第三章 三角函數(shù)三角恒等變換解三角形 質(zhì)量檢測

1、第三章第三章 三角函數(shù)、三角恒等變換、解三角形三角函數(shù)、三角恒等變換、解三角形(時間時間 120 分鐘，滿分分鐘，滿分 150 分分)一一、選擇題選擇題(本大題共本大題共 12 小題小題，每小題每小題 5 分分，共共 60 分分在每小題給出的四個選項中在每小題給出的四個選項中，只只有一項是符合題目要求的有一項是符合題目要求的)1集合集合 Mx|xsinn3，nZ，Nx|xcosn2，nN，則則 MN 等于等于()A1,0,1B0,1C0D 解析：解析：Mx|xsinn3，nZ32，0，32，N1,0,1，MN0答案：答案：C2已知已知 cos4x35，則，則sin2x2sin2x1tanx的值

2、為的值為()A.725B.1225C.1325D.1825解析：解析：cos4x35，cosxsinx352，1sin2x1825，sin2x725，sin2x2sin2x1tanx2sinx(cosxsinx)cosxsinxcosxsin2x725.答案：答案：A3 當(dāng)當(dāng) 0 x1， 不等式不等式 sinx2kx 成立成立， 則實數(shù)則實數(shù) k 的取值范圍是的取值范圍是()A(，1B(，2C(，0D0,1解析：解析：0 x1 時，時，ysinx2的圖象如圖所示，的圖象如圖所示，ykx 的圖象在的圖象在0,1之間的部分應(yīng)位于此圖象下方，之間的部分應(yīng)位于此圖象下方，當(dāng)當(dāng) k0 時，時，ykx 在

3、在0,1上的圖象恒在上的圖象恒在 x 軸下方，原不等式成立軸下方，原不等式成立當(dāng)當(dāng) k0，kxsinx2時，在時，在 x0,1上恒成立，上恒成立，k1 即可即可故故 k1 時，時，x0,1上恒有上恒有 sinx2kx.答案：答案：A4要得到要得到 ysin(2x3)的圖象，只要將的圖象，只要將 ysin2x 的圖象的圖象()A向左平移向左平移3個單位個單位B向右平移向右平移3個單位個單位C向左平移向左平移6個單位個單位D向右平移向右平移6個單位個單位解析：解析：ysin(2x3)sin2(x6)，只要將只要將 ysin2x 的圖象向右平移的圖象向右平移6個單位個單位便得到便得到 ysin(2x

4、3)的圖象的圖象答案：答案：D5使奇函數(shù)使奇函數(shù) f(x)sin(2x) 3cos(2x)在在4，0上為減函數(shù)的上為減函數(shù)的 值為值為()A3B6C.56D.23解析：解析：由已知得：由已知得：f(x)2sin(2x3)，由于函數(shù)為奇函數(shù)由于函數(shù)為奇函數(shù)，故有故有3kk3(kZ)，可淘汰可淘汰 B、C 選項選項，然后分別然后分別將將 A 和和 D 選項代入檢驗選項代入檢驗，易知當(dāng)易知當(dāng)23時時，f(x )2sin2x 其在區(qū)間其在區(qū)間4，0上遞減上遞減答案：答案：D6給定函數(shù)給定函數(shù)yxcos(32x)，y1sin2(x)，ycos(cos(2x)中，偶函數(shù)的個數(shù)是中，偶函數(shù)的個數(shù)是()A3B

5、2C1D0解析：解析：對于對于yxcos(32x)xsinx，是偶函數(shù)，是偶函數(shù)，故故正確；對于正確；對于y1sin2(x)sin2x1，是偶函數(shù)，是偶函數(shù)，故故正確；對于正確；對于ycos(cos(2x)cos(sinx)cos(sinx)，f(x)cos(sin(x)cos(sinx)cos(sinx)f(x)，函數(shù)是偶函數(shù)，故函數(shù)是偶函數(shù)，故正確正確答案：答案：A7在在ABC 中中，若若 sin2Asin2BsinAsinBsin2C，且滿足且滿足 ab4，則該三角形的面積則該三角形的面積為為()A1B2C. 2D. 3解析：解析：sin2Asin2BsinAsinBsin2C，a2b2

6、abc2，cosCa2b2c22ab12，C60，SABC12absinC12432 3.答案：答案：D8有一種波有一種波，其波形為函數(shù)其波形為函數(shù) ysin(2x)的圖象的圖象，若在區(qū)間若在區(qū)間0，t上至少有上至少有 2 個波峰個波峰(圖象圖象的最高點的最高點)，則正整數(shù)，則正整數(shù) t 的最小值是的最小值是()A3B4C5D6解析：解析：由由 T2224，可知此波形的函數(shù)周期為，可知此波形的函數(shù)周期為 4，顯然當(dāng)，顯然當(dāng) 0 x1 時函數(shù)單調(diào)時函數(shù)單調(diào)遞增遞增， x0 時時 y0， x1 時時 y1， 因此自因此自 0 開始向右的第一個波峰所對的開始向右的第一個波峰所對的 x 值為值為 1，

7、第二個波峰對應(yīng)的第二個波峰對應(yīng)的 x 值為值為 5，所以要區(qū)間，所以要區(qū)間0，t上至少兩個波峰，則上至少兩個波峰，則 t 至少為至少為 5.答案：答案：C9設(shè)集合設(shè)集合 M平面內(nèi)的點平面內(nèi)的點(a，b)，Nf(x)|f(x)acos2xbsin2x，xR，給出從，給出從 M到到 N 的映射的映射 f：(a，b)f(x)acos2xbsin2x，則點則點(1， 3)的象的象 f(x)的最小正周期為的最小正周期為()AB.3C.2D.4解析：解析：f(x)cos2x 3sin2x2sin(2x6)，則最小正周期為，則最小正周期為.答案：答案：A10函數(shù)函數(shù) ysin(2x3)在區(qū)間在區(qū)間2，上的簡

8、圖是上的簡圖是()解析：解析：當(dāng)當(dāng) x2時，時，ysin(3)sin3320，排除，排除 B、D，當(dāng)當(dāng) x6時，時，ysin(33)sin00，排除，排除 C.答案：答案：A11若函數(shù)若函數(shù) f(x)sin2x 3sinxcosx，xR，又，又 f()12，f()12，且，且|的最的最小值等于小值等于34，則正數(shù)，則正數(shù)的值為的值為()A.13B.23C.43D.32解析：解析：由于由于 f(x)sin2x 3sinxcosxsin(2x6)12，又又 f()12，f()12，所以所以 x是函數(shù)圖象的一條對稱軸是函數(shù)圖象的一條對稱軸，(，12)是函數(shù)圖象的一個對稱中心是函數(shù)圖象的一個對稱中心，

9、故故|的的最小值應(yīng)等于最小值應(yīng)等于T4，其中，其中 T 是函數(shù)的最小正周期，于是有是函數(shù)的最小正周期，于是有142234，故，故13.答案：答案：A12設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x)Asin(x)，(A0，0，22)的圖象關(guān)于直線的圖象關(guān)于直線 x23對稱對稱，它的周期是它的周期是，則，則()Af(x)的圖象過點的圖象過點(0，12)Bf(x)的圖象在的圖象在512，23上遞減上遞減Cf(x)的最大值為的最大值為 ADf(x)的一個對稱中心是點的一個對稱中心是點(512，0)解析：解析：T，2.圖象關(guān)于直線圖象關(guān)于直線 x23對稱，對稱，sin(23)1即即2322k，kZ，又又22，6.f(x)As

10、in(2x6)再用檢驗法再用檢驗法答案：答案：D二、填空題二、填空題(本大題共本大題共 4 小題，每小題小題，每小題 4 分，共分，共 16 分請把正確答案填在題中橫線上分請把正確答案填在題中橫線上)13已知扇形內(nèi)切圓半徑與扇形半徑之比為已知扇形內(nèi)切圓半徑與扇形半徑之比為 13，則內(nèi)切圓面積與扇形面積之比為，則內(nèi)切圓面積與扇形面積之比為_解析：解析：如圖，設(shè)內(nèi)切圓半徑為如圖，設(shè)內(nèi)切圓半徑為 r，則扇形，則扇形的半徑為的半徑為 3r，計算可得扇形中心角為，計算可得扇形中心角為3，故故 S內(nèi)切圓內(nèi)切圓S扇形扇形r2123r(33r)23.答案：答案：2314已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)2sin(x)

11、的圖象如下圖所示，則的圖象如下圖所示，則 f(712)_.解析：解析：由圖象知，函數(shù)的周期為由圖象知，函數(shù)的周期為32T，T23.f(4)0，f(712)f(43)f(4T2)f(4)0.答案：答案：015設(shè)設(shè)ABC 的內(nèi)角的內(nèi)角 A，B，C 所對的邊長分別為所對的邊長分別為 a，b，c 且且 acosBbcosA35c.則則tanAtanB的值為的值為_解析：解析：由由 acosBbcosA35c 及正弦定理可得及正弦定理可得 sinAcosBsinBcosA35sinC，即即sinAcosBsinBcosA35sin(AB)，即，即 5(sinAcosBsinBcosA) 3(sinAco

12、sBsinBcosA)，即，即 sinAcosB4sinBcosA，因此，因此 tanA4tanB，所以，所以tanAtanB4.答案：答案：416下面有五個命題：下面有五個命題：函數(shù)函數(shù) ysin4xcos4x 的最小正周期是的最小正周期是；終邊在終邊在 y 軸上的角的集合是軸上的角的集合是|k2，kZ；在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)在同一坐標(biāo)系中，函數(shù) ysinx 的圖象和函數(shù)的圖象和函數(shù) yx 的圖象有三個公共點；的圖象有三個公共點；把函數(shù)把函數(shù) y3sin(2x3)的圖象向右平移的圖象向右平移6個單位得到個單位得到 y3sin2x 的圖象；的圖象；函數(shù)函數(shù) ysin(x2)在在0，上是減函數(shù)上是

13、減函數(shù)其中真命題的序號是其中真命題的序號是_解析：解析：ysin2xcos2xcos2x，故最小正周期為，故最小正周期為，正確；正確；k0 時，時，0，則角，則角終邊在終邊在 x 軸上，故軸上，故錯；錯；由由 ysinx 在在(0,0)處切線為處切線為 yx，所以，所以 ysinx 與與 yx 的圖象只有一個交點，故的圖象只有一個交點，故錯；錯；y3sin(2x3)的圖象向右平移的圖象向右平移6個單位得到個單位得到y(tǒng)3sin2(x6)33sin2x，故，故正確；正確；ysin(x2)cosx 在在0，上為增函數(shù)，故上為增函數(shù)，故錯錯綜上，綜上，為真命題為真命題答案：答案：三、解答題三、解答題(

14、本大題共本大題共 6 小題，共小題，共 74 分解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演分解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟算步驟)17(本小題滿分本小題滿分 12 分分)在在ABC 中，角中，角 A、B、C 所對的邊分別是所對的邊分別是 a、b、c，tanA12，cosB3 1010.(1)求角求角 C；(2)若若ABC 的最短邊長是的最短邊長是 5，求最長邊的長，求最長邊的長解：解：(1)tanA12，A 為銳角，則為銳角，則 cosA2 55，sinA55.又又 cosB3 1010，B 為銳角，則為銳角，則 sinB1010，cosCcos(AB)cosAcosBsinAs

15、inB2 553 101055101022.又又 C(0，)，C34.(2)sinA55sinB1010，AB，即，即 ab，b 最小，最小，c 最大，最大，由正弦定理得由正弦定理得bsinBcsinC，得，得 csinCsinBb221010 55.18(本小題滿分本小題滿分 12 分分)在在ABC 中中，A、B 為銳角為銳角，角角 A、B、C 所對的邊分別為所對的邊分別為 a、b、c，且，且 sinA55，sinB1010.(1)求求 AB 的值；的值；(2)若若 ab 21，求，求 a、b、c 的值的值解：解：(1)A、B 為銳角，為銳角，sinA55，sinB1010，cosA 1si

16、n2A2 55，cosB 1sin2B3 1010，cos(AB)cosAcosBsinAsinB2 553 101055101022.0AB，AB4.(2)由由(1)知知 C34，sinC22.由正弦定理由正弦定理sin Absin BcsinC得得5a 10b 2c，即即 a 2b，c 5b，ab 21， 2bb 21，b1，a 2，c 5.19(本小題滿分本小題滿分 12 分分)如圖，點如圖，點 A，B 是單位是單位圓上的兩點，圓上的兩點，A，B 點分別在第一、二象限，點分別在第一、二象限，點點 C 是圓與是圓與 x 軸正半軸的交點，軸正半軸的交點，AOB 是正是正三角形，若點三角形，若

17、點 A 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(35，45)，記，記COA.(1)求求1sin21cos2的值；的值；(2)求求|BC|2的值的值解：解：(1)A 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(35，45)，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，sin45，cos35，1sin21cos212sincos2cos24918.(2)AOB 為正三角形，為正三角形，AOB60.cosCOBcos(60)coscos60sinsin603512453234 310，|BC|2|OC|2|OB|22|OC|OB|cosCOB11234 31074 35.20(本小題滿分本小題滿分 12 分分)(2010寧波模擬寧波模擬)某建

18、筑的金屬某建筑的金屬支架如圖所示，根據(jù)要求支架如圖所示，根據(jù)要求 AB 至少長至少長 2.8 m，C 為為AB 的中點，的中點，B 到到 D 的距離比的距離比 CD 的長小的長小 0.5 m，BCD60，已知建造支架的材料每米的價格一定，已知建造支架的材料每米的價格一定，問怎樣設(shè)計問怎樣設(shè)計 AB，CD 的長，可使建造這個支架的成本最低？的長，可使建造這個支架的成本最低？解：解：設(shè)設(shè) BCa m(a1.4)，CDb m，連接，連接 BD.則在則在CDB 中，中，(b12)2b2a22abcos60.ba214a1.b2aa214a12a.設(shè)設(shè) ta1，t2.8210.4，則則 b2a(t1)214t2(t1)3t34t47，等號成立時等號成立時 t0.50.4，a1.5，b4.故當(dāng)故當(dāng) AB3 m，CD4 m 時，建造這個支架的成本最低時，建造這個支架的成本最低21(本小題滿分本小題滿分 12 分分)已知已知 a(sinx，32)，b(cosx，1)(1)當(dāng)當(dāng) a 與與 b 共線時，求共線時，求 2cos2xsin2x 的值；的值；(2)求求 f(x)(ab)b 在在2，0上的值域上的值域解：解：(1)a 與與 b 共線，共線，32cosxsinx0.tanx32.故故 2cos2xsin2x2cos2x2sinxcosxsin2xcos