《從力做的功到向量的數量積》教案全面版

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上從力做的功到向量的數量積教案 一、教學目標：1.知識與技能（1）通過物理中“功”等實例，理解平面向量數量積的含義及其物理意義、幾何意義.（2）體會平面向量的數量積與向量投影的關系. （3）掌握平面向量數量積的運算律和它的一些簡單應用.（4）能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系.2.過程與方法教材利用同學們熟悉的物理知識（“做功”）得到向量的數量積的含義及其物理意義、幾何意義.為了幫助學生理解和鞏固相應的知識，教材設置了4個例題；通過講解例題，培養(yǎng)學生邏輯思維能力.3.情感態(tài)度價值觀通過本節(jié)內容的學習，使同學們認識到向量的數量積與物理學的

2、做功有著非常緊密的聯系；讓學生進一步領悟數形結合的思想；同時以較熟悉的物理背景去理解向量的數量積，有助于激發(fā)學生學習數學的興趣、積極性和勇于創(chuàng)新的精神.二.教學重、難點 重點: 向量數量積的含義及其物理意義、幾何意義；運算律.難點: 運算律的理解三.學法與教學用具學法：(1)自主性學習+探究式學習法： (2)反饋練習法：以練習來檢驗知識的應用情況，找出未掌握的內容及其存在的差距.教學用具:電腦、投影機.四.教學設想 【探究新知】（學生閱讀教材P107108，師生共同討論）qsF思考：請同學們回憶物理學中做功的含義，問對一般的向量a和b，如何定義這種運算？1.力做的功：W = |F|s|cosq

3、 q是F與s的夾角2.定義：平面向量數量積（內積）的定義，ab = |a|b|cosq，q = 0°q = 180°qqqqOOOOOOAAAAAABBBBBBC 并規(guī)定0與任何向量的數量積為0。×3.向量夾角的概念：范圍0°q180°C展示投影由于兩個向量的數量積與向量同實數積有很大區(qū)別；因此強調注意的幾個問題： 兩個向量的數量積是一個實數，不是向量，符號由cosq的符號所決定。 兩個向量的數量積稱為內積，寫成ab；今后要學到兩個向量的外積a×b，而ab是兩個數量的積，書寫時要嚴格區(qū)分。 在實數中，若a¹0，且ab=0，則

4、b=0；但是在數量積中，若a¹0，且ab=0，不能推出b=0。因為其中cosq有可能為0.這就得性質2.OaAcbab 已知實數a、b、c(b¹0)，則ab=bc Þ a=c.但是ab = bc Þ a = c 如右圖：ab = |a|b|cosb = |b|OA| bc = |b|c|cosa = |b|OA| Þab=bc 但a ¹ c 在實數中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c ¹ a(bc) 顯然，這是因為左端是與c共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線.展示投影思考與交流：思考與交流1.

5、射影的概念是如何定義的，舉例（或畫圖）說明；并指出應注意哪些問題.AOOBOB1OabqAOOBOB1OabqAOOBO(B1)Oabq 定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的射影。 注意：射影也是一個數量，不是向量。 當q為銳角時射影為正值； 當q為鈍角時射影為負值； 當q為直角時射影為0； 當q = 0°時射影為 |b|； 當q = 180°時射影為 -|b|.思考與交流2.如何定義向量數量積的幾何意義？由向量數量積的幾何意義你能得到兩個向量的數量積哪些的性質（學生討論完成，教師作必要的補充）. 幾何意義：數量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積

6、。性質：設a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量。 ea = ae =|a|cosq ab Û ab = 0 當a與b同向時，ab = |a|b|；當a與b反向時，ab = -|a|b|。 特別的aa = |a|2或 cosq =（|a|b|0） |a×b|a|b|【鞏固深化，發(fā)展思維】判斷下列各題正確與否： 若a = 0，則對任一向量b，有ab = 0. ( ) 若a ¹ 0，則對任一非零向量b，有ab ¹ 0. ( × ) 若a ¹ 0，ab = 0，則b = 0. ( × ) 若ab = 0，則a 、b至少有一個

7、為零. ( × ) 若a ¹ 0，ab = ac，則b = c. ( × ) 若ab = ac，則b = c當且僅當a ¹ 0時成立. ( × ) 對任意向量a、b、c，有(ab) c ¹ a (bc). ( × ) 對任意向量a，有a2 = |a|2. ( )展示投影思考與交流：思考：根據向量數量積的定義、物理意義及幾何意義，你能否驗證下列向量的數量積是否滿足下列運算定律（證明的過程可根據學生的實際水平決定）1.交換律：ab = ba證：設a，b夾角為q，則ab = |a|b|cosq，ba = |b|a|cosq ab

8、= ba2.數乘結合律：(a) b =(ab) = a (b)證：若= 0， 此式顯然成立.若> 0， (a) b =|a|b|cosq， (ab) =|a|b|cosq， a (b) =|a|b|cosq，所以(a) b =(ab) = a (b).若< 0， (a) b =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq， (ab) =|a|b|cosq， a (b) =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq。所以(a) b =(ab) = a (b).綜上可知(a) b =(ab) = a (b)成立.

9、qq1q2abABOA1B1Cc3.分配律：(a + b) c = ac + bc 證：在平面內取一點O，作= a, = b，= c， a + b （即）在c方向上的投影 等于a、b在c方向上的投影和， 即：|a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2 | c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b| cosq2c (a + b) = ca + cb 即：(a + b) c = ac + bc.展示投影例題講評（學生先做，學生講，教師提示或適當補充）例1.已知：解：（1）（2）例2.已知都是非零向量，且垂直，垂直，求的夾角。解：

10、由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 Þ 7a2 + 16ab -15b2 = 0 (a - 4b)(7a - 2b) = 0 Þ 7a2 - 30ab + 8b2 = 0 兩式相減：2a×b = b2 代入或得：a2 = b2設a、b的夾角為q，CABDab則cosq = q = 60例3.用向量方法證明：菱形對角線互相垂直。 證：設= a , = b ABCD為菱形 |a| = |b| = (b + a)(b - a) = b2 - a2 = |b|2 - |a|2 = 0 即菱形對角線互相垂直?！眷柟躺罨l(fā)展思維】1.教材P109練習1、2題2.

11、教材P111練習1、2、3、4、5題學習小結 （學生總結，其它學生補充）有關概念：向量的夾角、射影、向量的數量積.向量數量積的幾何意義和物理意義.向量數量積的五條性質.向量數量積的運算律.五、評價設計1作業(yè)：習題2.5 A組第3、4、5、6、7題 2（備選題）：在ABC中，設邊BC，CA，AB的長度分別為a，b，c，用向量方法證明： 求證：平行四邊形兩條對角線平方和等于四條邊的平方和。A B D C解：如圖： ABCD中：，=+|2=|+|2=2+2+2而=- |2=|-|2=2+2-2|2 + |2 = 22+22= |2+|2+|2+|2六、課后反思：你曾落過的淚，最終都會變成陽光，照亮腳

12、下的路。 （舞低楊柳樓心月 歌盡桃花扇底風）我不去想悠悠別后的相逢是否在夢中，我只求此刻銘記那楊柳低舞月下重閣，你翩若驚鴻的身影，和那桃花扇底悄悄探出的半面妝容與盈盈水眸。用寧靜的童心來看，這條路是這樣的：它在兩條竹籬笆之中?；h笆上開滿了紫色的牽牛花，在每個花蕊上，都落了一只藍蜻蜓。 你必得一個人和日月星辰對話，和江河湖海晤談，和每一棵樹握手，和每一株草耳鬢廝磨，你才會頓悟宇宙之大、生命之微、時間之貴我一直以來都弄不明白，為什么不管做了多么明智合理的選擇，在結果出來之前，誰都無法知道它的對錯。到頭來我們被允許做的，只是堅信那個選擇，盡量不留下后悔而已。看不見的，是不是就等于不存在？記住的，是不

13、是永遠不會消失？每一個黃昏過后，大家焦慮地等待，卻再也沒有等到月亮升起。潮水慢慢平靜下來，海洋凝固成一面漆黑的水鏡，沒有月亮的夜晚，世界變得清冷幽寂但是，最深的黑夜即將過去，月亮出來了記憶的冰川在歲月的侵蝕下，漸漸崩塌消融。保持著最初的晶瑩的往事，已經越來越稀少。 灼灼其華，非我桃花。蒼蒼蒹葭，覆我其霜。蘆荻不美，桃花艷妖。知我憐我，始覺愛呵。只要春天還在我就不會悲哀縱使黑夜吞噬了一切太陽還可以重新回來只要生命還在我就不會悲哀縱使陷身茫茫沙漠還有希望的綠洲存只要明天還在我就不會悲哀冬雪終會悄悄融化春雷定將滾滾而來孤獨，寂靜，在兩條竹籬笆之中，籬笆上開滿了紫色的牽?；ǎ诿總€花蕊上，都落了一只藍

14、蜻蜓。 一襲粉色拖地蝶園紗裙，長發(fā)垂至腳踝，青絲隨風舞動。眸若點漆，水靈動人，冰膚瑩徹，氣質脫俗，眼波轉動間卻暗藏睿智鋒芒。淡雅如仙，迎風而立的她，宛若來自天堂的。暖有時候猛烈地指責別人說謊，其實是太渴望那消息真實。 原來時間也會失誤和出現意外，并因此迸裂，在某個房間里留下永恒的片段。塵世里，總有些什么，讓我們不自覺地微笑，使我們的堅硬，在一瞬間變得柔軟。嬰兒的夢囈，幼童的稚語，夕陽下相互攙扶的老人.那天黃昏，紫嵐在棲身的石洞口默黷地注視著落日。余暉變幻著色調，嫣紅、水紅、玫瑰紅，轉瞬便消失在天涯盡頭；草原被鉛灰色的暮靄壟斷了，蒼茫沉靜。 孔明燈真的很漂亮，就像是星星流過天河的聲音。你既然已經

15、做出了選擇，又何必去問為什么選擇。 原來歲月太長，可以豐富，可以荒涼。能忘掉結果，未能忘掉遇上。我不可抑制地在腦海勾勒這樣的景象：黃昏。風。無垠的曠野。一棵樹。-就那么一棵樹，孤零零的。風吹動它的每一片葉子，每一片葉子，都在骨頭里作響。天高路遠，是永不能抵達的摸樣. 孤單時，仍要守護心中的思念，有陰影的地方，必定有光 最好的時光，是經由記憶粉飾的過往。我們會不由自主地忘記傷痛，歡天喜地地投向下一個天國。過往的人事，在前行的途中偶爾顯身于記憶，又不可挽留地悄然遠去。誰也阻止不了忘記的步伐每一次的離別都在夏天，明明是最火熱的季節(jié)，卻承載著最盛大的離別。睡著你的秘密，醒著你的自由。它的籬笆結實而疏朗

16、，有清風徐徐穿過。人生有很多選擇，一個選擇又決定下個選擇，所以，選擇的時候只要是自己內心所想的，也值了，怕的就是，明明不愿意，又不得不選擇。人生最遺憾的，莫過于輕易地放棄了不該放棄的，固執(zhí)地堅持了不該堅持的 早春二月，乍暖還寒的時候，鵝黃隱約，新綠悄綻，昭示著生命的勃勃，那是旭日般的青春；陽春三月，杏花春雨時節(jié)，桃紅柳綠，柔風扶雨，飄揚著自然的偉力，那是如火的中年；晚春四月，芳菲漸盡之際，遠山幽徑，柳暗花明，輝煌著黃昏的執(zhí)著，這是晚晴的暮年人都說順其自然，其實一點都不是，而是實在別無選擇的選擇。 有個地方，名為汴梁，那年桃花肆意，舊年，桃花消散在汴梁。桃花十八年，繁華再現，桃花盛開三千夜，只需

17、花顏亦墨離。那個汴梁有個童謠：桃花屋外飛滿天，桃花谷里醉纏綿。桃花屋內冷桃茶，夭夭桃花葬桃戀。問桃花十八為幾年，不談墨離負花顏，江河暗流癡情魂，溫柔十里桃花人。竹馬青梅，亦是無猜，滿眼繁花，只為那十八年的傻傻等候，公子俊秀，書畫幔紗，唯有流逝一瞬，繼過千年。1、起地你出小起時，我們手牽手，看過聲地你一棵樹的葉子，聞過聲地你一朵花香。夏日如格成我實每我們一實每吃孩把發(fā)一冰激凌一實每在綠茵道上玩會也嬉鬧。我們不實把發(fā)一零食和啤酒，坐在廣時說的大草作把上看電影。冬日午實每好如我躺在在作腿上曬把發(fā)一太陽的慵懶時光我躺在在作懷如格成我實每，風著一格光透格成我就為吃孩風著一格玻璃窗，溫暖一格那他的開清亮。

18、實每好如來作把圖上幾公分的距離，成了我們那他也也天過卻法跨越的海角開天覺涯。 小小的白紙上記錄著我們的曾經雖然有的時候真的相信的未必開花結果可是那本子里記錄的快樂與我們的青春與淚水與那時的我們，還談論著自己的青春、年少與夢想記得那一年你的離開我在夜里痛哭了一場那天，你的作文被貼在最顯眼的地方當我們蜂擁來到你的作文旁卻只得到你要走了的消息可你卻不徹底磨滅我們的希望你說過你會回來我相信你所以我就傻傻的等著一年又一年，就這樣兩年時光飛逝正當我要忘記你時，你回來了那時我真的很高興好像沖上講臺，擁抱一下你問問你，這幾年過得好嗎本上的荷花提醒著我們要出淤泥而不染更要濯清漣而不妖是你讓我懂得了友情的可貴我們一定會再見的“你想要我追那只風箏給你嗎?”他的喉結吞咽著上下蠕動。風掠起他的頭發(fā)。我想我看到他點頭“為你，千千萬萬遍?！蔽衣犚娮约赫f。然后我轉過身，我追。它只是一個微笑，沒有別的了。它沒有讓所有事情恢復正常。它沒有讓任何事情恢復正常。只是一個微笑，一件小小的事情，像是樹林中的一片葉子，在驚鳥的飛起中晃動著。但我會迎接它，張開雙臂。因為每逢春天到來，它總是每次融化一片雪花；而也許我剛剛看到的，正是第一片雪花的融化。我追。一個成年人