兩個(gè)重要極限的推廣與應(yīng)用

1、兩個(gè)重要極限的推廣與應(yīng)用摘要：極限在數(shù)學(xué)分析中占有很重要的地位，不但是一個(gè)基本的數(shù)學(xué)概念，而且也是數(shù)學(xué)分析的基石。兩個(gè)重要極限又是極限中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，所以對(duì)于我們數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生尤其的重要。我們不僅要記住兩個(gè)重要極限及其推廣形式，還要能夠熟練的運(yùn)用這些公式解決極限中遇到的問題。當(dāng)然這部分內(nèi)容學(xué)習(xí)起來有一定的難度，為了幫助同學(xué)們更容易掌握這部分內(nèi)容，本文將結(jié)合實(shí)例對(duì)其進(jìn)行深入分析，來探究?jī)蓚€(gè)重要極限的基本形式及其推廣與應(yīng)用。關(guān)鍵詞： 重要極限 推廣形式 應(yīng)用Two important limits of popularization and applicationAbstract: Limit i

2、n the mathematical analysis occupies a very important position, but a basic math concepts, but also the cornerstone of mathematical analysis. Two important limit and limit the key and difficult point for us, so mathematics majors is especially important. We should not only remember two important lim

3、it and extending forms, but also can skilled using these formulae in solving the problems of the limit. Of course this section study up has the certain difficulty, in order to help the classmates much easier to master this section, the paper will be combined with its further analysis, to explore the

4、 basic form of two important limit its popularization and application. Keywords:Important limit Extended form application 極限在數(shù)學(xué)分析中占有很重要的位置，它貫穿了整個(gè)數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容，是積分和微分的基石，也是一個(gè)基本概念，而利用兩個(gè)重要極限和來求極限是極限內(nèi)容中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。運(yùn)用兩個(gè)重要極限解某一類極限問題時(shí)不僅可以簡(jiǎn)化極限計(jì)算的步驟，節(jié)約時(shí)間，而且過程清晰明了，使人易懂。對(duì)于數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，更應(yīng)該熟練掌握這部分內(nèi)容，并且能夠靈活運(yùn)用它。為了使大家更容易掌握這部分內(nèi)容，本文

5、將運(yùn)用多個(gè)實(shí)例來對(duì)兩個(gè)重要極限及其推廣形式進(jìn)行一些分析、歸納和探討。1.兩個(gè)重要極限的基本形式及其推廣形式1.1 (1)運(yùn)用這個(gè)極限時(shí)我們一定要注意以下幾個(gè)方面：分?jǐn)?shù)線上面的x要與分?jǐn)?shù)線下面的x要保持一致。公式中的x一般要趨近于0,并且要符合型的未定式。式子中的x不但可以表示一個(gè)未知數(shù)，而且可以代表一個(gè)式子。通過數(shù)學(xué)中的變量替換，我們知道當(dāng)時(shí)可以推廣為 (2) 這一重要極限我們可以記做，其中代表一個(gè)未知量。1.2 (3) 或 (4)同樣，在應(yīng)用這個(gè)重要極限時(shí)我們也要注意幾個(gè)方面：同（1）式中的x一樣，此處的x可以表示一個(gè)未知數(shù)x，也可以表示一個(gè)式子。當(dāng)時(shí)有 (5) 或當(dāng)時(shí)有 (6)由中可以看出

6、此處的x可以趨近于0，也可以趨近于，但必須與（3）和（4）中保持一致。由（3）（4）（5）（6）我們可以看出公式中括號(hào)內(nèi)加號(hào)后面的部分與括號(hào)外的冪次互為倒數(shù)，并且基本形式與推廣形式都可以轉(zhuǎn)化為這種類型的極限問題。類比于，這一重要極限我們可以記做，其中代表一個(gè)未知量。2. 求極限時(shí)兩個(gè)重要極限的具體應(yīng)用2.1 及其推廣公式的應(yīng)用例1 求分析：由公式（1）我們可以直接得到解：=5例2 求分析：觀察題目我們看出，由于當(dāng)x0時(shí)有3x0，如果我們把分母中的x變成3x就可以運(yùn)用公式（2）來解這道題目，因此解：= =3例3 求分析：在解這道題時(shí)我們要先利用三角函數(shù)把tanx轉(zhuǎn)化為sinx,然后再把分子和分母

7、都轉(zhuǎn)化為公式中的形式，再利用上面給出的公式，這樣就可以解決這道題目。解： 例4 求分析：觀察題目我們可以看到，題中有，我們可以利用三角函數(shù)公式將其先轉(zhuǎn)換成，然后再利用上面的推廣公式就可以很順利的解決這道題目了。解：= = 例5 求分析：通過觀察可以看出，把分子上的未知數(shù)轉(zhuǎn)化到分母上可以湊成推廣公式的形式，再利用其就可以計(jì)算出該題。解： 2.2 或及其推廣公式的應(yīng)用例6求分析：觀察可以看出，先做一下等價(jià)變形，然后再利用基本形式就可以計(jì)算出答案。 解：例8求分析：通過觀察我們可以看出，先運(yùn)用三角函數(shù)的二倍角公式把分子和分母都轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)，然后再把分子和分母分別湊成推廣形式，再利用公式即可解出這道

8、題。解：= 例7 求分析：在解這道題時(shí)，我們要注意括號(hào)中1之后的符號(hào)是正號(hào)還是負(fù)號(hào) 解： 例8求分析：通過題目我們可以觀察出這道題可以轉(zhuǎn)化為的形式，然后我們利用分離系數(shù)將其等價(jià)變形為我們熟知的求極限的形式，再利用上面的公式即可解決問題。解： 例9求分析：通過觀察我們可以看出，該道題可以轉(zhuǎn)化為的形式，我們利用分離系數(shù)把其轉(zhuǎn)化為上面給出的形式，然后再利用公式即可解出。解：例10 求分析：通過題目我們可以觀察出這道題可以轉(zhuǎn)化為的形式，然后我們利用分離系數(shù)將其等價(jià)變形為我們熟知的求極限的形式，再利用上面的公式即可解決問題。解：=小結(jié)：通過以上的例題我們可以看出，在利用兩個(gè)重要極限來計(jì)算極限的時(shí)候，我們

9、經(jīng)常運(yùn)用的是其推廣形式，這就要求我們?cè)趯W(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)不僅要記住最基本的形式，而且要真正理解這兩個(gè)重要極限的內(nèi)涵，熟練運(yùn)用其推廣形式，不能只是死記硬背，生搬硬套，而是要能夠做到舉一反三，熟練掌握。3. 微分學(xué)中兩個(gè)重要極限的運(yùn)用極限在微分學(xué)中的應(yīng)用很廣泛，其中導(dǎo)數(shù)的定義就是由極限來定義的，而兩個(gè)重要極限更是在推導(dǎo)一些重要極限的必備工具，比如說關(guān)于三角函數(shù)和冪函數(shù)導(dǎo)數(shù)的推導(dǎo)。3.1 推導(dǎo)過程：由導(dǎo)數(shù)的定義我們可以知道 3.2 推導(dǎo)過程：由導(dǎo)數(shù)定義得 3.3 推導(dǎo)過程：由導(dǎo)數(shù)定義得以上幾個(gè)實(shí)例說明了運(yùn)用兩個(gè)重要極限可以推導(dǎo)一些基本導(dǎo)數(shù)公式，而且有時(shí)候求導(dǎo)數(shù)時(shí)必須用兩個(gè)重要極限，比如說等用其他的方法

10、就很難求出，可見兩個(gè)重要極限的用處之廣泛。當(dāng)然，兩個(gè)重要極限的應(yīng)用并不僅僅只有這些，比如在經(jīng)濟(jì)學(xué)中還有很廣泛的應(yīng)用，其實(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)不在于舉多少應(yīng)用例子，關(guān)鍵在于是不是真正理解了其內(nèi)涵，是不是能夠熟練地把其運(yùn)用到生活中創(chuàng)造它的價(jià)值。參考文獻(xiàn)：1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）M.高等教育出版社，2007. 56-58.2何聯(lián)毅 曾捷. 數(shù)學(xué)分析同步輔導(dǎo)及習(xí)題全分析M.中國礦業(yè)大學(xué)出版社, 2007. 64-69.3蘇德礦 吳明華 金蒙偉. 微積分（上）M .高等教育出版社, 施普林格出版社, 2001. 35-39.4錢吉林. 數(shù)學(xué)分析題解精粹M. 湖北長(zhǎng)江出版社, 2009. 82-85.5彭英. 淺談兩個(gè)重要極限的運(yùn)用. 太原科技大學(xué) J, 99-101. 6王建福. 高等數(shù)學(xué)習(xí)題全分析M. 中國礦業(yè)大學(xué)出版社, 2007. 68-72.7華東師范大學(xué)