一元一次方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上一元一次方程方程的有關(guān)概念夯實(shí)基礎(chǔ)1 等式用等號(hào)（“=”）來(lái)表示相等關(guān)系的式子叫做等式。 溫馨提示等式可以是數(shù)字算式，可以是公式、方程，也可以是運(yùn)算律、運(yùn)算法則等，所以等式可以表示不同的意義。不能將等式與代數(shù)式混淆，等式含有等號(hào)，是表示兩個(gè)式子的“相等關(guān)系”，而代數(shù)式不含等號(hào)，它只能作為等式的一邊。如才是等式。2 等式的性質(zhì)性質(zhì)1：等式兩邊同時(shí)加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等。即如果，那么。性質(zhì)2：等式兩邊同時(shí)乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等。即如果，那么；如果，那么。 溫馨提示等式類(lèi)似天平，當(dāng)天平兩端放有相同質(zhì)量的物體時(shí)，天平處于平衡狀態(tài)。若在

2、天平的兩端各加（或減）相同質(zhì)量的物體，則天平仍處于平衡狀態(tài)。所以運(yùn)用等式性質(zhì)1時(shí)，當(dāng)?shù)仁絻蛇叾技由希ɑ驕p去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式時(shí)，才能保證所得的結(jié)果仍是等式，應(yīng)特別注意“都”和“同一個(gè)”。如，左邊加2，右邊也加2，則有。運(yùn)用等式的性質(zhì)2時(shí)，等式兩邊不能同除以0，因?yàn)?不能作除數(shù)或分母。等式性質(zhì)的延伸：a.對(duì)稱(chēng)性：等式左、右兩邊互換，所得結(jié)果仍是等式，即如果，那么。b.傳遞性：如果，那么（也叫等量代換）。例1：用適當(dāng)?shù)臄?shù)或整式填空，使所得的結(jié)果仍為等式，并說(shuō)明根據(jù)等式哪一條性質(zhì)，以及怎樣變形得到的。（1） 如果，那么 ；（2） 如果，那么 ；（3） 如果，那么 。3 方程含有未知數(shù)的等式叫做方

3、程。 溫馨提示方程有兩層含義：方程必須是一個(gè)等式，即是用等號(hào)連接而成的式子。方程中必有一個(gè)待確定的數(shù)，即未知的字母，這個(gè)字母就是未知數(shù)。如。4 方程與等式的區(qū)別與聯(lián)系概念及其特點(diǎn)區(qū)別聯(lián)系方程含有未知數(shù)的等式叫做方程。一個(gè)式子是方程，要滿(mǎn)足兩個(gè)條件：一是等式，二含有未知數(shù)。方程一定是等式，并且是含有未知數(shù)的等式。方程是特殊的等式。等式用等號(hào)來(lái)表示相等關(guān)系的式子叫做等式。等式的主體是相等關(guān)系。等式不一定是方程，因?yàn)榈仁讲灰欢ê形粗獢?shù)。方程和等式的關(guān)系式從屬關(guān)系，且有不可逆性。5 方程的解與解方程內(nèi)容實(shí)質(zhì)方程的解使方程中等號(hào)左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解具體的數(shù)值解方程求方程的解的過(guò)程叫做解

4、方程變形的過(guò)程溫馨提示檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是否是方程的解，只要用這個(gè)數(shù)代替方程中的未知數(shù)，如果方程兩邊的值相等，那么這個(gè)數(shù)就是方程的解；如果不相等，這個(gè)數(shù)就不是方程的解。方程可能無(wú)解，可能只有一個(gè)解，也可能有多個(gè)解。等式的基本性質(zhì)是解方程的依據(jù)。方程的解釋結(jié)果，而解方程是得到這個(gè)結(jié)果的一個(gè)過(guò)程。例3：下列方程中解為的是（ ） A. B.C. D.例4：利用等式的性質(zhì)解下列方程：（1） （2）掌握方法1 等量關(guān)系的確定方法列方程解應(yīng)用題是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)也是一個(gè)難點(diǎn)，要突破這一難關(guān)，學(xué)會(huì)尋找等量關(guān)系是關(guān)鍵，那么怎樣尋找應(yīng)用題中的等量關(guān)系呢？（1） 從關(guān)鍵詞中找等量關(guān)系；（2） 對(duì)于同一個(gè)量，從不同角度用

5、不同的方法表示，得到等量關(guān)系；（3） 運(yùn)用基本公式找等量關(guān)系；（4） 運(yùn)用不變量找等量關(guān)系。例1：某村原有林地108公頃，旱地54公頃，為保護(hù)環(huán)境，需把一部分旱地改造為林地，使旱地面積占林地面積的20，設(shè)把公頃旱地改為林地，則可列方程為（ ）。 A. B. C. D.2 利用方程的解求待定字母的方法利用方程的解求方程中的待定字母時(shí)，只要將方程的解代入方程，得到關(guān)于待定字母的方程，即可解決問(wèn)題。例2：已知是關(guān)于的方程的解，則的值應(yīng)為（ ）。 A. B. C. D.一元一次方程解一元一次方程夯實(shí)基礎(chǔ)1 一元一次方程1. 定義：只含有一個(gè)未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號(hào)兩邊都是整式，這樣的方程

6、叫做一元一次方程。2. 標(biāo)準(zhǔn)形式：方程（其中是未知數(shù)，、是已知數(shù)，并且）叫做一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。 溫馨提示一元一次方程中未知數(shù)所在的式子是整式，即分母不含未知數(shù)。一元一次方程只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都為1。如， 都不是一元一次方程。例1：下列方程中，哪些是一元一次方程？哪些不是？ （1）；（2）；（3）； （4）；（5）。2 移項(xiàng)1. 定義：把等式一邊的某項(xiàng)變號(hào)后移到另一邊，叫做移項(xiàng)。2. 示例：解方程時(shí)，可在方程的兩邊先加，再減，得，即變形為。 與原方程比較，這個(gè)變形過(guò)程如下： 溫馨提示移項(xiàng)的原理就是等式的性質(zhì)1。移項(xiàng)所移動(dòng)的是方程中的項(xiàng)，并且是從方程的一邊移到另一邊，而不是方程的

7、一邊交換兩個(gè)項(xiàng)的位置。移項(xiàng)時(shí)一定要改變所移動(dòng)的項(xiàng)的符號(hào)，不移動(dòng)的項(xiàng)不能變號(hào)。如解方程，若移項(xiàng)，得就出錯(cuò)了，原因是被移動(dòng)的項(xiàng)“”的符號(hào)沒(méi)有改變，而改變了沒(méi)有被移動(dòng)的項(xiàng)“”的符號(hào)。在移動(dòng)時(shí)，最好先寫(xiě)左右兩邊不移動(dòng)的項(xiàng)，再寫(xiě)移來(lái)的項(xiàng)。例2：下列各題中的變形為移項(xiàng)的是（ ）。 A.由，得 B.由，得 C.由，得 D.由，得3 去括號(hào)與去分母解一元一次方程的最終目標(biāo)是要得到“”這一結(jié)果。為了達(dá)到這一目標(biāo)，方程中有括號(hào)就要根據(jù)去括號(hào)法則去掉括號(hào)，即為去括號(hào)；方程中有分母的，根據(jù)等式性質(zhì)2去掉分母，即為去分母。 溫馨提示（1） 解含有括號(hào)的一元一次方程時(shí)，去括號(hào)時(shí)一般遵循去括號(hào)的基本法則。但在實(shí)際去括號(hào)時(shí)，

8、應(yīng)根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)利用一些方法技巧，恰當(dāng)?shù)厝ダㄌ?hào)，以簡(jiǎn)化運(yùn)算。對(duì)于一些特殊結(jié)構(gòu)的方程，可采用以下去括號(hào)的技巧：先去外再去內(nèi)。即在解題時(shí)，打破常規(guī)，不是由內(nèi)到外去括號(hào)，而是由外到內(nèi)去括號(hào)。整體合并去括號(hào)。有些方程，把含有的某些多項(xiàng)式看作整體，先合并，再去括號(hào)，往往會(huì)簡(jiǎn)單。如，解方程時(shí)，可把看作整體先合并，再去括號(hào)。（2） 去分母時(shí)，在方程兩邊要同時(shí)乘以所有分母的最小公倍數(shù)，不要漏乘不含分母的項(xiàng)。當(dāng)分母時(shí)小數(shù)時(shí)，需要把分母化整。同時(shí)注意分母化整只與這一項(xiàng)有關(guān)，而與其他項(xiàng)無(wú)關(guān)，要與去分母區(qū)分開(kāi)。例3：下列方程去括號(hào)正確的是（ ）。 A.由得 B.由得 C.由得 D.由得例4：方程，去分母正確的是（

9、 ）。 A. B. C. D.4 解一元一次方程的一般步驟步驟具體做法變形依據(jù)去分母在方程的兩邊同乘各分母的最小公倍數(shù)等式性質(zhì)2去括號(hào)先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)去括號(hào)法則、分配律移項(xiàng)把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的一邊，其它各項(xiàng)都移到方程的另一邊（記住移項(xiàng)要變號(hào)）等式性質(zhì)1合并同類(lèi)項(xiàng)把方程化為的形式合并同類(lèi)項(xiàng)法則系數(shù)化為1在方程的兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)，得到方程的解等式性質(zhì)2 溫馨提示1. 解一元一次方程的五個(gè)步驟，有些可能用不到，有些可能重復(fù)使用，不一定按順序進(jìn)行，根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活運(yùn)用。2. 在解方程的不用環(huán)節(jié)有各自不同的注意事項(xiàng)，分別如下：去分母（1） 分子是多項(xiàng)式的，去分母后要加括

10、號(hào)；（2） 不要漏乘不含分母的項(xiàng)去括號(hào)（1） 括號(hào)前的數(shù)要乘括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng)；（2） 括號(hào)前面是負(fù)數(shù)，去掉括號(hào)后，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都要變號(hào)移項(xiàng)（1） 移項(xiàng)時(shí)不要漏項(xiàng)；（2） 將方程中的項(xiàng)從一邊移到另一邊要變號(hào)，而在方程同一邊改變項(xiàng)的位置 時(shí)不變號(hào)合并同類(lèi)項(xiàng)按合并同類(lèi)項(xiàng)法則進(jìn)行，不要漏乘且系數(shù)的符號(hào)處理要得當(dāng)系數(shù)化為1（1） 未知數(shù)的系數(shù)為整數(shù)或小數(shù)時(shí)，方程兩邊同除以該系數(shù)；（2） 未知數(shù)的系數(shù)為分?jǐn)?shù)時(shí)，方程兩邊同乘該系數(shù)的倒數(shù)例5：解一元一次方程。掌握方法1 一元一次方程概念的應(yīng)用原方程為一元一次方程，即未知數(shù)的次數(shù)為1，系數(shù)不為0，由此來(lái)確定原方程中待定字母的值。例1：（1）若是關(guān)于的一元一次方程，

11、則= ； （2）若方程是關(guān)于的一元一次方程，則 。2 利用合并同類(lèi)項(xiàng)與移項(xiàng)解方程的方法（1） 合并同類(lèi)項(xiàng)時(shí)，不能用連等號(hào)與原方程相連。（2） 幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也是同類(lèi)項(xiàng)，移項(xiàng)時(shí)應(yīng)該把它們放到一起。（3） 移項(xiàng)時(shí)把某項(xiàng)改變符號(hào)后移到等式的另一邊，而不是等式一邊的兩項(xiàng)交換位置。（4） 移項(xiàng)必變號(hào)，不變號(hào)不能移項(xiàng)。例2：解方程：（1）；（2）。3 利用去分母解方程的方法利用等式的性質(zhì)2，在方程的兩邊同時(shí)乘各分母的最小公倍數(shù)，將分母去掉，把系數(shù)為分?jǐn)?shù)的方程轉(zhuǎn)化為系數(shù)為整數(shù)的方程。（1） 分?jǐn)?shù)線(xiàn)具有括號(hào)的作用，分子如果是一個(gè)多項(xiàng)式，去掉分母后，要把分母后，要把分子放在括號(hào)里。（2） 去分母時(shí)，不能漏乘不含分母

12、的項(xiàng)。例3：解方程。4 含小數(shù)的一元一次方程的解法將小數(shù)化成整數(shù)，是根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)把含小數(shù)的項(xiàng)的分子、分母乘同一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)，而不是方程所有的項(xiàng)都乘這個(gè)數(shù)。小數(shù)化成整數(shù)，是對(duì)分母含小數(shù)的項(xiàng)的恒等變形。例4：解方程：。5 有關(guān)同解方程的解題方法如果兩個(gè)方程的解相同，那么我們把這兩個(gè)方程稱(chēng)為同解方程。已知兩個(gè)一元一次方程是同解方程，求其中待定字母的取值，主要有兩種常見(jiàn)題型，其解法有所不同。（1） 在兩個(gè)同解方程中，如果只有一個(gè)方程中含有待定字母，一般先解不含待定字母的方程，再把未知數(shù)的值代入含有待定字母的方程中，求出待定字母的值。（2） 如果在兩個(gè)同解方程中都含有相同的待定字母，一般是分別解兩個(gè)

13、方程，用這個(gè)待定字母分別表示兩個(gè)方程的解，并建立等式，形成關(guān)于這個(gè)待定字母的方程，求出該待定字母的值。例5：已知方程的解與關(guān)于的方程的解相同，求的值。一元一次方程列一元一次方程解應(yīng)用題夯實(shí)基礎(chǔ)1 列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟（1） 審：弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系。（2） 設(shè)：用字母表示題目中的一個(gè)未知量。（3） 找：找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的一個(gè)相等關(guān)系。（4） 列：根據(jù)這個(gè)相等關(guān)系列出方程。（5） 解：解所列的方程，求出未知數(shù)的值。（6） 驗(yàn)：檢驗(yàn)方程的解是否符合問(wèn)題的實(shí)際意義。（7） 答：寫(xiě)出答案。二設(shè)未知數(shù)的幾種方法設(shè)未知數(shù)的方法有三種：（1） 直接設(shè)未知數(shù)：題目求什么就設(shè)什么為未

14、知數(shù)。（2） 間接設(shè)未知數(shù)：對(duì)于一些應(yīng)用題，如果直接設(shè)所求的量為未知數(shù)，可能不容易列方程，這時(shí)可以間接地設(shè)一個(gè)或幾個(gè)與所求的量有關(guān)系的量作為未知數(shù)，進(jìn)而求出所求的量。（3） 設(shè)輔助未知數(shù)：如果前兩種方法都行不通，便可設(shè)某個(gè)量為輔助未知數(shù)，輔助未知數(shù)僅作為題目中量與量之間關(guān)系的一種橋梁，一般情況下，解方程時(shí)不需要求出這個(gè)量。 溫馨提示采用直接設(shè)未知數(shù)的方法，原則是使分析條件更方便，列方程更簡(jiǎn)單，這樣比較容易得到方程，同時(shí)還要兼顧所得到的方程求解時(shí)難易。直接設(shè)未知數(shù)，好處是容易選取未知數(shù)，而且在解方程時(shí)可以直接得到問(wèn)題的解。如果題目里涉及的幾個(gè)量存在某種數(shù)量關(guān)系或某種比例關(guān)系，多采用間接設(shè)未知數(shù)的

15、方法，間接設(shè)未知數(shù)是在直接設(shè)未知數(shù)、分析條件或列方程感到困難的時(shí)候才采取的方法。其優(yōu)點(diǎn)是列出方程和解方程的過(guò)程都比較容易。如果應(yīng)用題涉及的量較多，各量之間的關(guān)系又不明顯，若能設(shè)立適當(dāng)?shù)妮o助未知數(shù)，把不明顯的關(guān)系表示出來(lái)，就可以順利地列出方程或方程組。例1：通訊員原計(jì)劃5h從甲地到乙地，因?yàn)槿蝿?wù)緊急，他每小時(shí)比原計(jì)劃快3km，結(jié)果提前1h到達(dá)，求甲、乙兩地間的距離。解析：解法一：直接設(shè)未知數(shù)。設(shè)甲、乙兩地間的距離為km。利用速度間的關(guān)系作相等關(guān)系：原計(jì)劃速度實(shí)際速度，得，解得。 解法二：間接設(shè)未知數(shù)，設(shè)原計(jì)劃的速度為km/h，則實(shí)際的速度為km/h。利用路程關(guān)系作相等關(guān)系：原計(jì)劃的路程=實(shí)際的路

16、程，得，解得，甲、乙兩地的距離為。答：甲、乙兩地的距離為60km。例2：一只船在逆水中航行，船上的一只救生圈掉入水中，5分鐘后，發(fā)現(xiàn)救生圈落水，船掉頭去追趕救生圈，幾分鐘能夠追上救生圈？（船掉頭的時(shí)間忽略不計(jì)）解析：（設(shè)輔助未知數(shù)）設(shè)船在靜水中的航行速度為米/分，水流速度為米/分，分鐘后船能夠追上落水的救生圈。根據(jù)題意，得。，。答：5分鐘后船能夠追上落水的救生圈。3 一元一次方程應(yīng)用題的常見(jiàn)類(lèi)型類(lèi)型 內(nèi)容題中涉及的數(shù)量關(guān)系及公式等量關(guān)系注意事項(xiàng)和、差、倍分問(wèn)題增長(zhǎng)量=原有量×增長(zhǎng)率現(xiàn)有量=原有量增長(zhǎng)量現(xiàn)有量=原有量降低量由題可知弄清“倍數(shù)”關(guān)系及“多”“少”關(guān)系等等積變形問(wèn)題長(zhǎng)方體體

17、積=長(zhǎng)×寬×高圓柱體積=（為高，為底面圓半徑）變形前后體積相等要分清半徑、直徑行 程 問(wèn) 題相遇問(wèn)題路程=速度×時(shí)間時(shí)間=路程÷速度速度=路程÷時(shí)間快車(chē)行駛路程+慢車(chē)行駛路程=原距離相向而行，注意出發(fā)時(shí)間、地點(diǎn)追及問(wèn)題快車(chē)行駛路程-慢車(chē)行駛距離=原距離同向而行，注意出發(fā)時(shí)間、地點(diǎn)航行問(wèn)題順?biāo)俣?靜水速度+水速逆水速度=靜水速度-水速路程=速度×時(shí)間注意兩地距離，靜水速度不變類(lèi)型 內(nèi)容題中涉及的數(shù)量關(guān)系及公式等量關(guān)系注意事項(xiàng)調(diào)配問(wèn)題從調(diào)配后的數(shù)量關(guān)系中找等量關(guān)系調(diào)配對(duì)象流動(dòng)的方向和數(shù)量比例分配問(wèn)題全部數(shù)量=各種成分的數(shù)量之和把一份數(shù)設(shè)

18、為年齡問(wèn)題大小兩個(gè)年齡差不會(huì)變由題可知年齡增長(zhǎng)一年一歲，人人如此工程問(wèn)題工作量=工作效率×工作時(shí)間工作效率=工作量÷工作時(shí)間工作時(shí)間=工作量÷工作效率兩個(gè)或幾個(gè)工作效率不同的對(duì)象所完成的工作量的和等于總工作量一般情況下，把總工作量設(shè)為1利潤(rùn)率問(wèn)題商品利潤(rùn)=商品售價(jià)-商品進(jìn)價(jià)（成本價(jià)）由題可知打幾折就是按售價(jià)的十分之幾銷(xiāo)售數(shù)字問(wèn)題（包括日歷中的數(shù)字規(guī)律）設(shè)、分別為一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位、十位上的數(shù)字，則這個(gè)兩位數(shù)可表示為由題可知對(duì)于日歷中的數(shù)字問(wèn)題要弄清日歷中的數(shù)字規(guī)律；設(shè)間接未知數(shù)儲(chǔ)蓄問(wèn)題利息=本金×利率×期數(shù)本息和=本金+利息=本金×（1

19、+利率×期數(shù)）由題可知分清利息和本息和濃度問(wèn)題溶液質(zhì)量=溶質(zhì)質(zhì)量+溶液質(zhì)量溶質(zhì)質(zhì)量=溶液質(zhì)量×百分比濃度加水前溶質(zhì)質(zhì)量=加水后溶質(zhì)質(zhì)量加水前含水量+加水量=加水后水量注意加水前后溶劑、溶液的變化掌握方法1 列一元一次方程解決配套問(wèn)題在現(xiàn)實(shí)生活中常見(jiàn)到一些配套組合問(wèn)題，如螺栓與螺母的配套，盒身與盒底的配套等。解決此類(lèi)問(wèn)題的方法是抓住配套比，設(shè)出未知數(shù)，然后根據(jù)配套比列出方程，通過(guò)解方程解決問(wèn)題。例1：某場(chǎng)共有120名生產(chǎn)工人，每名工人每天可產(chǎn)生螺栓50個(gè)或螺母20個(gè)，如果一個(gè)螺栓與兩個(gè)螺母配成一套，那么每天安排多少名工人生產(chǎn)螺栓，多少人名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天生產(chǎn)出來(lái)的產(chǎn)品

20、配成最多套？二用列表法解決增長(zhǎng)率、數(shù)字等問(wèn)題解復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，可借助表格來(lái)確定等量關(guān)系。先找出已知量、未知量，并用含已知量或未知量的式子把中間的那些起橋梁作用的量表示出來(lái)，同時(shí)利用表格顯示出等量關(guān)系。例2：已知甲、乙兩種商品的原單價(jià)和為100元，因市場(chǎng)變化，甲商品降價(jià)10%，乙商品提價(jià)5%，調(diào)價(jià)后，甲、乙兩種商品的單價(jià)和比原單價(jià)和提高了2%，求甲、乙兩種商品的單價(jià)各是多少元。3 用圖示法解決行程、工程等問(wèn)題有關(guān)工程、行程問(wèn)題，經(jīng)常利用圖示表示題目中各量間的關(guān)系，揭示出潛在的條件，使問(wèn)題清晰明了，能迅速列出方程，求解問(wèn)題。例3：甲、乙相距40km，甲先出發(fā)，1.5h后乙再出發(fā)，甲在后，乙在前，兩人同向而行，甲的速度是8km/h，乙的速度是6km/h，問(wèn)甲出發(fā)多久后追上乙？例4：一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做10小時(shí)完成，乙隊(duì)單獨(dú)做15小時(shí)完成，丙隊(duì)單獨(dú)做20小時(shí)完成。開(kāi)始時(shí)三隊(duì)合作，中途甲隊(duì)另有任務(wù)，由乙、丙兩隊(duì)完成，從開(kāi)始到工程完成共用6小時(shí)，問(wèn)甲隊(duì)實(shí)際做了多少小時(shí)？4 列一元一次方程解決銷(xiāo)售利潤(rùn)問(wèn)題常見(jiàn)數(shù)量關(guān)系注意事項(xiàng)利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)打幾折就是按原價(jià)的百分之幾十出售分清利潤(rùn)與利潤(rùn)率例5：書(shū)店里每本定價(jià)10元的書(shū)，成本是8元。為了促銷(xiāo)，書(shū)店決定讓利10給讀者，問(wèn)該書(shū)應(yīng)打多少折？5