高等數(shù)學(xué)定積分在幾何上的應(yīng)用（課堂PPT）

1、第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用 第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用 1第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用 第一節(jié)第一節(jié) 定積分及其計算定積分及其計算 第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用 第三節(jié)第三節(jié) 定積分在物理上的應(yīng)用定積分在物理上的應(yīng)用 第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用 第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用 2第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用 一一. .定積分的微元法定積分的微元法 二二. .定積分求平面圖形的面積定積分求平面圖形的面積 本節(jié)主要內(nèi)容本節(jié)主要內(nèi)容: : 三三. .定

2、積分求體積定積分求體積 四四. .平面曲線的弧長平面曲線的弧長 第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用 第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用 3設(shè)曲邊梯形由連續(xù)曲線設(shè)曲邊梯形由連續(xù)曲線 ( ) ( ( )0)yf xf x ，軸及x以及兩直線以及兩直線bxax,所圍成所圍成 , badxxfA)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積解決步驟解決步驟:1) 分割分割2) 取近似取近似3) 求和求和 4) 取極限取極限abxyoi ix1x1 ix1 nx1 2 第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用 第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用 4設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y =

3、 f(x) 在在a,b上連續(xù)上連續(xù), (1) 在區(qū)間在區(qū)間a,b上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間x, x+dx, 相應(yīng)地小區(qū)間上面積的近似值為相應(yīng)地小區(qū)間上面積的近似值為: A f(x)dxab xyo)(xfy xdxx dA面積元素面積元素記作記作dA(2) 將這些面積元素在將這些面積元素在a,b上上“無限累加無限累加”得得lim( )dAf xx ( )dbaf xx dbaA 第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用 第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用 5應(yīng)用微元法解決定積分應(yīng)用問題的步驟是應(yīng)用微元法解決定積分應(yīng)用問題的步驟是: 1) 選取積分變量選取積分變量, 確定它的

4、變化區(qū)間確定它的變化區(qū)間a,b; 2) 在區(qū)間在區(qū)間a, b上任取一個小區(qū)間上任取一個小區(qū)間x,x+dx, 并在小區(qū)并在小區(qū)間上找出所求量間上找出所求量F的微元的微元 dF = f(x)dx (局部近似值局部近似值) ; 3) 求定積分求定積分( )dbaFf xx 第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用 第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用 6( (一一) )直角坐標系下平面圖形面積的計算直角坐標系下平面圖形面積的計算 1.由曲線由曲線y=f(x) 和直線和直線x=a,x=b,y=0所圍成曲邊梯形所圍成曲邊梯形xyo)(xfy ab曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積( )db

5、aAf xx xdxx面積微元面積微元: d( )dAf xx 第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用 第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用 72.求由兩條曲線求由兩條曲線 y=f(x) , y=g(x) ( f(x) g(x) ) 及直線及直線 x=a, x=b 所圍成平面所圍成平面曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 ( )( )dbaAf xg xx 面積微元面積微元: d ( )( )dAf xg xx 第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用 第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用 83. 求由兩條曲線求由兩條曲線x= (y),x= (y),( (y)

6、 (y) 及直線及直線y=c,y=d所圍成平面所圍成平面曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積: ( )( )ddcAyyy 面積微元面積微元: d ( )( )dAyyy 第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用 第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用 9例例1 求由求由 y2=x, y=x2 所圍成的圖形的面積所圍成的圖形的面積 選選 x 為積分變量為積分變量 x 0, 1兩曲線的交點兩曲線的交點 (0,0), (1,1) 面積微元面積微元: 2()Axxx d dd d102()Adxxx 3311200233xx.31 2xy 2yx 第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用

7、 第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用 10例例2 求由求由 y2=2x, y=x-4 所圍成的圖形的面積所圍成的圖形的面積 兩曲線的交點兩曲線的交點).4 , 8(),2, 2( 422xyxy選選 為積分變量為積分變量y4, 2 y.1824422 dyyyA22yx 4yx 第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用 第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用 111S2S42244問題問題 若選若選x為積分變量呢？為積分變量呢？21SSS2082()24 2()2xxxxxx d dd d280222( 24)x xxxxdddd3328282202222

8、12 2224332xxx 第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用 第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用 12例例3 求由求由 y=cosx, y=sinx 在區(qū)間在區(qū)間 0, 上所圍成的圖上所圍成的圖形的面積形的面積. 兩曲線的交點兩曲線的交點 2(,)42 sincosyxyx 12404404(cossin)d(sincos)d(sincos)(cossin)2 2AAAxxxxxxxxxx 1A2A第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用 第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用 13設(shè)曲邊梯形的曲邊參數(shù)方程為設(shè)曲邊梯形的曲邊參數(shù)方程為, )()(

9、 tyytxx其面積的計算公式可由直角坐標下曲邊梯形的面積其面積的計算公式可由直角坐標下曲邊梯形的面積公式經(jīng)過定積分的換元法得到公式經(jīng)過定積分的換元法得到: baAydx ; )()()()(11dttxtybxax dcAxdy . )()()()(11dttytxdycy 參數(shù)方程情形參數(shù)方程情形: )()(11)()(bxaxtdxty )()(11)()(dycytdytx第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用 第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用 14例例4 求擺線求擺線的一拱與的一拱與 x 軸圍成的圖形的面積軸圍成的圖形的面積 .(sin )(0,02 )(1

10、cos )xa ttatyat 20daAy x 20(1cos ) (1cos )dat att 2220(12coscos)dattt 23 a 第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用 第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用 15橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程 tbytaxsincos由對稱性知總面積等于由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積倍第一象限部分面積 aydxA04 02)cos(sin4tatdbdttab 202sin4.ab 例例5 求橢圓求橢圓 的面積的面積.22221xyab第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用 第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)

11、用定積分在幾何上的應(yīng)用 16 在平面內(nèi)取一個定點在平面內(nèi)取一個定點O, 從從O引一條射線引一條射線Ox, 選定選定一個單位長度以及計算角度的正方向一個單位長度以及計算角度的正方向(通常取逆時針通常取逆時針方向為正方方向為正方) , 這樣就建立了一個極坐標系這樣就建立了一個極坐標系 , O點叫點叫做做極點極點, 射線射線Ox叫做叫做極軸極軸.極坐標系極坐標系: 極坐標系是由一個極點和一個極軸構(gòu)成極坐標系是由一個極點和一個極軸構(gòu)成, 極軸的極軸的方向為水平向右方向為水平向右. 極點極點; 極軸極軸; 長度單位長度單位; 角度單位和它的正角度單位和它的正方向方向, 構(gòu)成了極坐標系的四要素構(gòu)成了極坐標

12、系的四要素, 缺一不可缺一不可.第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用 第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用 17OM點的極坐標點的極坐標 設(shè)設(shè)M點是平面內(nèi)任意一點點是平面內(nèi)任意一點, 用用表示線段表示線段OM的長的長度度, 表示射線表示射線Ox到到OM的角度的角度 , 那么那么叫做叫做M點的點的極極徑徑,叫做叫做M點的點的極角極角, 有序數(shù)對有序數(shù)對(,)叫做叫做M點的點的極坐標極坐標. 第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用 第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用 18 如果如果是正的是正的, 則在則在OP上取一點上取一點M使得使得OM= ;如如果

13、果是負的是負的, 則在則在OP的反向延長線上取一點的反向延長線上取一點M使得使得OM= . 極角極角為正表示逆時針旋轉(zhuǎn)為正表示逆時針旋轉(zhuǎn), 為負表示順時針為負表示順時針旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn).OMP第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用 第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用 198 6 3 56 23 43 76 53 116 1M2M3M4M第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用 第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用 20cossinxy 222tan(0)xyyxx 極坐標和直角坐標互化公式極坐標和直角坐標互化公式: 極坐標化直角坐標公式極坐標化直角坐標公式直

14、角坐標化極坐標公式直角坐標化極坐標公式 第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用 第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用 21( (二二) ) 極坐標系下面積的計算極坐標系下面積的計算 曲邊扇形是由曲線曲邊扇形是由曲線 ( ) 及射線及射線 , ( )所所圍成的圖形圍成的圖形.1. 取極角取極角 為積分變量為積分變量, 其變化其變化區(qū)間為區(qū)間為 , 21d( )d2A 以圓扇形面積近似小曲邊扇以圓扇形面積近似小曲邊扇形面積形面積 , 得到面積元素得到面積元素: 2. ,d , 21() d2A 3. 作定積分作定積分( ) x d 第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用

15、第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用 22例例6 計算心形線計算心形線 =a(1+cos ) 所圍圖形的面積所圍圖形的面積210122 (1cos ) d2AAa 220 (1cos )ad 220(12coscos)da o1A2031(2coscos2 )d22a 2203132sinsin2 242aa 第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用 第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用 230 xya24 222cos2a 所圍面積所圍面積. 求雙紐線求雙紐線練練 習(xí)習(xí)第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用 第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在

16、幾何上的應(yīng)用 2424014( )2Sd 22.a 解解 由對稱性由對稱性 240142cos22ad 2404cos 2ad 2402sin2a 222cos2a 所圍面積所圍面積. 求雙紐線求雙紐線練練 習(xí)習(xí)第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用 第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用 25求兩曲線圍成的平面圖形的面積的一般步驟求兩曲線圍成的平面圖形的面積的一般步驟: (1)作出示意圖作出示意圖; (弄清相對位置關(guān)系弄清相對位置關(guān)系)(2)求交點坐標求交點坐標; (確定積分的上限確定積分的上限,下限下限) (3)確定積分變量及被積函數(shù)確定積分變量及被積函數(shù); (4)計算

17、積分計算積分. 第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用 第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用 26 設(shè)立體介于平面設(shè)立體介于平面 x=a, x=b之間之間, 立體內(nèi)垂直于立體內(nèi)垂直于x 軸軸的截面面積為的截面面積為A(x). ( (一一) )平行截面面積為已知的立體體積平行截面面積為已知的立體體積 xA(x)dV=A(x)dxx.aVb baxxAVd)(體積元素為體積元素為dv=A(x)dx. 第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用 第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用 27例例7 設(shè)有底圓半徑為設(shè)有底圓半徑為R的圓柱的圓柱, 被一與圓柱面交成被一

18、與圓柱面交成 角且過底圓直徑的平面所截角且過底圓直徑的平面所截, 求截下的鍥形體積求截下的鍥形體積.oyRxy22xR RRy tan (x, y), )tan( xR截面積截面積 A(x) RRxxRd)tan( tan R RRxxAVd)(第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用 第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用 28( (二二) ) 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積 旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)體由一個平面圖形繞同平面內(nèi)一條直線由一個平面圖形繞同平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.這條直線叫做這條直線叫做旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸 .圓柱圓柱圓臺圓臺圓錐圓錐第五章第五章 定積分及其應(yīng)用

19、定積分及其應(yīng)用 第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用 29xf(x)ab 曲邊梯形曲邊梯形: y=f(x), x=a, x=b (ab),y=0 繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用 第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用 30旋轉(zhuǎn)體的體積元素旋轉(zhuǎn)體的體積元素 考慮旋轉(zhuǎn)體內(nèi)點考慮旋轉(zhuǎn)體內(nèi)點 x 處垂直于處垂直于x軸厚度為軸厚度為dx的切片的切片, 用圓柱體的體積用圓柱體的體積 f(x) 2 dx 作為切片體積的近似值作為切片體積的近似值, 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積 于是體積元素為于是體積元素為 dV f(x)2dx . 2 ( )

20、dbaVf xx 第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用 第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用 31xoy)(yxcdy當考慮連續(xù)曲線段當考慮連續(xù)曲線段( ) ()xycyd 繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時,2 ( ) ddcVyy 第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用 第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用 32繞繞x軸旋轉(zhuǎn)的橢球體軸旋轉(zhuǎn)的橢球體 , 它可看作上半橢圓它可看作上半橢圓例例8 求由橢圓求由橢圓 分別繞分別繞 x 軸及軸及 y 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) 而成的橢球體的體積而成的橢球體的體積 . 22221xyab22

21、()byaxaxaa 與與x軸圍成的平面圖形繞軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而成而成 旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為 222202()dabaxxa 22320123aba xxa （）243ab 202daxVyx 第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用 第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用 33繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)的橢球體軸旋轉(zhuǎn)的橢球體 , 它可看作右半橢圓它可看作右半橢圓 22axbyb與與y軸圍成的圖形繞軸圍成的圖形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成軸旋轉(zhuǎn)而成旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為 222202()dbabyyb 2322023bayb yb 243a b 22

22、2dbybaVbyyb 第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用 第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用 34例例9 把拋物線把拋物線 y2 4ax (a 0)及直線及直線 x x0 (x0 0) 所圍所圍成的圖形繞成的圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) 計算所得旋轉(zhuǎn)體的體積計算所得旋轉(zhuǎn)體的體積. 旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為 004dxax x 0202xax 202a x 020dxVyx 第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用 第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用 35例例10 由由y x3 x 2 y 0所圍成的圖形所圍成的圖形 分別繞分別繞x軸及

23、軸及y軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) 計算所得兩個旋轉(zhuǎn)體的體積計算所得兩個旋轉(zhuǎn)體的體積 繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為 270112877x222600ddxVyxxx繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為 85303643255y 2882230028d32dyVxyyy 第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用 第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用 36四四. .平面曲線的弧長平面曲線的弧長曲線弧由直角坐標方程給出曲線弧由直角坐標方程給出:( ) ()yf xax b 弧長元素弧長元素(弧微分弧微分) :222d(d )(d )1dsxyyx 因此所求弧長因此所求弧長 21dbasyx 21( )dbafxx sdyxabo)(xfy xxxd第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用 第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用 37曲線弧由曲線弧由參數(shù)方程參數(shù)方程給出給出:( )()( )xttyt 弧長元素弧長元素(弧微分弧微分) :2222d(d )(d )( )( )dsxyttt因此所求弧長因此所求弧長22( )( ) dsttt 第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用 第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用 380.511.