人教八年級下學(xué)期數(shù)學(xué)勾股定理知識點(diǎn)歸納

1、勾股定理知識點(diǎn)歸納和題型歸類一知識歸納勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為，斜邊為，那么.勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法，用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是：圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會(huì)改變根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下：方法一：，化簡可證方法二：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為大正方形面積為，所以方法三：，化簡得證.勾股定理的適用范圍勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，

2、它只適用于直角三角形，對于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征，因而在應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須明了所考察的對象是直角三角形.勾股定理的應(yīng)用已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊在中，則，知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問題.勾股定理的逆定理如果三角形三邊長，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形，其中為斜邊勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和與較長邊的平方作比較，若它們相等時(shí)，以，為三邊的三角形是直角三角形；若，時(shí)，以，為三邊的三角形是鈍角三角形；若，

3、時(shí)，以，為三邊的三角形是銳角三角形；定理中，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長，滿足，那么以，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊勾股定理的逆定理在用問題描述時(shí)，不能說成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形.勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，為正整數(shù)時(shí)，稱，為一組勾股數(shù)記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如；等用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：丟番圖發(fā)現(xiàn)的：式子的正整數(shù)） 畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的：（的整數(shù)）柏拉圖發(fā)現(xiàn)的：（的整數(shù)）勾股定理的應(yīng)用勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計(jì)算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題在

4、使用勾股定理時(shí)，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線（通常作垂線），構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解.勾股定理逆定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論.勾股定理及其逆定理的應(yīng)用勾股定理及其逆定理在解決一些實(shí)際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個(gè)整體通常既要通過逆定理判定一個(gè)三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者

5、相輔相成，完成對問題的解決題型一：直接考查勾股定理例.在中，已知，求的長已知，求的長題型二：應(yīng)用勾股定理建立方程例.在中，于，已知直角三角形的兩直角邊長之比為，斜邊長為，則這個(gè)三角形的面積為已知直角三角形的周長為，斜邊長為，則這個(gè)三角形的面積為例.如圖中，求的長例4.如圖，,分別以各邊為直徑作半圓，求陰影部分面積題型三：實(shí)際問題中應(yīng)用勾股定理例5.如圖有兩棵樹，一棵高，另一棵高，兩樹相距，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵數(shù)的樹梢，至少飛了。題型四：應(yīng)用勾股定理逆定理，判定一個(gè)三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三邊長為，判定是否為直角三角形，例7.三邊長為，滿足，的三角形是什么形狀？題型五

6、：勾股定理與勾股定理的逆定理綜合應(yīng)用例8.已知中，邊上的中線，求證：。1、在B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東60方向以每小時(shí)8海里的速度前進(jìn)，乙船沿南偏東某個(gè)角度以每小時(shí)15海里的速度前進(jìn)，2小時(shí)后，甲船到M島，乙船到P島，兩島相距34海里，你知道乙船是沿哪個(gè)方向航行的嗎？2、為美化環(huán)境，計(jì)劃在某小區(qū)內(nèi)用30平方米的草皮鋪設(shè)一邊長為10米的等腰三角形綠地，請你求出這個(gè)等腰三角形綠地的另兩邊長。3、如圖，鐵路上A、B兩站（視為直線上兩點(diǎn)）相距25千米，C、D為兩個(gè)村莊（視為兩個(gè)點(diǎn)），DAAB于A，CBAB于B，DA=15 千米，CB=10千米，現(xiàn)要在鐵路上建設(shè)一個(gè)土特產(chǎn)收購站E，使得C、D兩

7、村到E的的距離相等，則E應(yīng)建在距A多少千米處？4、在河L的同側(cè)有兩個(gè)倉庫A、B相距1640米，其中A距河210米，B距河570米，現(xiàn)要在河岸上建一個(gè)貨運(yùn)碼頭，使得兩倉庫到碼頭的路程和最短，問：這個(gè)最短路程是多少？碼頭應(yīng)建在何處？5、有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺。如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面。這個(gè)水池的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別為多少？典型題訓(xùn)練1 勾股定理1. 在RtABC中，AC=12，AB=20，求BC的長。2. ABC中，若AC=15，BC=13，AB邊上的高CD=12，求ABC的周長。2 勾股定理的逆定

8、理1. 已知，在ABC中，A,B,C的對邊分別是a,b,c,，求C的度數(shù)。2.如圖，A,B是公路l(l為東西走向)兩旁的兩個(gè)小村莊，A村到公路l的距離AC=1km，B村到公路l的距離BD=2km，B村在A村的南偏東45方向上（1）求出A，B兩村之間的距離；（2）為方便村民出行，計(jì)劃在公路邊新建一個(gè)公共汽車站P，要求該站到兩村的距離相等，請用尺規(guī)在圖中作出點(diǎn)P的位置（保留清晰的作圖痕跡）。3. 一艘在海上朝正北方向航行的輪船，在航行240海里時(shí)方向儀壞了，憑經(jīng)驗(yàn)，船長指揮船左轉(zhuǎn)90，繼續(xù)航行70海里，則距出發(fā)地250海里，你判斷船轉(zhuǎn)彎后是否沿正西方向航行？三最短路徑問題1.如圖所示是一個(gè)三級臺(tái)階

9、，它的每一級的長、寬和高分別等于5cm，3cm和1cm，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物請你想一想，這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)，最短線路是多少？2. 有一圓柱形油罐，如圖所示，要從A點(diǎn)環(huán)繞油罐建梯子，正好到A點(diǎn)的正上方B點(diǎn)，若油罐底面半徑是4m，高是7m，3，問梯子最短是多少米？3 折疊問題1. 如圖，矩形紙片ABCD中，AB=8cm，把矩形紙片沿直線AC折疊點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE交DC于點(diǎn)F，若AF=6.25cm，求AD的長。2. 如圖，折疊長方形的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，BC=10cm，AB=8cm，求EC的長。3.如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿著直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，求CD的長。4. 如圖，四邊形ABCD是邊長為9的正方形紙片，將其沿MN折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上的B處，點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)A，且BC=3，求CN和AM的長。4 網(wǎng)格問題1. 如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長為1，ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，求ABC中AB邊上的高。五面積問題1.如圖，直線l上有三個(gè)正方形a,b,c,若a,c的邊長分別為6和8，求b的面積。2.如圖所示，在ABC