用放縮法證明不等式

1、不等式是高考數(shù)學中的難點，而用放縮法證明不等式學生更加難以掌握。不等式是衡量學生數(shù)學素質(zhì)的有效工具，在高考試題中不等式的考查是熱點難點。本難點著重培養(yǎng)考生數(shù)學式的變形能力，邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力。放縮法的理論依據(jù)是不等式性質(zhì)的傳遞性，難在找中間量，難在怎樣放縮、怎樣展開。證明不等式時，要依據(jù)題設(shè)、題目的特點和內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當?shù)姆趴s方法。  利用三角形的三邊關(guān)系例1        已知a，b，c是ABC的三邊，求證：   證明：=為增函數(shù)，又。點評：學生知道要利用三角形的三邊關(guān)

2、系，但無法找到放縮的方法，難在構(gòu)造函數(shù)。利用函數(shù)的單調(diào)性例2        求證：對于一切大于1的自然數(shù)n，恒有。證明：  原不等式變形為    ， 令      則          ，所以  。即  是單調(diào)增函數(shù)（n=2，3，），所以  。故原不等式成立。點評：一開始學生就用數(shù)學歸納法進行嘗試，結(jié)果失敗，就放棄了。

3、若使不等式的右邊變?yōu)槌?shù)，再用單調(diào)性放縮就好了。利用基本不等式例3已知f（x）=x+(x0) 求證：證明：,設(shè)   （1）    （2）（1）+（2）得                       點評：用數(shù)學歸納法證明，思路簡單，但是難度很大，可以通過二項式定理展開，倒序法與基本不等式相結(jié)合進行放縮。利用絕對值不等式例4設(shè)=，

4、當時，總有，求證：。證明：，又所以，=7。點評：本題是一道函數(shù)與絕對值不等式綜合題，學生不能找到解題的突破口，關(guān)鍵在于找到a，b，c與f（0），f（1），f（-1）的聯(lián)系，再利用絕對值內(nèi)三角形不等式適當放縮。利用不等式和等比數(shù)列求和例5求證：。證明：=，利用不等式=。點評：有些學生兩次用錯位相減進行放縮，但是沒有找到恰當?shù)淖冃畏趴s，對利用不等式進行放縮不熟悉。若經(jīng)過“湊”與不等式相結(jié)合，再利用等比數(shù)列求和放縮就到了。 利用錯位相減法求和例6已知a1, a2, a3, , an, 構(gòu)成一等差數(shù)列，其前n項和為Snn2, 設(shè)bn, 記bn的前n項和為Tn, (1) 求數(shù)列an的通項公式；(2) 證

5、明：Tn<1。  解：(1) a1S11, 當n2時, anSnSn12n1; 由于n1時符合公式， an2n1 (n1).  (2) Tn, Tn,   兩式相減得Tn(1),   Tn(1)<1。 利用裂項法求和例7已知函數(shù)在上有定義，且滿足對任意的當時，.證明不等式.證明：令，則.令，則，故在上為奇函數(shù).設(shè)，且由可得，則由題有，故，即，所以為 上減函數(shù).從而函數(shù)在時，.所以，即.點評：本題將數(shù)列與不等式、函數(shù)綜合考查數(shù)學邏輯推理能力，分析問題能力，變形能力，可以用數(shù)學歸納法證明不等式，但學生解題的過程不過完善。若用裂

6、項法進行數(shù)列求和放縮就簡單利用二項式定理展開例8已知數(shù)列滿足(nN*),是的前n項的和，并且   （1）求數(shù)列的前項的和；   （2）證明：（3）求證： 解： (1)由題意得兩式相減得所以再相加所以數(shù)列是等差數(shù)列又又   所以數(shù)列的前項的和為                               而    .（3）證明：    點評：這是一