第三章 傅立葉變換

1、 第三章 傅立葉變換時(shí)域分析：f(t) yf(t)=h(t)*f(t) ¯ 分解 ­基本信號(hào)d(t) LTI h(t)頻域分析： f(t) yejwt =h(t)* H(jw)Fejwt ¯ 分解 ­基本信號(hào) sinwt LTI H(jw)ejwtejwt H(jw)：系統(tǒng)的頻域響應(yīng)函數(shù)，是信號(hào)角頻率w的函數(shù)，與t無關(guān).主要內(nèi)容：一、信號(hào)的分解為正交函數(shù)。二、周期信號(hào)的頻域分析¾付里葉級(jí)數(shù)（求和），頻譜的特點(diǎn)。 信號(hào)三、非周期信號(hào)的頻域分析¾付里葉變換（積分），性質(zhì)。 分析四、LTI系統(tǒng)的頻域分析：頻域響應(yīng)H(jw)；y(jw)= H

2、(jw)F(jw). (系統(tǒng)分析)五、抽樣定理：連續(xù)信號(hào)®離散信號(hào).§3.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)一、正交：兩個(gè)函數(shù)滿足 1(t) 2(t)dt=0, 稱i(t),j(t)在區(qū)間( t1 ,t2)正交。二、正交函數(shù)集：幾個(gè)函數(shù) i(t) i(t)dt= 0 當(dāng)ij; Ki 當(dāng)i=j.三、完備正交函數(shù)集：在1(t) n(t)之外，不存在y(t)滿足 y (t) i(t)dt= 0 (i=1,2,n).例、三角函數(shù)集:1,cosWt,cos2Wt, ,cosmWt,sinWt,sin2Wt,sin(nWt),區(qū)間:（t0,t0+T）,t=2/W為周期.滿足： cosmWtcosn

3、Wtdt= 0 mnT/2 m=n0T m=n=0sin（mWt）sin(nWt)dt= 0 mnT/2 m=n0 sin(mWt)cos(nWt)dt= 0. 所有的m和n.結(jié)論:三角函數(shù)集是完備正交集。推導(dǎo)： cosmWtcosnWtdt=(1/2) cos(m+n) Wt+cos(m-n) Wtdt=(1/2)sin(m+n)Wt+(1/2)sin(m-n)Wt =(1/2)sin(m+n) W(t0+T)-sin(m+n)Wt0+(1/2)sin(m-n) W(t0+T)-sin(m-n)Wt0=0 當(dāng)mn時(shí).m=n0，原式=(1/2) cos(m+n)Wt+1dt=(1/2)t =T

4、/2m=n=0 , 原式=(1/2) 1+1dt=T.4、復(fù)函數(shù)的正交函數(shù)集：幾個(gè)復(fù)函數(shù)集i(t)， i(t) i* (t)dt= 0 ij ki i=j例：復(fù)函數(shù)集 ejnt(n=0,±1,±2)區(qū)間(t0,t0+T）,T=2/W為周期。滿足 ejm Wt(ejnWt)*dt= ej(m-n)Wt dt=1/(j(m-n) ej(m-n)Wt dt =0 mn= 1dt=T m=n.結(jié)論： ejnt是完備正交集。(n=0,±1,±2)二、信號(hào)分解為正交函數(shù)集。1、分解： 二維 A=c1vx + c2yy vx ，vy二維正交矢量集三維 A= c1vx

5、+c2vy +c3vz vx ，vy，vz 三維正交矢量集n維：1(t) n(t)在( t1 ,t2)構(gòu)成正交函數(shù)集。f(t)c11 (t)+ c22(t)+cnn(t)+(t)= cjj(t) 任意一個(gè)函數(shù)可以用這幾個(gè)正交函數(shù)的線性組合來近似。2、系數(shù)cj的選擇。方均誤差定義：=1/(t2-t1) f(t)- cjj(t)2dt使 最小，對第i個(gè)系數(shù)ci來說，應(yīng)使/ci =0. cj= f(t) j(t)dt/ ( j(t)2dt)=(1/Kj) f(t) j(t)dt最佳近似條件下的方均誤差：=1/(t2-t1)( f(t)2 dt - cj2Kj). 0,n­, ¯n

6、®, ®0. 則 f(t)2 dt= cj2Kj®稱帕斯瓦爾方程。 f(t)= cjj(t).即函數(shù)f(t)在區(qū)間( t1 ,t2)可分解為無窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和。 §3.2付里葉級(jí)數(shù)一、付里葉級(jí)數(shù)：（三角形式）f(t)=(a0/2)·1+a1cosWt+a2cos2Wt+b 1sinWt+b 2sin2Wt+ = a0/2+ ancos(nWt)+ b nsin(nWt).積分區(qū)間：t0 t0+T, 0T, -T/2T/2Ki= (cos(nWt)2 dt=T/2.an=(2/T) f(t)cos(nWt)dtbn=(2/T)f(t)sin(n

7、Wt)dt形制：a-n=an是偶函數(shù) b-n=-bn時(shí)奇函數(shù) (其中n=0,1,2).2、三角形式二：同頻率項(xiàng)合并。f(t)=a0/2+A1cos(Wt+1)+A2cos(2Wt+2) + = a0/2+ Ancos(nWt+n). A0=a0 an= bn =-arctg(bn / an).由性質(zhì)可知：a0= A0 an=Ancosn bn= bn sinn3、物理意義;同周期信號(hào)可分解為各次諧波之和。f(t)= a0/2+A1cos(Wt+1)+A2cos(2Wt+2) +Ancos(Wt+n)+例3.2-1 f(t)為方波，分解為付里葉級(jí)數(shù)。周期：T 頻率：1/T 角頻率：W=2p/T.

8、 區(qū)間：(-T/2,T/2)(1)f(t)= a0/2+ ancos(nWt)+ bnsin(nWt) an=(2/T) f(t)cos(nt)dt =0 bn=(2/T) f(t)sin(nt)dt= 0 n=2,4,6. 4/(np) n=1,3,5f(t)=(4/p)sinWt+(1/3)sin(3Wt)+ (1/n)sin(nWt)+ 結(jié)論：方波只含有1，3，5等奇次諧波分量，無直流分量。（2）方均誤差（有限項(xiàng)逼近）=1/(t2-t1) f2(t)dt- c2jKj=(1/T) 1dt-(T/2) （bj）2=1-(1/2) （bj）2只取基波：=1-(1/2)(4/p)2=0.189

9、.取基三次諧波：=1-(1/2)(4/p)2+(4/3p)2=0.0994.基“+”3，”+”5次: =1-(1/2)(4/p)2+(4/3p)2+(4/5p)2=0.0669（3）方波分解的特點(diǎn)1、它包含的基波分量越多，越接近方波，其均方誤差越小。2、當(dāng)合成波所含基波次數(shù)n®，在間斷點(diǎn)仍有約9%偏差，在間斷點(diǎn)出尖峰下的面積非常小以致趨近于零。二、奇偶函數(shù)的付里葉系數(shù)的特點(diǎn):1、為偶函數(shù)：f(-t)=f(t),關(guān)于縱坐標(biāo)對稱。an=(2/T) f(t)cos(nWt)dt =(2/T)f(t) cos(nWt)dt +(2/T)f(t) cos(nWt)dtan=(4/T)f(t)

10、cos(nWt)dt bn=(2/T) f(t)sin(nWt)dt+(2/T)f(t)sin(nWt)dt bn= 0. 當(dāng)f(t)為偶函數(shù)時(shí)an=(4/T)f(t) cos(nWt)dt An= |an| bn/ an=0 bn= 0 jn= mp arctgbn/an角度為0，p2、f(t)為奇函數(shù)。F(-t)=-f(t),波形關(guān)于原點(diǎn)對稱。當(dāng)f(t)為奇函數(shù)時(shí)：an=0 An= |bn|bn=(4/T)f(t)sin(nt)dt jn= (2m+1)p/2. bn/an®. 奇函數(shù)只有正弦項(xiàng)。 任意函數(shù) f(t)=fod(t)+fev(t)® fod(t)=(f(t

11、)-f(-t)/2. f(-t)= fod(-t)+fev(-t)= -fod(t)+fev(t) fev(t)=(f(t)+f(-t)/2. 3、f(t)為奇諧函數(shù)。（半波對稱函數(shù)）f(t)=- f(t±T/2),移動(dòng)T/2后，關(guān)于橫軸對稱。付里葉級(jí)數(shù)只含奇次諧波，不含偶次諧波。a0= a2= a4= a6=¼ b0= b2= b4=¼=0例3.2-2 把鋸齒波信號(hào)展為付里葉級(jí)數(shù)。解： 方法1：f(t)=t/T既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)，直接在0,T區(qū)間上求an ，bn .方法二：把分為奇偶兩部分。fev(t)=(1/2)f(t)-f(-t)=(1/2)t/T+(

12、-t+T)/T=1/2. fod(t)=(1/2)f(t)+f(-t)=(1/2)t/T-(-t+T)/T=t/T-1/2=(t-T/2)/T. 奇函數(shù)部分分解為：an bn =(4/T)t/T-1/2sin(nWt)dt=(4/T2)sin(nWt)-nWcos(nWt)/(nW)2+(2/T)cos(nWt)/(nW)=-1/np. n=1,2,3 f(t)= fev(t)+fod(t)=1/2+ bn sin(nWt)=1/2-(1/p)sinWt+(1/2)sin(2Wt)+(1/3) sin(3Wt)+.鋸齒波含直流分量和各次諧波分量。三、周期信號(hào)分解為指數(shù)形付里葉級(jí)數(shù)。1、定義式：

13、（由三角形式推導(dǎo)）f(t)=A0/2+ Ancos(nWt+n)= A0/2+ (An/2)ej(nt+n)+e -j(nt+n)。 f(t)= Fnejnt2、確定付里葉系數(shù)Fn Fn=(1/2) Anejn+(1/2)Ancosn)+jAnsinn=(1/2)(an-jbn) =(1/2)(2/T) f(t)cos(nt)dt-j(1/2)(2/T) f(t)sin(nt)dt =(1/T)f(t)cos(nt)-jsin(nt)dt Fn=(1/T) f(t)e-jntdt. n=0,±1,±23、物理意義：周期信號(hào)可分解為許多不同頻率(nW)的虛指數(shù)信號(hào)(ejnt)

14、之和。每個(gè)分量的大小用Fn來表示，分為幅度和相位。 各三角函數(shù)型和指數(shù)型付里葉級(jí)數(shù)及其系數(shù)，以及各系數(shù)間的關(guān)系見表4-1。 §3.3 周期信號(hào)的頻譜一、頻譜的概念： 頻譜分為 F 幅度頻譜：以頻率（或角頻率W）為橫坐標(biāo)，An/Fn為縱坐標(biāo)。 F 相位頻譜：以頻率（或角頻率W）為橫坐標(biāo)，n 為縱坐標(biāo)。f(t)=A0/2+ Ancos(nt+n)A0為直流分量幅度；An為n次諧波的振幅；n為n次諧波的初相角。周期信號(hào)的頻譜是離散的。結(jié)論：正如波形是信號(hào)在時(shí)域的表示一樣，頻譜則是信號(hào)在頻域的表示。描述了一個(gè)信號(hào)的頻譜就等于描述了這個(gè)信號(hào)。信號(hào)分解：從已知信號(hào)繪制其頻譜圖。 合成：根據(jù)其頻譜

15、圖反過來和成原有的信號(hào)。 波形f(t) 頻譜Fn與An比較：An：每條譜線代表一個(gè)完整的諧波分量的幅度，物理意義明確。Fn：從數(shù)學(xué)上將cosnWt分成ejnt和e-jnt，有負(fù)頻率，沒有物理意義。變化趨勢一致都可進(jìn)行信號(hào)的頻譜分析。Fn=(1/2)An.3、周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)：離散性；諧波性（是基波頻率的整數(shù)倍）。二、周期矩形脈沖的頻譜。f(t)幅度為1，脈沖寬度為t;周期為T.1、求頻譜：f(t)= nejntFn=(1/T)f(t) e-jntdt=(1/T) e-jntdt=(t/T)sin(nWt)/(nW)=(t/T)sin(nWt/2)/(nWt/2)= (t/T)Sa(nWt/2

16、) 或W=2p/T. n=(t/T)sin(n2pt/2T)/(n2pt/2T) =(t/T)Sa(npt/2). N=0,±1,±2¼ (1) f(t)= (t/T)Sa(npt/2) ejnt 是指數(shù)形式的付里葉級(jí)數(shù)展開式。由（1）式畫出矩形脈沖信號(hào)頻譜圖。設(shè)T=4tFn=(t/4t)Sa(npt/4t)=(1/4)sin(npt/4)/(np/4)= sin(np)/(np) n=0,±1,±2¼n=0 F0 =1/4=0.25 Sa(x)=1,當(dāng)x®0時(shí)n=1 F1= sin(p/4)/p=0.225. n=2 F2

17、= sin(p/2)/2p=0.16 n=3 F3= sin(3p/4)/3p=0.075.n=4 F4= sin(p)/4p=0. n=5 F5= sin(5p/4)/5p=-0.045.n=6 F6= sin(3p/2)/6p=-0.053. n=7 F7= sin(7p/4)/7p=-0.032.n=8 F8= sin(2p)/8p=0. 特點(diǎn)：1、是離散的，僅含有w=nW的各分量。(n取整數(shù))。 2、譜線間隔為W（W=2p/T） T­ 間隔小，密 T¯ 間隔大，疏 3、第一零點(diǎn)在2p/t處，與t有關(guān) t­ 主瓣寬 t¯ 主瓣窄。2、脈沖寬度與頻譜

18、的關(guān)系：t¯ 直流分量F0=t/T¯ 頻帶寬度DF=1/t­ 保持第一零點(diǎn)內(nèi)能量不變。脈沖寬度(t) 頻譜幅度(F0=t/T) 第一零點(diǎn) DF=1/t t=T/4 F0=1/4 2p/t=8p/T 4/Tt=T/8 F0=1/8 2p/t=16p/T 8/Tt=T/16 F0=1/16 2p/t=32p/T 16/T 3、周期與頻譜的關(guān)系。譜線間隔保持第一零點(diǎn)內(nèi)能量不變 F0=t/4 W=2p/TT=4t F0=1/4 W=2p/4t T=8t F0=1/8 W=2p/8t T=16t F0=1/16 W=2p/16t T®¥ ，頻譜趨于一個(gè)脈

19、沖。三、周期信號(hào)的功率 p= (1/T)f2(t)dt=(1/T) A0/2+ Ancos(nt+n)2dt= (A0/2)2 + (An)2/2. P=(1/T)f2(t)dt= F02+2 Fn2=F-n2+F02+ Fn2=Fn2例3.3-1 T=1,t=0.2解：p= (1/T)f2(t)dt=(1) 2dt=0.2Fn = (t/T)Sa(npt/T)=0.2·Sa(0.2pt) n=0,1,2,3,4,5.確定第一個(gè)零點(diǎn)：2p/t= 2p/0.2=10p, W= 2p/T= 2p,n= 10p/2p=5.P10p=(0.2)2+2(0.2)2Sa2(0.2p)+Sa2(0

20、.4p)+Sa2(0.6p)+Sa2(0.8p)+ Sa2(p)=0.1806。P10p/p=0.1806/0.2=90.3%. 4、=H(jnW) n =（1/）Sa(0.2np)e-jarctg0.5n y(t)= ejnWt= Sa(0.2np)/ e-jarctg0.5n .輸出波形與時(shí)域分析相同。§3.4 非周期信號(hào)的頻譜¾付里葉變換信號(hào)分析；F 周期信號(hào)：可展開為付里葉級(jí)數(shù)，頻譜n是離散的，求和形式，滿足狄里赫利條件。F 非周期信號(hào)：存在付里葉變換，頻譜密度F(jw)是連續(xù)的，積分形式， f(t)dt<¥一、付里葉變換。由周期信號(hào)非周期信號(hào)，推導(dǎo)

21、出付里葉變換的定義。1、頻譜密度函數(shù)定義：F(jw)=n/(1/T)= n·T稱為頻譜密度函數(shù)。n/f表示單位頻率的頻譜，類似于單位體積的質(zhì)量，定義為物體的密度。T®¥,即為非周期。2、付里葉變換的定義：周期信號(hào) n·T=f(t) e-jntdt (1)f(t)= n·T·ejnt·(1/T)= f(t)e-jntdt·ejnt·W/2p. (2)非周期信號(hào): F(jw)= n·T def f(t) e-jwt dt f(t)= f(t)e-jwtdtejwtdw/2pdef=(1/2p)f(j

22、w)ejwtdwF(jw)=f(t) f(t)=F(jw) f(t)« F(jw) F(jw)與n一樣，也是一復(fù)函數(shù)，討論時(shí)可分開寫為:F(jw)=F(jw)ejj(w)=R（w)+jX(w)=F(jw)cos j(w)+jF(jw)sin j(w).3、復(fù)里葉變換的物理意義三角形式：f(t)= (1/2p) F(jw)ejwtdw=(1/2p) F(jw)ejwt + j(w)dw=(1/2p)F(jw)coswt+j(wt)dw +j(1/2p)F(jw)sin wt+j(wt)dw =(1/p)F(jw)cos wt+j(wt)dw定義:非周期信號(hào)可看作是由不同頻率的各余弦“分

23、量”組成，它包含了頻率從零到無限大的一切頻率“分量”。三要素：1、它包含了頻率從零到無限大的一切頻率“分量”，且是連續(xù)的。2、各分量的振幅為：(1/p)F(jw)dw 它是無窮小量。3、相位為j(w)。4、付里葉變換的條件：充分條件：f(t)在無限區(qū)間內(nèi)絕對可積，即f(t) e-jwt dt<¥，但這并非必要條件。在引入d(t)函數(shù)后，可將條件放寬，使許多不滿足絕對可積條件的函數(shù)也能進(jìn)行付里葉變換。例3.4-3：雙邊指數(shù)函數(shù)（a>0，衰減） e-at « (2a)/(a2+w2) 實(shí)函數(shù)。例3.4-4：f2(t)= - e-at t<0e-at t>

24、0 (a>0)滿足絕對可積條件。 F2(jw)=- eat·e-jwtdt+ e-at·e-jwtdt =-1/(a-jw)+1/(a+jw)=-j2w/(a2+w2)。 F2(jw)= R2(w)+jX2(w)5、典型常用信號(hào)的付里葉變換。門函數(shù)gt (t)，幅度為1,寬度為t. F(jw)= f(t)e-jwtdt=1 e-jwtdt= (e-jwt¤2-e-jwt¤2)/(-jw)=2sin(wt/2)/w=t·Sa(wt)/2 零點(diǎn)幅值：F(0)=t第一零點(diǎn)位置在wt/2=p,w=2p/t處。信號(hào)的寬度DF=1/t , t

25、5; DF­單邊指數(shù)函數(shù)f(t)= e-at·e(t),(a>0)，滿足絕對可積條件。 F(jw)= f(t)e-jwtdt= e-at·e-jwtdt = -1/(a+jw)·e-(a+jw)t =0-1/-( a+jw)= 1/(a+jw).a>0.復(fù)函數(shù) | F(jw)|=1/ . 偶函數(shù) j(w)=-arctg(w/a). 奇函數(shù) F(jw)= f(t)e-jwtdt= f(t)cos(wt)dt-jf(t)sin(wt) dt.特點(diǎn)：若f(t)是t的偶函數(shù) ®F(jw)是的實(shí)函數(shù)若f(t)是t的奇函數(shù) ® F(j

26、w)是的虛函數(shù)。若f(t)非奇非偶 ® F(jw)為復(fù)函數(shù)，用幅度和相位才能表示。二、奇異函數(shù)的付里葉變換。1、d(t)的頻譜由定義d(t)= d(t)e-jwtdt=1其頻譜密度在-¥<w<¥區(qū)間處處相等。由極限概念(1/t)gt(t)= (1/t)×t×Sa(wt/2) d(t)= Sa(wt/2)=1.2、單位直流信號(hào)的頻譜：f(t)=1, -¥<t<¥不滿足絕對可積條件，不能用定義。只有極限概念得到：引入d()函數(shù)后，條件放寬。雙邊指數(shù)：f1(t)=e-aôtô a

27、4;0 f1(t)=1. F1(jw)=2a/(a2+w2) a®0 2a/(a2+w2)= 0 w¹0 2/a w=0是一個(gè)以w為位自變量的沖激函數(shù)，強(qiáng)度有沖激函數(shù)定義求出。強(qiáng)度：2a/(a2+w2)dw=2a/1+(w/a)2d(w/a) =2arctg(w/a) = 2arctg(¥)-arctg(-¥)=2p/2-(-p/2)=2p. 1=2pd(w).3、符號(hào)函數(shù) sgn(t)= -1 t<0 0 t=0 1 t>0不滿足決度可積條件，不能用定義。用極限 f2(t)= -e-at t<0 a®0 Sgn(t)= -1

28、 t<0eat t>0 1 t>0 a®0 F2(jw)=-2jw/(a2+w2) -2jw/(a2+w2)= -2j/w=2/jw w¹0 0 w=0F2(jw)是的奇函數(shù)，在 w=0處時(shí)值為0. 4、e(t)的頻譜v(t)不滿足絕對可積條件，不能用定義求.v(t)=1/2+(1/2)Sgn(t).e (t)=(1/2)1+(1/2)Sgn(t)=pd(w)+1/jw.5、d(t)的頻譜d¢(t)=d¢(t)e-jwtdt= jw.同理：d(n)(t)=(jw)(n). § 3.5 付里葉變換的性質(zhì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)有兩種描述方法

29、: C 時(shí)域描述 f(t)C 頻域描述 F(jw)一、線性 a1f1(t)+ a2f2(t) Û a1F1(jw)+ a2F2(jw)利用該性質(zhì)，可將所求信號(hào)表示成已知頻譜信號(hào)的線性組合，用間接方式求出頻譜函數(shù)。二、奇偶性 大前提，f(t)是實(shí)函數(shù)；f(t)與F(jw)奇偶虛實(shí)關(guān)系:推導(dǎo)：F(jw)=f(t)e-jwtdt=f(t)coswtdt-jf(t)sinwtdt F(jw)=R(w)+jX(w)=ôF(jw)ôejj(w) ôF(jw)ô= ,j (w)=arctgX(w)/R(w).1、實(shí)部是偶函數(shù)R(w)=R(-w)，虛部是奇函數(shù)

30、X(w)=-X(-w). 模是偶函數(shù)，ôF(jw)ô=ôF(-jw)ô,相角是奇函數(shù)j (w)=-j (-w)。2、若f(t)是偶函數(shù)f(t)=f(-t),則X(w)=0, F(jw)=R(w)是實(shí)函數(shù)，也是偶函數(shù)若f(t)是奇函數(shù)f(t)=-f(-t),則R(w)=0, F(jw)=jX(w)是虛函數(shù)，也是奇函數(shù)偶：f(t)sinwt是的奇函數(shù)，虛部積分為0，只有實(shí)部。奇：f(t)coswt是的奇函數(shù)，實(shí)部積分為0，只有虛部。3、f(-t)« F(-jw)= F*(jw)。推導(dǎo)：f(-t) = f(t)e-jwtdtt=-t f(t)ejwt

31、d(-t) = f(t)e-j(-w)td(t)=F(-jw). F(-jw)= R(-w)+jX(-w)=R(w)-jX(w)=F*(jw).三、對稱性若f(t) « F(jw) 則F(jt) «2pf(-w)當(dāng)f(t)為偶函數(shù)時(shí)： f(t) « R(w),R(t) «2pf(w).推出：F(jw)=f(t)e-jwtdtf(t)=(1/2p) F(jw)ejwtdw令t=-t,f(-t)= (1/2p) F(jw)e-jwtdw令t=w/ w=t ，f(-w)= (1/2p) F(jt)e-jwtdt« (2p) f(-w)= F(jt)e

32、-jwtdt.定義：時(shí)間函數(shù)F(jt) 與F(jw)形式相同的付里葉變換是(2p)f(w).例：d(t)« 11«(2p)d(w)利用對稱性，可以很方便地求出一些函數(shù)的付里葉變換。例:4.5-1 Sa(t)=sint/t.門函數(shù)gt(t) «t Sa(wt/2)令t/2=1.則t=2.(1/2)×gt(t) «2×(1/2)×Sa(w)=Sa(w). «由對稱性知：Sa(t) « 2p×(1/2)×g2(w)= pg2(w) « 例：f(t)=t d¢(t)

33、71; jw. jt«2p× d¢(-w)=-2p× d¢(w) t«+j2p× d¢(w).例：f(t)=1/t.已知：sgn(t)«2/jw 則2/(jt)« 2psgn(w).1/t «jpsgn(-w)=-jpsgn(w).四、尺度變換（時(shí)域展縮）若 f(t) « F(jw) 則f(at) « (1/ôaô) F(jw/a) 結(jié)論：信號(hào)的等效脈沖寬度與占有的等效寬度成反比。若言壓縮信號(hào)的持續(xù)時(shí)間，則不得不以占寬頻帶作代價(jià)。在通信中，通信速

34、度與占用頻帶寬度是一對矛盾。通信系統(tǒng)的設(shè)計(jì)便是尋找矛盾的合理解決方案。五、時(shí)移特性若f(t) « F(jw) 則f(t±t0) « e±jwt0F(jw)= ôF(jw)ô ejj(w)±jwt0即時(shí)域中信號(hào)延時(shí)t0 «頻域中所有頻率“分量”相應(yīng)落后一相位w t0，而幅度不變。既有時(shí)移又有尺度變換若f(t) « F(jw) 則f(at+b) « (1/ôaô) e-j(b/a)w F(jw/a) b=0 尺度變換 a=1，時(shí)移。例3.5-3 已知f1(t)= g2(t), F

35、(jw)= «t Sa(wt/2)= 2Sa(w)=zsinw/w. 解：(1) f2(t)= f1(t+1)+f1(t-1) F2(jw)= ejw F1(jw)- e-jw F1(jw)= (ejw - e-jw)2sinw/ w=4j×sin2w/ w. (2) f3(t)= f2(2t) F3(jw) = (1/2) F2(jw/2)= (1/2) 4j×sin2(w/2)/(w/2)= j4×sin2(w/2)/w.例3.5-5 已知f(t) « F(jw) 求f(3-2t) « ej4t的付里葉變換。解：f(t) 

36、1; F(jw)時(shí)移：f(t+3) «ej3w F(jw)尺度變換 a=-2, f(-2t+3) «(1/ô-2ô) ej3w/(-2) F(jw/(-2)= (1/2) e-j(3/2)w F(-jw/2)頻移特性： ej4t f(3-2t) « (1/2) e-j(3/2)(w-4) F(-j(w-4)/2).六、頻移特性(調(diào)制特性)若f(t) « F(jw) w0為常數(shù) f(t)e±jw0t « Fj(ww0).證：f(t) ejw0t= f(t) ejw0t×e-jwtdt=f(t)×e

37、-j(w-w0)tdt= Fj(w-w0).應(yīng)用：頻域搬移技術(shù)在通信系統(tǒng)中得到廣泛應(yīng)用，諸調(diào)頻、同步解調(diào)、變頻等過程都是在頻譜搬移的基礎(chǔ)上完成的。頻譜搬移的實(shí)現(xiàn)原理是將信號(hào)乘以載頻信號(hào)cosw0t或sinw0t。應(yīng)用例子：y(t)= gt(t) cosw0t y(t)= (1/2)gt(t) ×e-jw0t+(1/2)gt(t)×ejw0t Y(jw)=(t/2)Sa(w+w0)t/2)+(t/2)Saw-w0)t/2.表示：已調(diào)信號(hào)的頻譜是將原頻譜一分為二，分別向左和向右搬移w0，在搬移中幅度譜的形狀并未改變。應(yīng)用：收音機(jī)，分成各個(gè)波段，將聲音調(diào)制在不同的頻段上。七、卷積

38、定理1、時(shí)域卷積定理：f1(t)* f2(t)« F1(jw)F2(jw)證： f1(t)* f2(t)= f1(t)f2(t-t)dt×e-jwtdt = f1(t) f2(t-t)×e-jwt dtdt = f1(t)×e-jwt F2(jw)dt =F2(jw) f1(t)×e-jwtdt= F2(jw)F1(jw)2、頻域卷積定理：f1(t)f2(t) «(1/2p) F1(jw)*F2(jw)=(1/2p) F1(jh)F2(jw-jh)dh.例：3.5-7 r(t)=tv(t)的頻譜函數(shù)解：1、t的頻譜 t«j2

39、p×d¢(w)2、e(t)的頻譜 e(t) «p×d(w)+1/(jw)3、由頻域卷積定理te(t)= (1/2p) j2p×d¢(w)*p×d(w)+1/(jw) = jp×d¢(w)*d(w)+d¢(w)*(1/w) = jp×d¢(w)+d (w)*(1/w)¢= jp×d¢(w)+ jp×d¢(w)-1/w2 te(t) «jp×d¢(w)-1/w2可推出：ôtô

40、71;-2/w2八、時(shí)域微積分1、微分：f(t) « F(jw) f¢(t) « jwF(jw). f(n)(t) « (jw)n F(jw)證：f¢(t)=f(t)*d¢(t) f¢(t)= f(t) ×d¢(t)= F(jw)×jw.2、積分：f(-1)(t) « pF(0) ×d(w)+(1/jw)F(jw) f(-1)(t) « (1/jw)F(jw) 當(dāng)F(0)= f2(t)dt=0時(shí)證：f(-1)(t)= f(-1)(t)* d(t)= f (t)* d

41、(-1)(t)= f(t)*e(t). f(-1)(t) = f(t) ×e(t)= pF(0)×d(w)+(1/jw)= pF(jw)×d(w)+(1/jw) F(jw)=pF(0)×d(w)+(1/jw) F(jw) 如果F(0)=0即F(0)= f2(t)dt=0則f(-1)(t) « (1/jw)F(jw) 例：3.5-8 仍求fD(t)的頻譜函數(shù)。解：fD(t)® f¢D(t)® f¢¢D(t).沖激函數(shù)變換 F(jw) fD(t)= f(-2)(t) 為雙重積分。 f(t)=(2/t

42、)d(t+t/2)- (4/t)d(t)+ (2/t)d(t-t/2) F(jw)=(2/t) ejwt/2- (4/t)+ (2/t) e-jwt/2 =(4/t)cos(wt/2)-1=-8sin2(wt/4)/t.要用積分公式限判斷F(0)= fD(t)dt=0，因?yàn)殡p重積分，判斷F(0)= fD (t)dt=0, F(0)= f¢D(t)dt=0. FD(jw)=(1/jw)2 F(jw)=8sin2(wt/4)/(wt)2= (2/t)Sa2(wt/4).九、頻域微積分1、微分：f(t) « F(jw) -jtf (t) « F¢(jw). (

43、-jt)n f(t) « F(n)(jw)2、積分： pf(0)×d(t)-(1/jt)f(t)« F(-1)(jw) -(1/jt)f (t) « F(-1) (jw) 當(dāng)f(0)= 0時(shí).例：3.5-10. 求te(t) 的付氏變換。解： e(t) «p×d(w)+1/(jw) -jt e(t) «dp×d(w)+1/(jw)/dw=p×d¢(w)-1/(jw2).te(t) «jp×d¢(w)+1/w2例：3.5-11 求 Sa(t)=sint/t的付氏變換。

44、 f(t)=sint=(1/2j)(ejt-e-jt) « (1/2j)2pd(w-1)-d(w +1) =jpd(w +1)-d(w-1)=F(jw)f(0)=0 sint/(-jt) « F(-1)(jw)=jpd(h+1)-d(h-1)dh = jpe(w +1)-e(w-1) sint/t«pe(w +1)-e(w-1)= pg2(w)。十、能量譜和功率譜：1、能量譜信號(hào)的能量：E= f2(t)dt= f(t)×(1/2p) F(jw)×ejwt dwdt =(1/2p) ôF(jw)ô2 dw.能量譜： (w)=&

45、#244;F(jw)ô2 單位頻率的信號(hào)能量，能量密度函數(shù)。 E= f2(t)dt =(1/2p)(w)dw.2、功率譜信號(hào)的功率：P= (1/T)f2(t)dt=(1/2p)(ôF(jw)ô2)/Tdw.功率譜: j(w)=(ôF(jw)ô2)/T單位頻率的信號(hào)能量，功率密度函數(shù)。 P= (1/2p)j(w)dw. § 3.6 周期信號(hào)的付里葉變換信號(hào)分析；F 周期信號(hào)：可展開為付里葉級(jí)數(shù)(求和)，頻譜Fn是離散的，滿足狄里赫利條件。F 非周期信號(hào)：存在付里葉變換(積分)，頻譜密度F(jw)是連續(xù)的， f(t)dt<¥

46、;,可放寬。目的：統(tǒng)一分析方法。一、正余弦函數(shù)的付里葉變換（典型的周期信號(hào)） 1«2pd(w) ejw0t«2pd(w-w0) e-jw0t«2pd(w+w0) cosw0t=(1/2)(ejw0t+e-jw0t)«pd(w-w0)+ d(w+w0) sinw0t=(1/2j)(ejw0te-jw0t)«pd(w+w0)- d(w-w0)二、一般周期函數(shù)的付里葉變換：fT(t),周期為T.方1、先求Fn，再求F(jw)= fT(t)fT展開成付里葉級(jí)數(shù)：fT(t)= Fnejnt Fn=(1/T)f(t)e-jntdt.F(jw)= fT(t)

47、= Fnejnt=(2p) Fnd(w-nW)含義：有無窮多個(gè)沖擊函數(shù)組成，位置在nW處，強(qiáng)度2pFn.例3.6-1解：先求 Fn=(t/T)Sa(nWt/2) F(jw)= PT(t)=(2p)(t/T)Sa(nWt/2) d(w-nW) = 2sin(nWt/2)/nd(w-nW)比較 fn 與 F(jw)圖形相位似，含義不同。Fn是虛指數(shù)分量的幅度和相位；F(jw)是頻譜密度。 例3.6-2 求dT(t)= d(t-nT)的付里葉變換解：先求Fn=(1/T) dT(t)e-jntdt=(1/T) d(t)e-jntdt=1/T 再求F(jw)=dT(t)=(2p)Fnd(w-nW)=(2

48、p/T)d(w-nW) = W d(w-nW)=Wd(w) dT(t)« WdW(w).方2、先求第一周期函數(shù)f0(t) « F0(jw)，再求F(jw). 先求第一周期函數(shù)f0(t) « F0(jw)， fT(t)= f0(t)* d(t-nT)= f0(t)*dT(t) 再求 F(jw)=fT(t)= f0(t)dT(t)= F0(jw)WdW(w)= W F0(jw)d(w-nW)=W F0(jnW)d(w-nW)例3.6-3 P0(t)=gt(t) 的付里葉變換.解：先求P0(t)= tSa(wt/2)再求: PT(t)= W tSa(nWt/2) d(w

49、-nW) =(2p)(t/T) Sa(nWt/2) d(w-nW) 三、付里葉系數(shù)與付里葉變換比較 fT(t)= (2p)Fn d(w-nW) fT(t)= (2p/T)F0(jnW)d(w-nW).關(guān)系：Fn=(1/T) F0(jnW)=(1/T) F0(jw)表明：付里葉變換中的許多性質(zhì)，定理也可用于付里葉級(jí)數(shù)，并提供一種求Fn的方法。例3.6-4：將fT(t)展開成指數(shù)形式付里葉級(jí)數(shù)。解：f1(t)« F1(jw)=(T/2)S2a(wT/4) f0(t)« F1(jw)e-j(T/2)w=(T/2)S2a(wT/4) e-j(T/2)w= F0(jw)Fn=(1/T

50、) F0(jw)=(1/2) S2a(nWT/4)e-j(T/2)nW = (1/2) S2a(np/2)e-jnpfT(t)= (1/2) S2a(np/2)e-jnpe-jnWt § 3.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析一、頻域響應(yīng)： f(t)® LTI系統(tǒng) ® y(t)=yf(t) ejwt ® LTI系統(tǒng) ® H(jw) ejwt f(t)=(1/2p)F(jw)ejwtdw® LTI系統(tǒng) ®y(t)= (1/2p) H(jw)F(jw)ejwtdw1、頻域響應(yīng)的定義;當(dāng)輸入為f(t)= ejwt 時(shí)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)

51、=h(t)*f(t)=h(t)* ejwt = h(t)ejw(t-t)dt=h(t)e-jwtdtejwt= H(jw)ejwt 定義：H(jw)=h(t)e-jwtdt為頻域響應(yīng)函數(shù)/系統(tǒng)函數(shù)；關(guān)系：h(t)« H(jw) 用來描述系統(tǒng)的特性；表示H(jw)=ôH(jw)ôejj(w)h(t)描述時(shí)域特性 ； H(jw)描述頻域特性 ； 2、頻域分析的基礎(chǔ)方法：當(dāng)激勵(lì)為任意信號(hào)f(t)時(shí) f(t)« F(jw) 系統(tǒng)函數(shù)h(t)« H(jw) y(t)« Y(jw)= H(jw)F(jw)時(shí)域分析 f(t)*h(t) = y(t) 頻域分析 的關(guān)系： H(jw)