2017專題4圓與相似含答案

1、 專題：圓與相似(1)1如圖，AB是O的直徑，弦CDAB于H點(diǎn)G在O上，過點(diǎn)G作直線EF，交CD延長線于點(diǎn)E，交AB的延長線于點(diǎn)F連接AG交CD于K，且KEGE（1）判斷直線EF與O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若ACEF，F(xiàn)B1，求O的半徑2如圖，PB為O的切線，B為切點(diǎn)，直線PO交于點(diǎn)E，F(xiàn)，過點(diǎn)B作PO的垂線BA，垂足為點(diǎn)D，交O于點(diǎn)A，延長AO與O交于點(diǎn)C，連接BC，AF（1）求證：直線PA為O的切線；（2）試探究線段EF，OD，OP之間的等量關(guān)系，并加以證明；（3）若BC6，tanF，求cosACB的值和線段PE的長3如圖所示，AB是O的直徑，AE是弦，C是劣弧AE的中點(diǎn)，過C作CD

2、AB于點(diǎn)D，CD交AE于點(diǎn)F，過C作CGAE交BA的延長線于點(diǎn)G連接OC交AE于點(diǎn)H。（1）求證：GCOC（2）求證：AF=CF（3）若EAB=30°，CF=2，求GA的長4如圖，在ABC，AB=AC，以AB為直徑的O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，點(diǎn)F在AC的延長線上，且CBF=CAB（1）求證：直線BF是O的切線；（2）若AB=5，sinCBF=，求BC和BF的長5如圖，O的弦AB=8，直徑CDAB于M，OM ：MD =3 ：2， E是劣弧CB上一點(diǎn)，連結(jié)CE并延長交CE的延長線于點(diǎn)F求：（1）O的半徑；（2）求CE·CF的值6如圖，已知在ABP中，C是BP邊上一點(diǎn)，PAC

3、=PBA，O是ABC的外接圓，AD是O的直徑，且交BP于點(diǎn)E（1）求證：PA是O的切線；（2）過點(diǎn)C作CFAD，垂足為點(diǎn)F，延長CF交AB于點(diǎn)G，若AGAB=12，求AC的長；（3）在滿足（2）的條件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求O的半徑及sinACE的值7.如圖，在ABC中，C=90°，AC=3，BC=4.0為BC邊上一點(diǎn)，以0為圓心，OB為半徑作半圓與BC邊和AB邊分別交于點(diǎn)D、點(diǎn)E，連接DE （1）當(dāng)BD=3時(shí)，求線段DE的長； （2）過點(diǎn)E作半圓O的切線，當(dāng)切線與AC邊相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為F求證：FAE是等腰三角形 8.如圖，在ABC中，C=90°，ABC的平分

4、線交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作BE的垂線交AB于點(diǎn)F，O是BEF的外接圓 （1）求證：AC是O的切線； （2）過點(diǎn)E作EHAB，垂足為H，求證：CD=HF； （3）若CD=1，EH=3，求BF及AF長 9.如圖，BD是O的直徑，OAOB，M是劣弧 上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作O的切線MP交OA的延長線于P點(diǎn)，MD與OA交于N點(diǎn) （1）求證：PM=PN； （2）若BD=4，PA= AO，過點(diǎn)B作BCMP交O于C點(diǎn)，求BC的長 10.如圖是一個(gè)量角器和一個(gè)含30°角的直角三角板放置在一起的示意圖，其中點(diǎn)B在半圓O的直徑DE的延長線上，AB切半圓O于點(diǎn)F，且BC=OE （1）求證：DECF； （2）當(dāng)OE=

5、2時(shí)，若以O(shè)，B，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，求OB的長； （3）若OE=2，移動(dòng)三角板ABC且使AB邊始終與半圓O相切，直角頂點(diǎn)B在直徑DE的延長線上移動(dòng)，求出點(diǎn)B移動(dòng)的最大距離 11.如圖，AB、AC分別是O的直徑和弦，點(diǎn)D為劣弧AC上一點(diǎn)，弦DEAB分別交O于E，交AB于H，交AC于FP是ED延長線上一點(diǎn)且PC=PF （1）求證：PC是O的切線； （2）點(diǎn)D在劣弧AC什么位置時(shí)，才能使AD2=DEDF，為什么？ （3）在（2）的條件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的長12.如圖，在ABC中，ABC=90°，以AB的中點(diǎn)O為圓心、OA為半徑的圓交AC于點(diǎn)D，E是BC的中點(diǎn)，連

6、接DE，OE （1）判斷DE與O的位置關(guān)系，并說明理由； （2）求證：BC2=CD2OE； （3）若cosBAD=，BE=6，求OE的長 專題：圓與相似答案1（1）相切，理由見解析；（2）4.（1）如圖，連接OGOAOG，OGAOAG.CDAB，AKHOAG90°KEGE，KGEGKEAKH.KGEOGAAKHOAG90°.OGE90°，即OGEF.又G在圓O上，EF與圓O相切（2）ACEF， FCAH，RtAHC RtFGO .在RtOAH中，設(shè)AH3t，則AC5t，CH4t. .FB1 ，解得：OG4圓O的半徑為4 .考點(diǎn)：1.等腰三角形的性質(zhì)；2.切線的判定

7、；3.相似三角形的判定與性質(zhì)2（1）證明見解析；（2）EF2=4ODOP，證明見解析；（3），.【解析】試題解析：（1）如圖，連接OB，PB是O的切線，PBO=90°.OA=OB，BAPO于D，AD=BD，POA=POB. 又PO=PO，PAOPBO（SAS）.PAO=PBO=90°. 直線PA為O的切線.（2）EF2=4ODOP，證明如下：PAO=PDA=90°，OAD+AOD=90°，OPA+AOP=90°.OAD=OPA. OADOPA. ，即OA2=ODOP.又EF=2OA，EF2=4ODOP.（3）OA=OC，AD=BD，BC=6，O

8、D=BC=3（三角形中位線定理）.設(shè)AD=x，tanF=，F(xiàn)D=2x，OA=OF=2x3.在RtAOD中，由勾股定理，得（2x3）2=x2+32，解得，x1=4，x2=0（不合題意，舍去）.AD=4，OA=2x3=5.AC是O直徑，ABC=90°.又AC=2OA=10，BC=6，cosACB=.OA2=ODOP，3（PE+5）=25.PE=.3.試題解析：（1）證明：如圖，連結(jié)OC，C是劣弧AE的中點(diǎn)，OCAE，CGAE，CGOC，CG是O的切線；（2）證明：連結(jié)AC、BC，AB是O的直徑，ACB=90°，2+BCD=90°，而CDAB，B+BCD=90°

9、;，B=2，AC弧=CE弧，1=B，1=2，AF=CF；（3）解：在RtADF中，DAF=30°，F(xiàn)A=FC=2，DF=AF=1，AD=DF=，AFCG，DA：AG=DF：CF，即：AG=1：2，AG=4.（1）證明：連接AE，AB是O的直徑，AEB=90°，1+2=90°AB=AC，1=CABCBF=CAB，1=CBF，CBF+2=90°，即ABF=90°，AB是O的直徑，直線BF是O的切線（2）過點(diǎn)C作CGAB于GsinCBF=，1=CBF，sin1=，在RtAEB中，AEB=90°，AB=5，BE=ABsin1=，AB=AC，A

10、EB=90°，BC=2BE=，在RtABE中，由勾股定理得AE=，sin2=，cos2=，在RtCBG中，可求得GC=4，GB=2，AG=3，GCBF，AGCABF，BF=考點(diǎn)：1切線的判定與性質(zhì)；2勾股定理；3圓周角定理；4相似三角形的判定與性質(zhì)；5試題解析：（1）如圖，連接AO，OM : MD=3:2，可設(shè)OM=3 k，MD=2 k (k >0)，則OA=OD=5 k.又弦AB=8，直徑CDAB于M，AM=4.在RtOAM中，由勾股定理可得：k=1 圓O的半徑為5 （2）如圖，連接AE， 由垂徑定理可知：ÐAEC=ÐCAF，又ÐACF=

11、8;ACF，DACEDFCA. ，即AC2=CE×CF.在RtACM中，由勾股定理可得：AC2=AM2+CM2=16+64=80 ，CE×CF=80.6解：（1）證明：連接CD，AD是O的直徑，ACD=90°。CAD+ADC=90°。又PAC=PBA，ADC=PBA，PAC=ADC。CAD+PAC=90°。PAOA。又AD是O的直徑，PA是O的切線。（2）由（1）知，PAAD，又CFAD，CFPA。GCA=PAC。又PAC=PBA，GCA=PBA。又CAG=BAC，CAGBAC。，即AC2=AGAB。AGAB=12，AC2=12。AC=。（3）

12、設(shè)AF=x，AF：FD=1：2，F(xiàn)D=2x。AD=AF+FD=3x。在RtACD中，CFAD，AC2=AFAD，即3x2=12。解得；x=2。AF=2，AD=6。O半徑為3。在RtAFG中，AF=2，GF=1，根據(jù)勾股定理得：。由（2）知，AGAB=12，。連接BD，AD是O的直徑，ABD=90°。在RtABD中，sinADB=，AD=6，sinADB=。ACE=ACB=ADB，sinACE=。7.（1）解：C=90°，AC=3，BC=4， AB=5， DB為直徑， DEB=C=90°， 又B=B， DBEABC， ， 即， DE=； （2）證法一：連接OE， E

13、F為半圓O的切線， DEO+DEF=90°， AEF=DEO， DBEABC， A=EDB， 又EDO=DEO， AEF=A， FAE是等腰三角形； 證法二：連接OE EF為切線， AEF+OEB=90°， C=90°， A+B=90°， OE=OB， OEB=B， AEF=A， FAE是等腰三角形 8.證明：（1）如圖，連接OE BEEF， BEF=90°， BF是圓O的直徑 BE平分ABC， CBE=OBE， OB=OE， OBE=OEB， OEB=CBE， OEBC， AEO=C=90°， AC是O的切線； （2）如圖，連結(jié)DE

14、 CBE=OBE，ECBC于C，EHAB于H， EC=EH CDE+BDE=180°，HFE+BDE=180°， CDE=HFE 在CDE與HFE中， ， CDEHFE（AAS）， CD=HF （3）由（2）得CD=HF，又CD=1， HF=1， 在RtHFE中，EF=， EFBE， BEF=90°， EHF=BEF=90°， EFH=BFE， EHFBEF， =，即=， BF=10， OE=BF=5，OH=5-1=4， RtOHE中，cosEOA=， RtEOA中，cosEOA=， =， OA=， AF=-5= 9.（1）證明：連接OM， MP是圓的切

15、線，OMPM， OMD+DMP=90°， OAOB， OND+ODM=90°， MNP=OND，ODM=OMD， DMP=MNP， PM=PN （2）解：設(shè)BC交OM于E， BD=4，OA=OB=BD=2， PA=3， PO=5； BCMP，OMMP， OMBC，BE=BC； BOM+MOP=90°， 在直角三角形OMP中， MPO+MOP=90°， BOM=MPO； BEO=OMP=90°， OMPBEO， ，即=， 解得：BE=， BC= 10.（1）證明：連接OF， AB切半圓O于點(diǎn)F，OF是半徑， OFB=90°， ABC=9

16、0°， OFB=ABC， OFBC， BC=OE，OE=OF， BC=OF， 四邊形OBCF是平行四邊形， DECF； （2）解：若OBFACB， =， OB=， A=30°，ABC=90°，BC=OE=2， AC=4，AB=2 又OF=OE=2， OB=； 若BOFACB， =， OB=， OB=4； 綜上，OB=或4； （3）解：畫出移動(dòng)過程中的兩個(gè)極值圖， 由圖知：點(diǎn)B移動(dòng)的最大距離是線段BE的長， A=30°，ABO=30°，BO=4，BE=2， 點(diǎn)B移動(dòng)的最大距離是線段BE的長為2 11.（1）證明：連接OC PC=PF，OA=OC，

17、 PCA=PFC，OCA=OAC， PFC=AFH，DEAB， AHF=90°， PCO=PCA+ACO=AFH+FAH=90°， PC是O的切線 （2）解：點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置時(shí)，才能使AD2=DEDF，理由如下： 連接AE 點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置， DAF=DEA， ADE=ADE， DAFDEA， AD：ED=FD：AD， AD2=DEDF （3）解：連接OD交AC于G OH=1，AH=2， OA=3，即可得OD=3， DH=2 點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置， ACDO， OGA=OHD=90°， 在OGA和OHD中， ， OGAOHD（AAS）， AG=DH， AC=4 12.（1）證明：連接OD，BD， AB為圓O的直徑， ADB=90°， 在RtBDC中，E為斜邊BC的中點(diǎn)， C