兩步抗差估計GPS高程擬合

1、兩步抗差估計GPS高程擬合法張榮征1(單位。,郵編。,地區(qū)。如上海 )摘要：對于工程建設來說,高程系統(tǒng)通常采用正常高系統(tǒng),水準測量作為獲取正常高的直接方法而得到普遍使用。對局部區(qū)域GPS工程控制網(wǎng)，采用數(shù)學方法建立合理的GPS高程擬合模型，本文基于二次曲面函數(shù)對高程異常進行計算，采用兩步抗差估計方法，進行了高程擬合。關鍵詞：GPS高程；高程擬合 ；兩步抗差前言對于工程建設來說,高程系統(tǒng)通常采用正常高系統(tǒng),水準測量作為獲取正常高的直接方法而得到普遍使用。對局部區(qū)域GPS工程控制網(wǎng)，采用數(shù)學方法建立合理的GPS高程擬合模型，可以用于高程測量的粗差探測。GPS測量所得的高程是WGS84中的大地高，以

2、WGS-84橢球面為基準面，我國采用的是正常高高程，以似大地水準面為基準面。若設GPS高程為，正常高高程為，似大地水準面到WGS84橢球面之間的高程異常為，則、三者的關系可表達為： （1）在某一區(qū)域內，如果有一定數(shù)量的已知水準點，則可以在這些水準點上進行GPS觀測。根據(jù)已知點的高程異常值以及位置關系建立函數(shù)模型，并用來模擬該區(qū)域似大地水準面的高度，并求解區(qū)域內任一點的高程異常值，進而根據(jù)（551）式求得任一點的正常高。常用的數(shù)學擬合模型有6種：多項式曲線擬合、三次樣條曲線擬合、Akima曲線擬合、多項式曲面擬合、多面函數(shù)法曲面擬合、移動法曲面擬合等。無論那種模型，擬合的基本思想都是相同的，即利

3、用區(qū)域內若干同時具有GPS高程合水準的重合點，求出這些點上的高程異常值，并按照一定的曲面函數(shù)關系，建立高程異常與曲面坐標之間的函數(shù)模型關系式，擬合出局部似大地水準面，即求出各點的高程異常值，從而實現(xiàn)將各GPS大地高到正常高的轉換。1. 二次曲面函數(shù)法在一定范圍內，若正常重力的變化可以忽略不計時，對于參考點，此區(qū)域高程異常的模型為： （2） 表達式為： （3）式中：，即為參考點的高程異常；、，即、分別為參考點在、方向的垂線偏差；、，即、是垂線偏差的變化率；、是各點與點的坐標差。（2）式為二次曲面模型，當只取 、三項時，（2）式即變?yōu)槠矫鏀M合模型。在較小范圍內，且高程異常變化平緩的地區(qū)，即當、不大

4、于，且時，（2）式中的二項式才不大于1mm。因此，在精密GPS水準中，通常不宜以平面模型代替二次模型。從二次模型來看，點的選擇有可能影響模型的精度。如果點選擇離測區(qū)較遠，將有可能因忽略各點到參考點沿線不同不為的垂線偏差異常之差異而降低模型的精度。另外，、之值相差較大，也 不利于未知參數(shù)的估算。通常工程控制網(wǎng)局限于較小范圍，所重視的是本測區(qū)范圍內的相對精度和成果的質量。因此，高程異常模型建立時，可選取測區(qū)內一個位于中心部位的點A作為相對參考點。則容易列出測區(qū)內任意點相對于A參考點高程異常差值的二次模型為： （4）可表示為： （5）式中：、是A點到點在方向的垂線偏差；、是垂線偏差變化率；、是點到點

5、A的坐標增量， 當測區(qū)已知點的個數(shù)較多時（大于6），這時可用最小二乘求解。誤差方程為： （6）也可以表達為： （7）采用最小二乘：模型（6）及（7）以測區(qū)中部A點為基準，到個控制點距離較均勻，之值較小，直觀地反映了本測區(qū)內的情況，對擬合精度的提高是有利的。2. 兩步抗差估計高程擬合一般的高程擬合方法是，通過最小二乘原理，求解得到各個參數(shù)之后，代入擬合模型，求解得到區(qū)域內各點的高程異常值，進而得到正常高。由于最小二乘具有均攤大誤差的特性，因而一旦由大地高合正常高求得的某幾個或幾個高程異常存在粗差，必然會導致所求的區(qū)域高程異常擬合模型扭曲。因此，將抗差方法引入高程異常擬合模型參數(shù)估計中，以保證似大

6、地水準擬合模型的可靠性是很有意義的。將抗差估計應用在高程擬合中，基本方法為：首先進行最小二乘平差，即一般的擬合，求出改正數(shù)，再根據(jù)不同的權函數(shù)來確定相應的等價權，權函數(shù)形式由采用的相應方法（如IGG、Hampel法等）確定。多次反復迭代，直至含有粗差項的趨近于零，從而得到參數(shù)估值。使含有粗差的高程異常對擬合模型的參數(shù)估值的影響趨近于零，獲得的高程異常中不含粗差影響。在高程異常模型的建立中，應該判別存在粗差的控制點，進而控制其對模型的影響，使之扭曲和失真。具體步驟如下：1、列誤差方程； （8）1、 計算最小二乘估計值，獲取殘差；2、 選取兩步等價權函數(shù)，計算等價權；3、 在新權下，迭代平差運算，

7、得到 （9）實例分析如下：常州市龍城大橋施工控制網(wǎng)有18個控制點，分別為：,如圖1所示，高程采用水準觀測，采用成熟的平差軟件進行計算，獲得各點的GPS大地高和正常高。分別采用二次曲面、多面函數(shù)和抗差估計方法進行高程擬合。抗差估計方法是在多面函數(shù)法基礎之上進行迭代運算的，稱為抗差多面函數(shù)法。選用均勻分布的、為已知點進行擬合，其已知數(shù)據(jù)如下表5.1所示。采用三種不同的方法對其余10個點進行了擬合，其結果如下表5.2所示：圖1 水準網(wǎng)表1 已知數(shù)據(jù)（m）點號GPS高10.6559.51109.9279.6479.7007.4946.7557.394正常高9.88638.69729.08758.946

8、38.95696.69075.99576.5587表2 擬合高程值點號GPS高（m）9.76610.4969.8019.9219.4267.5788.2727.3316.2018.042正常高（m）8.96709.77519.04729.06188.55276.81477.48936.62935.42117.2243曲面法（m）8.97279.77209.04399.05448.55186.81697.47436.61445.42027.2283函數(shù)法（m）8.96839.76629.04249.07428.56016.81047.46936.60445.41607.2237抗差法（m）8.9

9、6999.76849.04519.07178.55926.81057.47036.60595.41767.2241差值（cm）-0.570.310.330.740.09-0.221.51.780.09-0.4差值（cm）-0.130.890.48-1.24-0.740.4322.480.510.06差值（cm）-0.290.670.21-0.99-0.650.421.92.330.350.02從上表可以看出，采用三種方法進行高程擬合，所得的高程與已知高程相比較，最大偏差為，大多數(shù)點都符合工程施工的要求，從而可以看出，這三種方法具有一定的實用性。為了更好理解抗差法高程擬合的意義，在上述實例的基礎

10、上，追加粗差，在點的GPS高程點上追加40mm的粗差，則其GPS高為18.5510，然后采用二次函數(shù)法，多面函數(shù)法，兩步抗差多面函數(shù)法進行高程擬合，其權函數(shù)分別采用： 和 ，調制因子分別采用：和，所得結果如表5.3表3擬合高程值點號GPS高（m）9.76610.4969.8019.9219.4267.5788.2727.3316.2018.042正常高（m）8.96709.77519.04729.06188.55276.81477.48936.62935.42117.2243曲面法（m）8.97589.77649.04829.07228.56306.81517.46686.60865.4132

11、7.2196函數(shù)法（m）8.99269.79229.05789.01608.52786.83537.48376.62555.42937.2330抗差法（m）8.97089.76969.04579.07228.55966.81127.46996.61645.41717.2235差值（cm）-0.88-0.13-0.1-1.54-1.03-0.042.252.060.790.47差值（cm）-2.56-1.71-1.064.582.49-2.060.560.37-0.82-0.87差值（cm）-0.380.550.15-1.04-0.690.351.941.290.40.08從上表可以看出，在加入

12、粗差時，二次法與多面函數(shù)法擬合的結果與已知值相差較大，特別是二次函數(shù)曲面法，差值最大達到了4個多厘米，多面函數(shù)法也達到2厘米多，因而可以說這兩種方法，當數(shù)據(jù)中存在一定的粗差時，其結果與實際的差值較大。兩步抗差估計高程擬合方法，其結果與沒有粗差時變化不大，將含有粗差項的影響降到最小。因此，可以得到，在沒有粗差影響的情況下，二次曲面法、多面函數(shù)法都能比較好的擬合出高程，得到精度比較高的結果。不過，多面函數(shù)擬合法，其核函數(shù)的選取比較重要，直接關系到結果的優(yōu)劣以及差異。當存在粗差時，二次曲面法、多面函數(shù)法都沒有抗擊粗差的能力，受粗差影響，所得結果與實際值相差較大，兩步抗差估計擬合法能抵抗粗差的影響，得到比較優(yōu)良的結果。3. 結論兩步抗差估計高程擬合方法，其結果與沒有