2013屆中考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)檢測868011

1、中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)六 開放性數(shù)學(xué)題型及解法探究 近年來，各地中考數(shù)學(xué)試卷中開放性試題所占的比例逐年增大。不少地區(qū)中考數(shù)學(xué)壓軸題都是由開放性試題當(dāng)家的。盡管中考開放性試題幾乎年年都有新面孔，但仔細(xì)析來，不外乎有以下幾種常見題型：1、自編問題型；2、閱讀理解型；3、決策運(yùn)籌型；4、數(shù)學(xué)建模型；5、方案設(shè)計(jì)型；6、信息遷移型；7、單一判斷型；8、條件存在型；9、題設(shè)取舍型；10、探索結(jié)論型；11、過程動態(tài)型；12、分類討論型。以上題型在中考試卷中有時單獨(dú)成題，有時多型合題。解答這些開放性數(shù)學(xué)中考題，不僅要求學(xué)生具有厚實(shí)的基本功和一定的數(shù)學(xué)思想方法，而且要求學(xué)生具有較強(qiáng)的發(fā)散思維能力和創(chuàng)新精神。不過，完

2、整地解答開放性數(shù)學(xué)中考題也不是高不可攀的。因?yàn)?，不同題型的分析思路還是有一定的規(guī)律可循的。例1（2000年泉州市）寫出一個只含有字母x的代數(shù)式（要求：（1）要使此代數(shù)式有意義，字母x必須取全體正數(shù)；（2）此代數(shù)式的值恒為負(fù)數(shù)）：_。解-（或-，-，）。評注自編問題型的答案是豐富多彩的，只要把語言敘述的條件轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)表達(dá)式即可。例2（2000年安徽?。┍容^下面兩列算式結(jié)果的大小（在橫線上選填“”“、=。一般結(jié)論：如果a，b是兩個實(shí)數(shù)，那么a2+b22ab。(a-b)20，a2-2ab+b20，a2+b22ab。評注解閱讀理解題應(yīng)：細(xì)看感悟材料的表象；泛想歸納材料的共性；敢猜揭示材料的規(guī)律；慎證說

3、明猜想的合理性。例3（1998年河北?。┠彻S有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計(jì)劃用這兩種原料生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品共50件。已知生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品，需用甲種原料9千克，乙種原料3千克，可獲利潤700元；生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品，需用甲種原料4千克，乙種原料10千克，可獲利潤1200元。（1）按要求安排A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)，有哪幾種方案？請你設(shè)計(jì)出來。（2）設(shè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品獲總利潤為y（元），其中一種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)為x，試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并利用函數(shù)的性質(zhì)說明哪種生產(chǎn)方案獲總利潤最大？最大利潤是多少？解（1）設(shè)安排生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，則生產(chǎn)B種產(chǎn)品(50-x)件。由得30x32。x

4、為整數(shù)，x取30，31或32。生產(chǎn)方案有三種：生產(chǎn)A種產(chǎn)品30件，B種產(chǎn)品20件；生產(chǎn)A種產(chǎn)品31件，B種產(chǎn)品19件；生產(chǎn)A種產(chǎn)品32件，B種產(chǎn)品18件。（2）依題意得：y=700x+1200(50-x)，y=-500x+60000，y隨x的增大而減小，當(dāng)x=30時，y的值最大。即按第一種方案安排生產(chǎn)，所獲最大利潤為45000元。評注這道題集決策運(yùn)籌、方案設(shè)計(jì)和數(shù)學(xué)建模于一身。對于方案，通常不止一套，但我們應(yīng)選最佳的。特別是幾何圖形的設(shè)計(jì)，更應(yīng)如此。至于決策題，通常與經(jīng)濟(jì)題緊密相聯(lián)，涉及到函數(shù)和不等式（組）等知識。解這類題的關(guān)鍵是建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。運(yùn)用數(shù)學(xué)建模方法解決實(shí)際問題，一般要經(jīng)過三個

5、環(huán)節(jié)：實(shí)際問題數(shù)學(xué)問題算式、方程、不等式（組）、函數(shù) 解答數(shù)學(xué)問題回歸實(shí)際問題。例4（1999年揚(yáng)州市）若函數(shù)y=的自變量x取值范圍是一切實(shí)數(shù)，則c的取值范圍是（ ）（A）c1（B）c=1（C）c1（D）c1解應(yīng)選A。評注解答信息遷移型開放題，要在已有知識的基礎(chǔ)上，設(shè)置一個新的數(shù)學(xué)情景，根據(jù)引入的新內(nèi)容，通過類比，轉(zhuǎn)換至似曾相識的問題來解。本題的命題和解題都屬信息遷移型。按常規(guī)，由x2+2x+c0來求c的值，是難以辦到的。不過，若將x2+2x+c0理解為：當(dāng)c為何實(shí)數(shù)時，關(guān)于x的方程x2+2x+c=0無實(shí)根？則可得1。例5設(shè)拋物線y=x2-(m-1)x+(m+2)與y軸相交于點(diǎn)C，與x軸交于A

6、，B兩點(diǎn)（A在B的左邊），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A、OB為直徑作O1、O2，且這兩個圓外切。（1）求m的取值范圍；（2）這兩個圓的半徑是否相等？若相等，求出其半徑；若不相等，請指出哪一個圓較大？（3）是否存在這樣的m值，使OC2=OAOB？如果存在，判定ABC的形狀；并證明你的結(jié)論；如果不存在，請說明理由。略解設(shè)A(x1,0)，B(x2,0)，x1X2，則（1）由得m-2。（2）由x1+x2=m-1-30，得兩圓半徑不等，且以O(shè)A為直徑的圓較大。（3）假設(shè)存在這樣的m值，使OC2=OAOB，則(m+2)2=-(m+2)，m=-3。此時ABC是直角三角形，證COABOC即可。評注第（2）題屬于單一判

7、斷型開放題，由于“單一判斷”是非此即彼，所以解答這類題，只要通過正確計(jì)算（或推理）即可得出結(jié)論。第（3）題屬條件存在型開放題。由于條件存在型開放題的特征是“結(jié)出結(jié)論，逆向?qū)で髼l件是否存在”，所以，一般要用反證法思想解題。第一步假設(shè)存在。第二步：根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理。若推理順暢，即可求出所尋的條件；若出現(xiàn)矛盾，則表明所尋條件不存在。值得注意的是，近年來，條件存在型問題，在各地中考開放性數(shù)學(xué)試題中出現(xiàn)的頻率最高。例6在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AB=8厘米，AD=24厘米，BC=26厘米，AB為O的直徑，動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AD邊向點(diǎn)D以1厘米/秒的速度運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CB邊向點(diǎn)B

8、以3厘米/秒的速度運(yùn)動。P，Q分別從點(diǎn)A，C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動。設(shè)運(yùn)動時間為t秒。求：（1）t分別為何值時，四邊形PQCD為平行四邊形、等腰梯形？（2）t分別為何值時，直線PQ與O相切、相交、相離？解（1）ADBC，只要QC=PD，則可得；平行四邊形PQCD，此時3t=24-t，t=6，即當(dāng)t=6秒時，四邊形PQCD為平行四邊形。PDPC，只要PQ=CD且PDQC，四邊形PQCD即為等腰梯形。如圖2，作PEBC于E，DFBC于F，則由等腰梯形的性質(zhì)可知：EF=PD，QE=FC=2，2=3t-(24-t)，t=7，即當(dāng)t=7秒時，四邊形PQCD為等腰梯形。（2）

9、設(shè)運(yùn)動t秒時，直線PQ與O相切于點(diǎn)F（如圖3），作PHBC于H，則PH=AB=8，BH=AP，根據(jù)切線長定理可得PQ=PF+FQ=AP+BQ=t+26-3t=26-2t，而PQ2=PH2+HQ2，(26-2t)2=82+(26-4t)2。t1=，t2=8，即當(dāng)t=秒或t=8秒時，PQ與O相切。當(dāng)t=0秒時，PQ與O相交；當(dāng)t=8秒進(jìn)，當(dāng)Q運(yùn)動到B點(diǎn)，點(diǎn)P尚未運(yùn)動到點(diǎn)D，但也停止了運(yùn)動，此時PQ也與O相交。當(dāng)0t秒或8t8秒時，PQ與O相交。當(dāng)秒,t8秒時，直線PQ與O相離。評注本例是一道典型的過程動態(tài)開放題，在全面實(shí)施素質(zhì)教育的今天，倍受中考命題者的青睞。因?yàn)樗鶑?qiáng)化的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)

10、意義深遠(yuǎn)。解決這類問題的關(guān)鍵是分析運(yùn)動變化過程，尋找變化中的特殊位置。即“動”中求“靜”、“一般”中見“特殊”，再列出特殊位置時的數(shù)學(xué)表達(dá)式，運(yùn)用分類討論的思想，各個擊破。其實(shí)本例第（1）問也是一種結(jié)論明顯的分類討論題。但在解隱含性結(jié)論（或過程）分類討論型開放題時，要首先確定好分類的標(biāo)準(zhǔn)，再行討論，切切不能重復(fù)、不能遺漏。若將本例的第（2）問改為：“確定在運(yùn)動過程中PQ與O的位置關(guān)系”，則它就成了一道探索結(jié)論型的開放題。由于需要探索的結(jié)論目標(biāo)不明確，且結(jié)論往往不唯一，所以這類題是開放型數(shù)學(xué)試題中難度較高的一類。解決這類問題，需要有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識，較強(qiáng)的發(fā)散思維能力。因此，遇到此類題，必須仔細(xì)審

11、題，善于運(yùn)用分析、聯(lián)想、類比、分類等數(shù)學(xué)思想及方法才能解決。其解題的基本策略是：從已知開始，層層演繹推理，后步可用前步的結(jié)論，直至結(jié)論被推出，特別重視可能出現(xiàn)的多解情況。至于題設(shè)取舍型，顧名思義，即是提供的條件過多，解題時應(yīng)正確取舍，你能舉出這方面的中考數(shù)學(xué)開放試題嗎？例7. 善于學(xué)習(xí)的小敏查資料知道：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個梯形，叫做相似梯形，他想到“平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似”，提出如下兩個問題，你能幫助解決嗎？問題一：平行于梯形底邊的直線截兩腰所得的小梯形和原梯形是否相似？（1）從特殊情形入手探究。假設(shè)梯形ABCD中，AD/BC，AB=6，B

12、C=8，CD=4，AD=2，MN是中位線（如圖2）。根據(jù)相似梯形的定義，請你說明梯形AMND與梯形ABCD是否相似？圖2（2）一般結(jié)論：平行于梯形底邊的直線截兩腰所得的梯形與原梯形（填“相似”或“不相似”或“相似性無法確定”。不要求證明）。問題二：平行于梯形底邊的直線截兩腰所得的兩個小梯形是否相似？（1）從特殊平行線入手探究。梯形的中位線截兩腰所得的兩個小梯形（填“相似”或“不相似”或“相似性無法確定”。不要求證明）。（2）從特殊梯形入手探究。同上假設(shè)，梯形ABCD中，AD/BC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，你能找到與梯形底邊平行的直線PQ（點(diǎn)P、Q在梯形的兩腰上，如圖2），使得梯

13、形APQD與梯形PBCQ相似嗎？請根據(jù)相似梯形的定義說明理由。圖2（3）一般結(jié)論：對于任意梯形（如圖2），一定（填“存在”或“不存在”）平行于梯形底邊的直線PQ，使截得的兩個小梯形相似。圖2若存在，則確定這條平行線位置的條件是。（不妨設(shè)AD=a，BC=b，AB=c，CD=d。不要求證明）。分析：問題一（1）因?yàn)镸N是中位線，所以顯然對應(yīng)邊不成比例，所以梯形AMND與梯形ABCD不相似。（2）平行于梯形底邊的直線截兩腰所得的梯形與原梯形不相似。問題二（1）因?yàn)镸N是中位線，顯然兩梯形對應(yīng)邊不成比例，所以梯形的中位線截兩腰所得的兩個小梯形不相似。（2）如果梯形APQD與梯形PBCQ相似則解得PQ=4，此時又AB=6，所以AP=2，所以當(dāng)AP=2，且PQ/BC時，又兩梯形對應(yīng)角相等，所以梯形APQD與梯形PBCQ相似。（3）對于任意梯形，一定存在平行于梯形底邊的直線PQ，使截得的兩個小梯形相似。此時，所以評注：這類問題建立在已學(xué)知識的基礎(chǔ)上研究、發(fā)現(xiàn)、拓展相似形問題為素材設(shè)計(jì)的一道創(chuàng)新型閱讀理解題。解答這類閱讀理解題的關(guān)鍵是在閱讀、理解的基礎(chǔ)上，