CEACsinCAE4×sin45°2Q的半徑為2，且點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，Q與直線l1相切假設(shè)存在符合條件的等腰直角三角形，令直線l1、l2相交于點(diǎn)F易求直線AB的解析式為yx3 分兩種情況討論如下：若點(diǎn)Q在線段CF上，如答圖3，由MNQNAG45°，得AGN90°，從而點(diǎn)Q、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，不妨令Q(m，3m3)，則N(m，m3)，于是由NQ2，得(m3)(3m3)2，解得m3，故Q(3，63)若點(diǎn)Q在線段CF的延長線上，如答圖4，由可知(

22、3m3)(m3)2，解得m3，故Q(3，63) 綜上，存在符合條件的點(diǎn)Q有兩個(gè)：Q1(3，63)，Q2(3，63)3. （2019·天津）已知PA,PB分別與O相切于點(diǎn)A,B，APB=80°，C為O上一點(diǎn)，(1)如圖，求ACB的大?。?2)如圖，AE為O的直徑，AE與BC相交于點(diǎn)D，若AB=AD，求EAC的大小.解：（1）如圖，連接OA,OBPA,PB分別是切線OAPA,OBPB,即PAO=PBO=90°APB=80°在四邊形OAPB中，AOB=360°-90°-90°-80°=100°ACB=AOB=5

23、0°.（2）如圖，連接CE,AE為直徑，ACE=90°，由（1）知，ACB=50°，BCE=ACE-ACB=40°，BAE=BCE=40°，在ABD中，AB=AD,ADB=ABD=70°ACD中，ADB是外角，EAC=ADB-ACB=70°-50°=20°24（2019·婁底）如圖（12），點(diǎn)D在以AB為直徑的O上，AD平分BAC，DCAC，過點(diǎn)B作O的切線交AD的延長線于點(diǎn)E（1）求證：直線CD是O的切線（2）求證：【解題過程】證明：（1）如圖，連結(jié)OD，在O中，有OAOD，OADODA，又A

24、D平分BAC，OADCAD，ODACAD，又DCACADC+ADO90°ODC90°，即ODCD；直線CD是O的切線（2）如圖，連結(jié)BD，AB為O的直徑，ADBBDE90°又DCACACD BDEBE為O的切線，DCAC，AD平分BAC，EADCACDBDE4. （2019·攀枝花） 如圖1，有一個(gè)殘缺的圓，請做出殘缺圓的圓心O（保留作圖痕跡，不寫做法） 如圖2，設(shè)AB是該殘缺圓O的直徑，C是圓上一點(diǎn)，CAB的角平分線AD交O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作O的切線交AC的延長線于點(diǎn)E （1）求證：AEDE；（2）若DE3，AC2，求殘缺圓的半圓面積解：圖1問題解答如下

25、:如圖， 點(diǎn)即為所求圖2問題解答如下：（1）證明：連接OD交BC于HAB是該殘缺圓O的直徑，ACB90°DE為O的切線ODDEAD平分CABCADDABODOA,DABODACADODAEAEDE（2）AB是O的直徑,ACB90°ODAE,ODBCBC2CH四邊形CEDH為矩形DE3，CHED3,BC6,AC2，AB2,AO, S半圓·AO255. （2019·涼山）如圖，點(diǎn)D是以AB為直徑的O上一點(diǎn)，過點(diǎn)B作O的切線，交AD的延長線于點(diǎn)C，E是BC的中點(diǎn)，連接DE并延長與AB的延長線交于點(diǎn)F.（1）求證：DF是O的切線；（2）若OB=BF，EF=4，求

26、 AD 的長.解：（1）證明：連接OD.O的切線，BCOB，OBC=90°.AB為O直徑，ADB=90°，ADB+CDB =180°，CDB =90°.E是BC的中點(diǎn)，ED=EB=BC，EDB=EBD.OD=OB，ODB=OBD，ODF=OBC=90°,DFOD，DF是O的切線；（2）由（1）知ODB=90°，OD=OB=BF，sinF=,F=30°，DOB+F =90°，DOB=60°，ODB是等邊三角形，OBD=60°，tanOBD=，AD=BD.BCAF， sinF=,EF=4，BE=2，

27、BF=2=OB=DB，AD=BD=6.6（2019·樂山）已知關(guān)于的一元二次方程.（1）求證：無論為任何實(shí)數(shù)，此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為、，滿足，求的值；（3）若的斜邊為5，另外兩條邊的長恰好是方程的兩個(gè)根、，求的內(nèi)切圓半徑.解：（1）證明： ， 無論為任何實(shí)數(shù)時(shí)，此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.（2）由題意得：， ，即， 解得：； （3）解方程得：， 根據(jù)題意得：，即， 設(shè)直角三角形的內(nèi)切圓半徑為，如圖， 由切線長定理可得：，直角三角形的內(nèi)切圓半徑=； 第23題答圖24（2019·樂山）如圖，直線與相離，于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，.是直線上一點(diǎn)，連結(jié)并延長交于另一點(diǎn)，且.（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為，求線段的長.第24題圖解：證明：(1)如圖，連結(jié)，則， ，而，即，即， ，故是的切線； (2)由(1)知：，而，由勾股定理，得：， 過作于，則， 在和中， ， 又，. 7. （2019·達(dá)州）如圖，O是ABC的外接圓， BAC的平分線交O于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作直線DFBC.（1） 判斷直線DF與O的位置關(guān)系，并說明理由；（2） 若AB=6，AE=，CE=，求BD的長. 解：(1)DF與相切.理由：證明：連接OD，AD平分BAC