一道高中數(shù)學(xué)競賽題在圓錐曲線中的推廣

1、一道高中數(shù)學(xué)競賽題在圓錐曲線中的推廣 1991年四川省高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽決賽第四題是一道平面幾何題.原題：如圖1，設(shè)是的BC邊外的旁切圓，D、E、F分別是與BC、CA和AB的切點(diǎn)，若OD與EF交于K，求證：AK平分BC. 貴州教育學(xué)院李小雪先生應(yīng)用射影幾何的觀點(diǎn)研究了此題，給出了純幾何證法的證明.湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)系沈文選教授在他的近作平面幾何證明方法全書三次證明此題，方法是三角法、射影變換法、應(yīng)用張角定理.由此我們可以看出此題是一道有背景的重要的幾何題.我們擬給出解析證法，并把它推廣到圓錐曲線中去.在證明過程中，要用到以下引理：（1）.若點(diǎn)為圓外一點(diǎn)，過點(diǎn)引圓的兩條切線方程為：；切點(diǎn)弦的方程為：

2、.（2）. 若點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，過點(diǎn)引橢圓的兩條切線方程為：；切點(diǎn)弦的方程為：.（3）. 若點(diǎn)為雙曲線外一點(diǎn)，過點(diǎn)引雙曲線的兩條切線方程為：；切點(diǎn)弦的方程為：.（4）. 若點(diǎn)為拋物線外一點(diǎn)，過點(diǎn)引拋物線的兩條切線方程為：；切點(diǎn)弦的方程為：.1.競賽題的解析證法證明：如圖2，以旁切圓的圓心O為原點(diǎn)，直線OD為軸，過O點(diǎn)垂直于OD的直線為軸.建立直角坐標(biāo)系，設(shè)旁切圓方程為，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，R），直線BC的方程為.設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則有切點(diǎn)弦EF的方程為兩條切線AF、AE的方程為在方程中，令，得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.直線的方程為：.將代入方程解得.設(shè)與交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.把代入方程并整理得：.設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)

3、分別為，由韋達(dá)定理得，中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的中點(diǎn)坐標(biāo)為.與點(diǎn)的坐標(biāo)相同.所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，即直線平分.2.競賽題在圓錐曲線中的推廣 定理1：如圖3，橢圓旁切于的邊外，D、E、F分別是橢圓與BC、CA和AB的切點(diǎn)，若OD與EF交于K，則有AK平分BC.證明：設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為，點(diǎn)D坐標(biāo)為，AK與BC相交于點(diǎn)M.則過點(diǎn)D的切線方程為：由引理2可知過點(diǎn)A的兩切線方程為：切點(diǎn)弦EF的方程為直線DO的方程為：聯(lián)立、可得K點(diǎn)坐標(biāo)為： .直線AK的方程為：聯(lián)立可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)：設(shè)點(diǎn)B、C的橫坐標(biāo)為、，B、C的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，聯(lián)立可得關(guān)于的一元二次方程：由韋達(dá)定理可得點(diǎn)M與B、C中點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，又都在切線方程上，則它們的縱

4、坐標(biāo)也相等，這兩點(diǎn)是同一點(diǎn)，所以M為線段BC的中點(diǎn)，即直線AK平分BC.定理2：如圖4，雙曲線旁切于的邊外，D、E、F分別是雙曲線與BC、CA和AB的切點(diǎn)，若OD與EF交于K，則有AK平分BC. 定理2的證明與定理1的證明類似，由于篇幅所限，不再贅述. 定理3：如圖5，拋物線旁切于ABC的BC邊外，D、E、F分別是拋物線與BC、CA和AB的切點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的平行線與EF交于點(diǎn)K，則有AK平分BC.證明：設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為，點(diǎn)D坐標(biāo)為，AK與BC相交于點(diǎn)H.則有，過點(diǎn)D的切線方程為： 由引理2可知過點(diǎn)A的兩切線方程為 切點(diǎn)弦EF的方程為聯(lián)立 可求得點(diǎn)K坐標(biāo)為：，進(jìn)而可得直線AK方程為： 聯(lián)立可得點(diǎn)H的橫坐標(biāo)：設(shè)點(diǎn)B、C的橫坐標(biāo)為、，B、C的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，聯(lián)立可得關(guān)于x的一元二次方程： 由韋達(dá)定理可得即點(diǎn)H與B、C中點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，又都在切線方程上，則它們的縱坐標(biāo)也相等，這兩點(diǎn)是同一點(diǎn)，所以H為線段BC的中點(diǎn)，即直線AK平分BC.若是的內(nèi)切圓，其他條件不變，結(jié)論依然成立，用解析法證明的步驟完全相同.這是證明一類三角形旁切圓、內(nèi)切圓問題的方法之一.這種方法的優(yōu)點(diǎn)是思路統(tǒng)一,可以推廣到圓錐曲線中.參考文獻(xiàn):1.