人教九年級(jí)數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)—旋轉(zhuǎn)基礎(chǔ)知識(shí)及專題word版含答案

1、旋轉(zhuǎn)及綜合專題一、旋轉(zhuǎn)相關(guān)定義1、定義：把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn) O 轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)，點(diǎn) O 叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角。2、如果圖形上的點(diǎn) P 經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)?P1 ，那么這兩個(gè)點(diǎn)叫做這個(gè)旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。3、（1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，即旋轉(zhuǎn)中心在對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線上；（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；（3）旋轉(zhuǎn)前、后圖形全等。4、把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180° ，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心。這兩個(gè)圖形的對(duì)稱點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn)。5、（1）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)所連

2、線段都經(jīng)過對(duì)稱中心，而且被對(duì)稱中心平分；（2）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形。6、把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180° ，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心。二、旋轉(zhuǎn)相關(guān)結(jié)論如 圖 ， 將 DABC 繞 點(diǎn) A 逆 時(shí) 針 旋 轉(zhuǎn) a 角 到DAB1C1 。點(diǎn) B 和點(diǎn) B1 為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)C 和C1 為對(duì) 應(yīng)點(diǎn)。結(jié)論 1：旋轉(zhuǎn)中心為對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段垂直平分 線的交點(diǎn)，也即對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線 均經(jīng)過旋轉(zhuǎn)中心。如圖，線段 BB1 的垂直平分 線l1 、線段CC1 的垂直平分線l2 都經(jīng)過旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn) A 。利用這個(gè)結(jié)論我們可以利用

3、對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)求出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)。由于對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的 垂直平分線均經(jīng)過旋轉(zhuǎn)中心，因此只需求出兩 組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線解析式，然后 聯(lián)立即可求出旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)。結(jié)論 2：對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所構(gòu)成的三角形均為等腰三角線，且等腰三角形頂角均等于旋轉(zhuǎn)角a。如圖， DABB1 和 DACC1 均為等腰三角形， ÐBAB1 = ÐCAC1 = a。結(jié)論 3：對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所構(gòu)成的三角形均相似。如圖， DBAB1 DCAC1 。結(jié)論 4：旋轉(zhuǎn)前、后圖形全等。如圖， DABC DAB1C1 。示例 1：已知 A(-3,2) 、O(0,0) ，將線段OA 繞點(diǎn) P 旋轉(zhuǎn)得到線段O1 A1

4、 ，其中O1 (-1,-1) 、A1 (-3,-4) ，O1 為點(diǎn)O 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)， A1 為點(diǎn) A 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)。分析：旋轉(zhuǎn)中心為對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段垂直平分線的交點(diǎn)，因此只要求出線段 AA1 和線段 OO1 的解析 式，然后聯(lián)立即可求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)。解析： A(-3,2) ， A1 (-3,-4) 直線 AA1 : x = -3直線 AA1 的垂直平分線l1 : y = -1 O(0,0) ，O1 (-1,-1) 直線OO1 : y = x直線OO1 的垂直平分線l2 : y = - x - 1點(diǎn) P 為 l1 與 l2 的交點(diǎn)，聯(lián)立：，可得： P(0,-1) 。點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 P

5、(0,-1) 。附：在直角坐標(biāo)系中求線段的垂直平分線的方法（必須掌握知識(shí)點(diǎn)） 已知點(diǎn) A( x1 , y1 ) 和點(diǎn) B( x2 , y2 ) ，求線段 AB 的垂直平分線l 。 處理方法如下：第一步：根據(jù)點(diǎn) A( x1 , y1 ) 和點(diǎn) B( x2 , y2 ) 的坐標(biāo)首先求出直線 AB 的解析式：l1 : y = k1 x + b1 。第二步：設(shè)線段 AB 的垂直平分線 l 的解析式為： l : y = k2 x +b2 。以為 l2 l1 ，所以k1 · k2 = -1 ，從而求出k 2 = -，因此線段 AB 的垂直平分線l 的解析式轉(zhuǎn)化為：第三步：根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式直接寫出

6、線段 AB 中點(diǎn) M (,) 。分析：既然直線l 為線段 AB 的垂直平分線，所以直線l 經(jīng)過線段 AB 的中點(diǎn)，也即線段 AB 的中點(diǎn)在直線 l 上。第四步：將線段 AB 的中點(diǎn) M (,)代入 l : 中求出 b2 的值。最后將 b2 的值代入中即可求出線段 AB 的垂直平分線的解析式。示例：已知點(diǎn) A(-2,4) 和點(diǎn) B(2,2) ，求線段 AB 的垂直平分線 l 。處理方式如下：第一步：由點(diǎn) A(-2,4) 和點(diǎn) B(2,2) ，可得直線 AB 的解析式 l1: y = - x + 3 。第二步：設(shè)線段 AB 的垂直平分線 l 的解析式為： l : y = k2 x +b2 。以為

7、l2 l1 ，所以k1 · k2 = -1 ，從而求出k 2 =2 ，因此線段 AB 的垂直平分線 l 的解析式轉(zhuǎn)化為：l : y = 2 x +b2 。第三步：由點(diǎn) A(-2,4) 和點(diǎn) B(2,2) ，可得線段 AB 的中點(diǎn) M (0,3) 。 第四步：將點(diǎn) M (0,3) 代入 l : y = 2 x +b2 中可得 b2 = 3 。 因此，最終可得線段 AB 的垂直平分線為 l : y = 2x + 3 。提醒：處理方法需要牢記，另外計(jì)算的時(shí)候要格外細(xì)心，千萬不要算錯(cuò)了！三、點(diǎn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90° 問題此種問題通過構(gòu)造兩個(gè)直角三角形全等，然后利用對(duì)應(yīng)直角邊線段長(zhǎng)度相等，從

8、而求出對(duì)應(yīng) 點(diǎn)坐標(biāo)。示例：將點(diǎn) A(-3,4) 繞點(diǎn) P(-1,1) 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90° ，求點(diǎn) A 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) A1 的坐標(biāo)。 分析：旋轉(zhuǎn)不改變圖形線段長(zhǎng)度及圖形線段的夾角。因此有 PA = PA1 。由于旋轉(zhuǎn)角為90° ， 即 ÐAPA1 = 90° ， 因 此 我 們 可 以 就 斜 邊 PA = PA1 ，以平行于坐標(biāo)軸的線段構(gòu)造兩個(gè) 直角三角形。很顯然，這兩個(gè)直角三角形時(shí)全等三角形。然后利用直角邊線段長(zhǎng)度關(guān)系 即可求出點(diǎn) A1 的坐標(biāo)。解析：如圖，過點(diǎn) P 作直線l 平行于 x 軸交 y 軸于點(diǎn) B ，過點(diǎn) A 作 AM l 于 M ，過點(diǎn) A1

9、作 A1 N l于 N 。易證 DAMP DPNA1 （ ASA ），則有： AM = PN ， PM = A1 N 。 A(-3,4) ， P(-1,1) AM = 3 ， PM = 2 ， PB = 1 N (2,1) A1 (2,3) 。四、旋轉(zhuǎn)示例解析（理解如何利用線段旋轉(zhuǎn)帶動(dòng)線段所在三角形旋轉(zhuǎn)）在解決旋轉(zhuǎn)相關(guān)題型時(shí)，最常見的是將等腰三角形中一腰旋轉(zhuǎn)至與另一腰重合，從而利用等 腰三角形的腰轉(zhuǎn)動(dòng)帶動(dòng)等腰三角形腰所在的三角形轉(zhuǎn)動(dòng)，進(jìn)而構(gòu)造全等三角形，再利用旋轉(zhuǎn)知識(shí) 解決相關(guān)問題。因此，在處理此類題型時(shí)，同學(xué)們尤其要注意題干中是否說明某某三角形為等腰 三角形，尤其注意等腰直角三角形、等邊三角

10、形、正方形、頂角為特殊角的等腰三角形，遇到以上三角形時(shí)，同學(xué)可以考慮以下利用旋轉(zhuǎn)來解題。以下通過一些實(shí)例來幫助同學(xué)們理解如何利用等腰三角形的腰轉(zhuǎn)動(dòng)帶動(dòng)等腰三角形腰所在 的三角形轉(zhuǎn)動(dòng)，從而構(gòu)造全等三角形進(jìn)而利用旋轉(zhuǎn)知識(shí)解決相關(guān)問題。例 1：已知如圖 DACB ，ÐACB = 90° ， AC = AB ， PA = 3 ， PC = 2 ， PB = 1 ，求 ÐBPC 的度數(shù)？ 分析：這里明顯可以判斷 DACB 為等腰直角三角形，因此可以利用將其中一腰旋轉(zhuǎn)至與另一腰重 合，構(gòu)造全等三角形。圖（1）圖（2）解析：圖（1）中是將等腰直角三角形 DACB 的一腰 AC

11、繞點(diǎn) C 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90° 與另一腰 BC 重合，從而帶動(dòng) DCAP 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90° 至 DCBH ，可得：DCAP DCBH ，CP = CH，ÐHCP = 90°，PA = BH = 3 ÐCPH = 45° ， PH =2PC = 2 PH 2 + PB 2 = BH 2 ÐHPB = 90° ÐBPC = 135°圖（2）中是將等腰直角三角形 DACB 的一腰 BC 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90° 與另一腰 AC 重合，從而帶動(dòng) DCPB 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90° 至 DCH

12、A ，可得 DCPB DCHA ，可得 ÐCHP = 45° ，再利用勾股定理證ÐPHA = 90° 即可。例 2：已知，如圖所示，等腰 RtDACB ，ÐACB = 90° ， D 為 DACB 外一點(diǎn)， 且滿足 ÐADC = 45° ， AD = 3，CD = 4 ， 求 BD 的值？分析：這里已知等腰 RtDACB ，可以將 等腰 RtDACB 的一腰 BC 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90° 與 另一腰 AC 重合，從而帶動(dòng) DDCB 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90° 至 DHCA 。解析：將 DDCB 繞點(diǎn)C 順時(shí)針旋

13、轉(zhuǎn)90° 至 DHCA 。則有， DDCB DHCA ， DC = HC，ÐDCH = 90°，ÐHDC = 45°，DH = DC = 4又 ÐADC = 45° ÐHDA = 90° ，最后利用勾股定理可以求出 AH 的值，也即 BD 的值。例 3：已知如圖， DABC 為等邊三角形， PA =， PB = 3 ， PC =，求 ÐAPC 的度數(shù)？分析：這里已知 DABC 為等邊三角形，符合旋轉(zhuǎn)條件，可以將 DABC 一邊 AC 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60° 與另一邊 AB 重合 解析：將

14、DAPC 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60° 至 DAHB ，則 DAPC DAHB，AP = AH，ÐHAP = 60°，PC = HB = DAHP 為等邊三角形 HP = PA = HB 2 + HP 2 = PB 2 ÐBHP = 90° ÐAPC = ÐAHB = 150° 。例 4：已知如圖，四邊形 ABCD ，ÐADC = 60° ，ÐABC = 30° ，且 AD = AC ，求證：AB 2 + BC 2 = BD 2 。 分析：這里實(shí)際可知 DADC 為等邊三角形

15、，滿足旋轉(zhuǎn)條件。解析：將 DADB 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60° 至 DACH 。 可得 DABH 為等邊三角形，又 ÐABC = 30° 從而可得 ÐCBH = 90° ，直角三角形就 可以使用勾股定理了。例 5：如圖，已知等邊 DABC ，點(diǎn) D 為 DABC 外一點(diǎn)，且滿足 ÐBDC = 120° ，試問，BD，DA，DC是否有確定的數(shù)量關(guān)系？分析：這里 DABC 為等邊三角形，滿足旋轉(zhuǎn)條件。 解析：將 DABD 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60° 至 DACH 。 則有， DABD DACH ， ÐAB

16、D = ÐACH 。DADH 為等邊三角形 DA = DH ÐBDC = 120° ， ÐBAC = 60° ÐABD + ÐACD = 180° ÐACH + ÐACD = 180° D，C，H 三點(diǎn)共線（必須證三點(diǎn)共線，否則扣分） DA = DC + DB 。變式拓展：如圖已知等邊 DABC ，點(diǎn) D 為 DABC 外一點(diǎn)，但 ÐBDC 大小不確定，BD = 3 ，DC = 4 ， 試問 DA 的最大值為多少？分析：這里 DABC 為等邊三角形，滿足旋轉(zhuǎn)條件。 解析：將

17、DABD 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60° 至 DACH 。 則有， DABD DACH ， DADH 為等邊三角形 CH = BD = 3 ， DA = DH DH £ DC + CH DA £ 7 。 DA £ DC + CH例 6：如圖，已知正方形 ABCD ， E 為正方形 ABCD 外一點(diǎn)， AE = 2， DE = 1 ，求 CE 的最大值？分析：這里出現(xiàn)了正方形 ABCD （正方向可以看成是兩個(gè) 等腰直角三角形組合而成），符合旋轉(zhuǎn)條件。解析：將 DEDC 繞點(diǎn) D 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90° 至 DHDA ，則有：DEDC DHDA ，CE =

18、 AH ， DE = DH ， ÐEDH = 90° EH =2DE = AH £ AE + EH = 2+=3 CE £ 3 五、旋轉(zhuǎn)相似旋轉(zhuǎn)相似是比較難的一種變換模式，難就難在不易發(fā)覺更不易構(gòu)造，掌握起來比較難。 兩個(gè)相似三角形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，必然出現(xiàn)一對(duì)新的相似三角形。如圖， DABC DAB1C1 ，則有 DABB1 DACC1 。證 明 ： DABC DAB1C1 ÐBAC = ÐB1 AC1 ，ÐBAB1 = ÐCAC1 DABC DAB1C1 DABB DACC例 1：如圖，已知 DABC 為等邊三角形

19、， D 為 AB 的中點(diǎn)， DE = 1 ， EA = 2 ，求CE 的最大值？分析： DABC 為等邊三角形， D 為 AB 的中點(diǎn)，則ÐACD = 30° ， DADC 為直角三角形，可以利用這個(gè)ÐACD = 30° 特殊角進(jìn)行構(gòu)造相似三角形。 解析：連 CD ，則CD AD ，且 AC = 2 AD ，即。構(gòu)造 RtDAEH ，使得則 RtDADC RtDAEH ÐDAC = ÐEAH = 60° ÐEAD = ÐHAC又 DAHC DAEDCH = 2DE = 2 ÐEAH = 60&#

20、176;，ÐAEH = 90° EH = AE = 2 CE £ EH + CH CE £ 2+ 2 。小結(jié)：這里可以看出 RtDADC RtDAEH ，則 DAHC DAED 。例 2：如圖，已知 RtDABC 中， ÐACB = 90° ， CD = 3 ， AD =，求 BD 的最大值？分析：這里 DACB 為直角三角形，?？梢岳眠@個(gè)直角三角形直角邊的比構(gòu)造相似三角形。解析：過點(diǎn) C 作 CH CD ，且滿足，連 DA，AH 。則有： RtDACB RtDHCD 。 ÐACH = ÐBCD又 DDCB DH

21、CA BD = AH又 AH £ DH + DA ， DH = CD = 3 AH £ 4 BD £ 2小結(jié)：這里 DACB DHCD ，則有 DDCB DHCA 。六、旋轉(zhuǎn)的四種模型（僅作了解）（1）繞點(diǎn)模型 普通繞點(diǎn)模型很容易看出旋轉(zhuǎn)中心，一般在等腰三角形尤其是特殊的等腰三角形中可以繞頂點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，使兩腰重合，從而構(gòu)造三角形全等來解題。AB = AC ，則有： BC = CD ，則有： CB = CA = CD ，則有：DBAM DBCN DBCM DDCN DCBE DCAF示例：如圖，正方形 ABCD 內(nèi)有一點(diǎn) P ， PA =1 ， PA = 2 ， P

22、C = 3 。（1）求 PD 的長(zhǎng)；（2）求 APB 的大??；（3）求正方形的邊長(zhǎng)。分析：此題中出現(xiàn)了正方形，由于正方形四條邊長(zhǎng)度相等，四個(gè)角均為直角，很適合利用旋轉(zhuǎn)來 作答。解析：（1）過點(diǎn) P 作 MN/ / AB 交 AD 于 M ，交 BC于 N 。則有四邊形 ABNM 、四邊形 DCNM 均為矩形 AM = BN ， DM = CN在 RtPAM中有： PA 2 = AM 2 + PM 2 ；在 RtPNC 中有： PC 2 = CN 2 + PN 2 ；在 RtPBN 中有： PB 2 = BN 2 + PN 2 ；在 RtPDM 中有： PD 2 = DM 2 + PM 2 ； PA 2 + PC 2 = PB 2 + PD 2又 PA =1， PA = 2 ， PC = 3 PD =。（2）將 PBC 繞點(diǎn) B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90° 得 DEBA ，則有 DPBC DEBA ， BE BP BE = BP ， AE = PC = 3 ， PE = PB = 2， ÐBPE = 45° PA 2 + PE 2 = 12 + (2)2 = 9 = AE 2 DAPE 為直角三角形 &