優(yōu)化設(shè)計(jì) 有約束優(yōu)化 無約束優(yōu)化

1、目 錄1.多維有約束優(yōu)化- 3 -1.1 題目- 3 -1.2 已知條件- 3 -1.3 建立優(yōu)化模型- 3 -問題分析及設(shè)計(jì)變量的確定- 3 -目標(biāo)函數(shù)的確定- 4 -1.3.3 約束條件的建立- 4 -1.4 優(yōu)化方法的選擇- 5 -1.5 數(shù)學(xué)模型的求解- 5 -1.5.1 確定數(shù)學(xué)優(yōu)化模型- 5 -運(yùn)用Matlab優(yōu)化工具箱對(duì)數(shù)學(xué)模型求解- 6 -1. 5.3最優(yōu)解以及結(jié)果分析- 7 -2.多維無約束優(yōu)化- 8 -2.1 題目- 8 -2.2 確定優(yōu)化設(shè)計(jì)模型- 8 -2.3運(yùn)用Matlab優(yōu)化工具箱對(duì)數(shù)學(xué)模型求解- 9 -2.3.1 編寫目標(biāo)函數(shù)- 9 -2.3.2 繪制該函數(shù)的平面

2、和空間等值線- 9 -利用matlab工具箱fminunc函數(shù)對(duì)該模型進(jìn)行求解- 11 -求解結(jié)果- 11 -1.多維有約束優(yōu)化1.1 題目對(duì)一對(duì)單級(jí)圓柱齒輪減速器，以體積最小為目標(biāo)進(jìn)行多維有約束優(yōu)化設(shè)計(jì)。1.2 已知條件已知數(shù)輸入功p=58kw，輸入轉(zhuǎn)速n1=1000r/min，齒數(shù)比u=5，齒輪的許用應(yīng)力H=550Mpa，許用彎曲應(yīng)力F=400Mpa。1.3 建立優(yōu)化模型問題分析及設(shè)計(jì)變量的確定由已知條件得求在滿足零件剛度和強(qiáng)度條件下，使減速器體積最小的各項(xiàng)設(shè)計(jì)參數(shù)。由于齒輪和軸的尺寸（即殼體內(nèi)的零件）是決定減速器體積的依據(jù)，故可按它們的體積之和最小的原則建立目標(biāo)函數(shù)。單機(jī)圓柱齒輪減速器的

3、齒輪和軸的體積可近似的表示為：式中符號(hào)意義由結(jié)構(gòu)圖給出，其計(jì)算公式為 由上式知，齒數(shù)比給定之后，體積取決于b、z1 、m、l、dz1 和dz2 六個(gè)參數(shù)，則設(shè)計(jì)變量可取為 目標(biāo)函數(shù)的確定根據(jù)以上分析，可知，該齒輪減速器以體積最小的目標(biāo)函數(shù)為： 約束條件的建立(1)為避免發(fā)生根切，應(yīng)有，得(2)齒寬應(yīng)滿足，和為齒寬系數(shù)的最大值和最小值，一般取=0.9，=1.4，得:(3)動(dòng)力傳遞的齒輪模數(shù)應(yīng)大于2mm，得(4)為了限制大齒輪的直徑不至過大，小齒輪的直徑不能大于，得(5)齒輪軸直徑的范圍：得(6)軸的支撐距離按結(jié)構(gòu)關(guān)系，應(yīng)滿足條件：（可取=20），得(7)齒輪的接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力應(yīng)不大于許用值，得

4、(8)齒輪軸的最大撓度不大于許用值，得(9)齒輪軸的彎曲應(yīng)力不大于許用值，得1.4 優(yōu)化方法的選擇 由于該問題有6個(gè)設(shè)計(jì)變量，16個(gè)約束條件的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，采用傳統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法比較繁瑣，比較復(fù)雜，所以選用Matlab優(yōu)化工具箱中的fmincon函數(shù)來求解此非線性優(yōu)化問題，避免了較為繁重的計(jì)算過程。1.5 數(shù)學(xué)模型的求解 確定數(shù)學(xué)優(yōu)化模型將已知及數(shù)據(jù)代入上式，該優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型表示為：（1）求變量：（2）目標(biāo)函數(shù)：（3）約束條件： 運(yùn)用Matlab優(yōu)化工具箱對(duì)數(shù)學(xué)模型求解（1）首先在Matlab優(yōu)化工具箱中編寫目標(biāo)函數(shù)的M文件 myfun.m，返回x處的函數(shù)值f：function f =

5、 myfun(x)f=0.785398*(4.75*x(1)*x(2)2*x(3)2+85*x(1)*x(2)*x(3)2-85*x(1)*x(3)2+0.92*x(1)*x(6)2-x(1)*x(5)2+0.8*x(1)*x(2)*x(3)*x(6)-1.6*x(1)*x(3)*x(6)+x(4)*x(5)2+x(4)*x(6)2+28*x(5)2+32*x(6)2)（2）由于約束條件中有非線性約束，故需要編寫一個(gè)描述非線性約束條件的M文件mycon.m：functionc,ceq=myobj(x)c=17-x(2);0.9-x(1)/(x(2)*x(3);x(1)/(x(2)*x(3)-1

6、.4;2-x(3);x(2)*x(3)-300;100-x(5);x(5)-150;130-x(6);x(6)-200;x(1)+0.5*x(6)-x(4)-40;1486250/(x(2)*x(3)*sqrt(x(1)-550; 7098/(x(1)*x(2)*x(3)2*(0.169+0.006666*x(2)-0.0000854*x(2)2)-400;7098/(x(1)*x(2)*x(3)2*(0.2824+0.00177*x(2)-0.0000394*x(2)2)-400;117.04*x(4)4/(x(2)*x(3)*x(5)4)-0.003*x(4);(1/(x(5)3)*sqr

7、t(2850000*x(4)/(x(2)*x(3)2+2.4*1012)-5.5;(1/(x(6)3)*sqrt(2850000*x(4)/(x(2)*x(3)2+6*1013)-5.5;ceq=;（3）最后求解，調(diào)用目標(biāo)函數(shù)和約束條件，用matlab軟件中工具箱里的fmincon函數(shù)，求解有約束的優(yōu)化，在command window里輸入：x0=230;21;8;420;120;160;%給定初始值x,fval,exitflag,output=fmincon(myfun,x0,myobj,output) %調(diào)用優(yōu)化過程1. 5.3最優(yōu)解以及結(jié)果分析運(yùn)行結(jié)果如下圖所示：x = 123.3565

8、 99.8518 1.7561 147.3757 150.4904 129.5096fval = 2.3168e+007exitflag = -2output = iterations: 43 funcCount: 563 lssteplength: 1 stepsize: 2.0356e-006 algorithm: medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search firstorderopt: 1.9956e+007 constrviolation: 213.1511 message: 1x750 char故優(yōu)化后的最終結(jié)果為x=123.3565 9

9、9.8517 1.7561 147.3157 150.4904 129.5096f(x)=2.36e*107由于齒輪模數(shù)應(yīng)為標(biāo)準(zhǔn)值，齒數(shù)必須為整數(shù)，其它參數(shù)也要進(jìn)行圓整，所以最優(yōu)解不能直接采用，按設(shè)計(jì)規(guī)范，經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化和圓整后：x=124 100 2 148 150 130 f(x)=6.16 *107結(jié)果對(duì)比分析：若按初始值減速器的體積V大約為6.32107mm3，而優(yōu)化后的體積V則為6.16107mm3，優(yōu)化結(jié)果比初始值體積減少為：V1(6.16107/6.32107)100%2.5%所以優(yōu)化后的體積比未優(yōu)化前減少了2.5%，說明優(yōu)化結(jié)果相對(duì)比較成功。2.多維無約束優(yōu)化 在機(jī)械設(shè)計(jì)問題中，難以

10、避免生產(chǎn)，加工，裝配，經(jīng)濟(jì)性等問題，故少有無約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。在本次試驗(yàn)中，針對(duì)一個(gè)管道流量問題的二維函數(shù)，設(shè)計(jì)了一個(gè)非線性無約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，并加以求解。2.1 題目已知梯形截面管道的參數(shù)：底邊長c，高度h，斜邊與底邊的夾角，橫截面積A=64516mm2，如圖1所示。管道內(nèi)液體的流速與管道截面的周長s的倒數(shù)成比例關(guān)系。試按照使液體流速最大的條件，確定管道的參數(shù)。圖1 梯形截面管道參數(shù)2.2 確定優(yōu)化設(shè)計(jì)模型（1）管道截面周長：（2）管道截面面積：由此可得底邊長度的關(guān)系式：（與h和有關(guān)）將c代入管道橫截面周長的計(jì)算式中，得到管道截面周長關(guān)系式：因此，取與管道界面周長有關(guān)的獨(dú)立參數(shù)h和作為設(shè)計(jì)變

11、量，有：為使液體流速最大，取管道截面周長最小作為目標(biāo)函數(shù)，即：Min 故該函數(shù)的數(shù)學(xué)模型：（1）變量：（2）目標(biāo)函數(shù)：Min 2.3運(yùn)用Matlab優(yōu)化工具箱對(duì)數(shù)學(xué)模型求解 編寫目標(biāo)函數(shù)首先在Matlab優(yōu)化工具箱中編寫目標(biāo)函數(shù)的M文件 sc_wysyh.m，返回x處的函數(shù)值f：% 1-二維無約束優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)文件(sc_wysyh.m)function f=sc_wysyh(x)a=64516;hd=pi/180;f=a/x(1)-x(1)/tan(x(2)*hd)+2*x(1)/sin(x(2)*hd); 繪制該函數(shù)的平面和空間等值線% 2-繪制水槽截面周長等高線和曲面圖的程序% 按(初值,

12、終值,等分?jǐn)?shù))產(chǎn)生等間隔向量xx1,xx2xx1=linspace(100,300,25);xx2=linspace(30,120,25);% 產(chǎn)生兩個(gè)5x10的網(wǎng)格矩陣x1,x2x1,x2=meshgrid(xx1,xx2);% 定義目標(biāo)函數(shù)a=64516;hd=pi/180;f=a./x1-x1./tan(x2*hd)+2*x1./sin(x2*hd);% 將整個(gè)圖形窗口分隔成2個(gè)子窗口,取左邊窗口figure(1);% 繪制等值線并標(biāo)注函數(shù)值h=contour(x1,x2,f);clabel(h);% 定義左邊窗口坐標(biāo)軸刻度范圍axis(100 300 30 120)% 標(biāo)注左邊窗口和坐

13、標(biāo)軸xlabel(高度 h (mm)ylabel(傾斜角 theta (度)title(目標(biāo)函數(shù)(截面周長)等值線)% 將整個(gè)圖形窗口分隔成2個(gè)子窗口,取右邊窗口figure(2);% 繪制曲面圖surfc(x1,x2,f);% 定義右邊窗口坐標(biāo)軸刻度范圍aaxis(100 300 30 120 600 1200)% 標(biāo)注右邊窗口xlabel(高度 bf h (mm);ylabel(斜邊夾角 bf theta(度);zlabel(目標(biāo)函數(shù)值bf f (mm);title(目標(biāo)函數(shù)(截面周長)曲面圖)運(yùn)行結(jié)果，目標(biāo)函數(shù)的曲面如圖2，目標(biāo)函數(shù)等值曲線如圖3。圖2 截面周長曲面圖圖3 截面周長等值線

14、利用matlab工具箱fminunc函數(shù)對(duì)該模型進(jìn)行求解% 初始點(diǎn)x0=25;45;% 調(diào)用梯度法搜索x,Fmin，exitflag,output=fminunc(sc_wysyh,x0);disp * 輸出最優(yōu)解 *fprintf (1, 截面高度h x(1)* = %3.4f mm n,x(1)fprintf (1, 斜邊夾角theta x(2)* = %3.4f 度 n,x(2)fprintf (1, 截面周長s f* = %3.4f mm n,Fmin)求解結(jié)果運(yùn)行上述程序，可以解得如下參數(shù)：exitflag = 1output = iterations: 18 funcCount: 60 stepsize: 1 firstorderop