DFT性質(zhì)及DFT應(yīng)用的研究

1、DFT性質(zhì)及DFT應(yīng)用的研究易長城生物醫(yī)學(xué)工程專業(yè)2014級(jí)本科指導(dǎo)老師：王燕 李霞摘要：為了掌握DFT正變換及反變換之間的計(jì)算關(guān)系；觀察和分析 DFS 應(yīng)用中存在的混疊、泄漏、柵欄效應(yīng)等問題和改善途徑、方法；了解 DFT 實(shí)部、虛部之對應(yīng)關(guān)系；驗(yàn)證 DFT 的若干性質(zhì)；學(xué)習(xí) Matlab 中子程序的編寫和調(diào)用；運(yùn)用matlab編程，研究DFT的性質(zhì)和以及可能在應(yīng)用出現(xiàn)的問題；通過上述方法，實(shí)現(xiàn)了DFT函數(shù)的編程和調(diào)用，詳細(xì)探究了DFT的在時(shí)域和K域的能量守恒關(guān)系、復(fù)數(shù)序列的圓周相關(guān)定理，觀察了DFT在采樣頻率不夠時(shí)的混疊現(xiàn)象、沒加窗之前的泄露現(xiàn)象以及柵欄效應(yīng)。關(guān)鍵詞： DFT matlab

2、時(shí)域 K域 Abstract：In order to understand the relationship between DFT positive transform and inverse transformation, we can observe and analyze the problems such as aliasing, leakage and fence effect in DFS application, and improve the way and method. We understand the correspondence between DFT real p

3、art and imaginary part. The use of matlab programming, research the nature of DFT and may be in the application of the problem; through the above method to achieve the DFT function programming and call, a detailed study of the DFT in the Time domain and K domain, the algebraic phenomenon of DFT in t

4、he case of insufficient sampling frequency, the leakage phenomenon and the fence effect before windowing are observed.Keywords：DFT matlab time domain K domain1.前言：了掌握DFT正變換及反變換之間的計(jì)算關(guān)系；觀察和分析 DFS 應(yīng)用中存在的混疊、泄漏、柵欄效應(yīng)等問題和改善途徑、方法；了解 DFT 實(shí)部、虛部之對應(yīng)關(guān)系；驗(yàn)證 DFT 的若干性質(zhì)；學(xué)習(xí) Matlab 中子程序的編寫和調(diào)用。應(yīng)用前景及研究現(xiàn)狀：MATLAB 的應(yīng)用范圍非常廣，

5、包括信號(hào)和圖像處理、通訊、控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)、測試和測量、財(cái)務(wù)建模和分析以及計(jì)算生物學(xué)等眾多應(yīng)用領(lǐng)域。附加的工具箱（單獨(dú)提供的專用MATLAB函數(shù)集）擴(kuò)展了MATLAB 環(huán)境，以解決這些應(yīng)用領(lǐng)域內(nèi)特定類型的問題。2.理論和方法2.1理論DFT的定義離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform，縮寫為DFT），是傅里葉變換在時(shí)域和頻域上都呈離散的形式，將信號(hào)的時(shí)域采樣變換為其DTFT的頻域采樣。在形式上，變換兩端（時(shí)域和頻域上）的序列是有限長的，而實(shí)際上這兩組序列都應(yīng)當(dāng)被認(rèn)為是離散周期信號(hào)的主值序列。即使對有限長的離散信號(hào)作DFT，也應(yīng)當(dāng)將其看作其周期延拓的變換。公式如下Xk=

6、DFTxn=n=0N-1x(n)WNnk,0kN-1xn=IDFTXk=1Nk=0N-1X(k)WN-nk, 0nN-1在用 DFT 計(jì)算連續(xù)信號(hào)時(shí)可能出現(xiàn)，頻譜混疊；頻譜泄露；柵欄效應(yīng)等問題。MATLABMATLAB是美國MathWorks公司出品的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計(jì)算的高級(jí)技術(shù)計(jì)算語言和交互式環(huán)境，主要包括MATLAB和Simulink兩大部分。MATLAB是matrix&laboratory兩個(gè)詞的組合，意為矩陣工廠（矩陣實(shí)驗(yàn)室）。它將數(shù)值分析、矩陣計(jì)算、科學(xué)數(shù)據(jù)可視化以及非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強(qiáng)大功能集成在一個(gè)易于使用的視窗環(huán)境

7、中，為科學(xué)研究、工程設(shè)計(jì)以及必須進(jìn)行有效數(shù)值計(jì)算的眾多科學(xué)領(lǐng)域提供了一種全面的解決方案，并在很大程度上擺脫了傳統(tǒng)非交互式程序設(shè)計(jì)語言（如C、Fortran）的編輯模式，代表了當(dāng)今國際科學(xué)計(jì)算軟件的先進(jìn)水平。2.2方法編寫一個(gè)對xn=sin(n)n(-1)n,n=0,1,2,.,31進(jìn)行DFT正變換和逆變換的程序；序列 x(n)的N點(diǎn)DTFT的物理意義是對X(ejw)的在0，2上進(jìn)行 N 點(diǎn)等間隔采樣。xn=R4(n) Xejw=DTFTxn=1-e-j4w1-e-jw,繪出相頻曲線和幅頻曲線，令w=2k/N，分別計(jì)算并圖示x(n)的8點(diǎn)、16點(diǎn)DFT；驗(yàn)證能量守恒關(guān)系S1=n=0N-1x(n)

8、y*(n) 時(shí)域能量；S2=1Nk=0N-1XkY*k K域能量；其中x(n)=sin(n/8)+i*cos(2n) n=0,1,31 ym=DFTx(n) m=0,1,31混疊現(xiàn)象衰減正弦信號(hào) x(t)=1+sin(7f0t)cos(2f0t), f0=120Hz, fs=200Hz,采樣點(diǎn)數(shù) N=64，繪出相頻曲線和幅頻曲線，觀察混疊現(xiàn)象；泄露現(xiàn)象x(t)= cos(2f 0 t),f 0 =60Hz,fs=200Hz,采樣點(diǎn)數(shù) N=64；哈明窗函數(shù)：w(n)=0.54-0.46cos(2n/N),n=0,1,2,N-1 分別圖示x(n)的頻譜，窗函數(shù)頻譜以及加窗后的頻譜(x(t)*w(n

9、)即為加窗后函數(shù))柵欄效應(yīng)內(nèi)容1的x(n)取07記為x(n)，并補(bǔ)零至L點(diǎn)，L分別為16,32,64；計(jì)算并顯示x(n)的頻譜X(k),與x(n)的頻譜X(k)比較，觀察補(bǔ)零的效果。驗(yàn)證圓周相關(guān)定理若Rxx=XkY*k;則有rxy=n=0N-1xny*n-mNRN(m),其中x(n),y(n)均為復(fù)數(shù)序列。3結(jié)果n=0:1:31;k=0:1:31;N=32;xn=sin(n).*n.*(-1).n;subplot(3,2,1);plot(xn);title('ԭͼ');subplot(3,2,2);stem(xn);title(

10、9;ԭͼ');WN=exp(-j*2*pi/N);nk1=n'*k;WNnk=WN.nk1;Xk=xn*WNnk;subplot(3,2,3);plot(abs(Xk);title('DFT');subplot(3,2,4);stem(abs(Xk);title('DFT');nk2=n'*k;WNnk=WN.(-nk2);xn1=(Xk*WNnk)/N;subplot(3,2,5);plot(real(xn1);title('IDFT')subplot(3,2,6);stem(

11、real(xn1);title('IDFT')圖 1N1=1024;x1=(0:2*pi/1024:2*pi);X1=(1-exp(-1i*4*x1)./(1-exp(-1i*x1);N2=8;for i=1:N2; X2(i)=X1(i*N1/N2); x2(i)=2*pi*i/N2;endN3=16;for i=1:N3; X3(i)=X1(i*N1/N3); x3(i)=2*pi*i/N3;endsubplot(3,2,1),plot(x1,abs(X1),title('X1µÄ·ùƵÇ

12、50;Ïߣ¬N=1024');subplot(3,2,2),plot(x1,angle(X1),title('X1µÄÏàƵÇúÏߣ¬N=1024');subplot(3,2,3),stem(x2,abs(X2),title('X2µÄ·ùƵÇúÏߣ¬N=8');sub

13、plot(3,2,4),stem(x2,angle(X2),title('X2µÄÏàƵÇúÏߣ¬N=8');subplot(3,2,5),stem(x3,abs(X3),title('X3µÄ·ùƵÇúÏߣ¬N=16');subplot(3,2,6),stem(x3,angle(X3),title('X3&#

14、181;ÄÏàƵÇúÏߣ¬N=16'); 圖 2clc;clear all;n=0:1:31;xn=sin(n/8)+j*cos(2*n);yn=dft(xn,32);yn1=conj(yn);for n=0:1:31 s1=sum(xn.*yn1);endXk=dft(xn,32);yn=Xk;圖 3Yk=dft(yn,32);Yk1=conj(Yk);for k=0:1:31; s2=sum(Xk.*Yk1)/32;endclc,clear all;fs=200;f0=

15、120;N=64;Ts=1/fs;n=1:N;xt=(1+sin(7*pi*f0*n*Ts).*cos(2*pi*f0*n*Ts);Xk=dft(xt,64);subplot(2,2,1);plot(abs(Xk);title('·ùƵ')subplot(2,2,2);stem(abs(Xk);title('·ùƵ')subplot(2,2,3);plot(angle(Xk);title('ÏàƵ')subplot(2,2

16、,4);stem(angle(Xk);title('ÏàƵ')圖 4clc,clear all;N=64;fs=200;f0=60;Ts=1/fs;n=1:N;x=cos(2*pi*f0*n*Ts); Xk=dft(x,64);subplot(3,2,1)plot(abs(Xk);title('Ô­º¯ÊýµÄƵÆ×') subplot(3,2,2);stem(abs(Xk);title('&

17、#212;­º¯ÊýµÄƵÆ×') n=0:(N-1);wn=0.54-0.46*cos(2*pi*n/N); Wn=dft(wn,64);subplot(3,2,3);plot(abs(Wn);title('´°º¯ÊýµÄƵÆ×')subplot(3,2,4);stem(abs(Wn);title('´°&#

18、186;¯ÊýµÄƵÆ×')x2=wn.*x;X2=dft(x2,64);subplot(3,2,5);plot(abs(X2);title('¼Ó´°ºóµÄƵÆ×')subplot(3,2,6);stem(abs(X2);title('¼Ó´°ºóµÄÆ

19、81;Æ×')圖 5clc,clear all;n=0:7;N=8;xn1=sin(n).*n.*(-1).n;Xn1=dft(xn1,8);subplot(4,1,1);stem(abs(Xn1);title('N=8');n=0:15;N=16;xn2=sin(n).*n.*(-1).n;Xn2=dft(xn2,16);subplot(4,1,2);stem(abs(Xn2);title('N=16');n=0:31;N=32;xn3=sin(n).*n.*(-1).n;Xn3=dft(xn3,32);subplot(4,1,3);stem(abs(Xn3);title('N=32');n=0:63;N=64;xn4=sin(n).*n.*(-1).n;Xn4=dft(xn4,64);subplot(4,1,4);stem(abs(Xn4);title('N=64');圖 6clc,clear all;x=1+1i,1-1i,2+1i,2-1i,3+1i,3-1i,4+1i,4-1i;y=1-1i