關于高等數(shù)學(?？?復習題及答案

1、高等數(shù)學期末試卷、填空題(每題 2分，共30分)-一2,11 .函數(shù)y = x -4 +的定乂域是|x -1解.(,«, -2U2, +«) o22 .若函數(shù) f(x+1)=x +2x5,則 f(x)=解.x2 - 63.答案:limx -sin xx一)二二正確解法:x -sinxlim = lim (1XJ xxF 二sin xsin x)=lim 1 - lim 1-0 = 1X 二 X 二 xx ax b _4.已知 lim x2 b =2 ,則 a =, b=x 2 x -x-2由所給極限存在知，4+2a+b = 0,得b = 2a4,又由x2 ax b x a

2、2 a 4lim -7二 lim 二x 必 x2 x 2 x )2x 13=2,知 a = 2,b = 8ex - br,.5.已知 lim=0° ,則 a =, b =I (x。a)(x -1)xe - blimx-0 (x _a)(x 7)(x - a)(x - 1) a -即 lim=二 0,x 0ex -b 1 -ba = 0,b = 1o. 1xsin 一 f(x)xx 1x<0的間斷點是x=x -0解：由f (x)是分段函數(shù),28. f(x) =X2,則 f (f '(x)+1) = 答案：(2x +1)2或 4x2 +4x +19.函數(shù)z =4x -y22

3、2r的定義域為ln(1 - x - y )解：函數(shù)z的定義域為滿足下列不等式的點集。nz的定義域為:22 一 2,x, y) 10 Mx +y <1 且 y <4x 2210.已知 f(x+y,xy)=x y +xy ，則 f (x, y) =u .v 一 u -v解 令 x+y=u, x-y =v，則 x =2, y =2 , f (x+y)(x-y) =xy(x + y)u v u v uu 22x r rf (u,v) =uuu =u(u2 -v2), f(x,y)=x(x2 -y2)22 2 44x11 設 f(x, y)=xy+22，則 fx (0,1) =。 fy (0

4、,1)=x yf (0,1=)0 0fy(0,1) = lym0f(0,y 1)-f(0,1)=則"0=0。.y-0 Ly12 . 設z = x2 +sin y, x =cost, y =t3,則 dz =?dt 一dz = -2xsint 3t2 cosy dtd13 .d d f (x)dx =dxd解：由導數(shù)與積分互為逆運算得， d df(x)dx=f (x).dxx3 J14 .設 f(x)是連續(xù)函數(shù)，且 ( f(t)dt=x，則 f(7)=.解:2,33_1兩邊對x求導得3x f (x -1) =1 ,令x -1 =7,得x = 2,所以f(7)=2 3xx=2112仁-k

5、x1,15 .右e dx = ,則卜=。-021 .二 &x1 b *x答案： £ = o e dx 'b"mi 0e d(_kx) k = 2二、單項選擇題(每題 2分，共30分)一 a x T ,1.函數(shù) f (x) =x -(a A0,a。1)()ax 1A.是奇函數(shù)；C.既奇函數(shù)又是偶函數(shù);B.是偶函數(shù)；D.是非奇非偶函數(shù)。解：利用奇偶函數(shù)的定義進行驗證。所以B正確。1 21-2 .右函數(shù) f(X +)=X +=，則 f(X)=()X X一 2222，A. X ; B. X 一2;C.(X1) ; D. X -1 o一一，212_1-1、2- 一 1

6、1 2_解：因為 x + = x +2+2 = (x + ) 2,所以 f(X+)=(X + ) -2 XXXX X則f (x) = X2 -2 ,故選項B正確。3 .設 f (x) =X +1 ,則 f (f (x) +1)=().A. X B. X + 1 C, X + 2 D. X + 3解 由于 f(X) =X+1 ,得 f(f(X)+ 1) = (f(X)十 1)+1= f (x)+2將f (x) =X +1代入，得f(f(x) 1) = (x 1) 2-x 3正確答案：DX24.已知lim (-ax 一b) =0 ,其中a加是常數(shù)，則(x x 1(a)(C)a =1, b =1,

7、a =1,b - -1(B)(D)a - -1, b =1a - -1,b - -12一X斛. lim ( - ax -b) = lim-x 1X >:(1-ax2-(a+bx-b_01 -a =0,a b =0, a =1,b = -15 .下列函數(shù)在指定的變化過程中，(答案：c)是無窮小量。1A. eX, (xt °o)；sinx /B. , (X >XC. ln(1 + x), (xt 1)；,x 1 - 1D.X(X > 0)解：無窮小量乘以有界變量仍為無窮小量，所以而A, C, D三個選項中的極限都不為0,故選項B正確。6 .下列函數(shù)中，在給定趨勢下是無界

8、變量且為無窮大的函數(shù)是(. 1 / 一、(A) y =xsin-(x-)X)(B) y = n(')(nT g);(C) y =ln x(xt +0)；,一 11 ,(D) y 二- cos - (xr0) X X.1.11,. in .解.丫 lim xsin = lim sin / =1,故不選(A).取 m = 2k +1,則 lim n(,)=limx x x x Xni j 二1 c 一=0 ,故2k 1111不選(B).取xn =,則lim cos=0,故不選(D).答案：Cn二二f：XnXn2.1 nxsin -, x 07.設 f(x) = xx, x < 0，則

9、f （x）在乂 = 0處（A.連續(xù)且可導B.連續(xù)但不可導C.不連續(xù)但可導D.既不連續(xù)又不可導解：（B）lim f (x) = lim x = 0 , x )0x_0 一.1lim J (x) = lim上xsin = 0, f (0) = 0x-0 ,x 0 , x因此f（x）在x=0處連續(xù).1八 xsin - -0f (0); lim X)_L2 ; limxx0 x-0 x0 x-0.1 =lim4sin -,此極限不存在 x ° x從而f *0）不存在，故f '（0）不存在8.曲線y = x3 -x在點（1,0）處的切線是（A . y=2x2B. y = 2x+2C .

10、 y=2x+2D. y = 2x2解由導數(shù)的定義和它的幾何意義可知，是曲線y =x3 -x在點(1, 0)處的切線斜率，故切線方程是y 0 = 2(x -1)，即 y = 2x 2正確答案：A一一 1 4 .一9 .已知 y = _ x ,則 y =().432A. x B. 3x C. 6x D. 6解直接利用導數(shù)的公式計算：14332y = ( x ) = x , y = (x ) = 3x4正確答案：B 1、10.若 f (一)= X，則 f(X)=()。X1111A . -B. C. D. -2XXXX答案：D 先求出f(X),再求其導數(shù)。11. z Tn Ji -y2的定義域為().

11、2222A. X 一 y - 1 ?B, X -y -°C.22,22y > 1 ? d , X y > 0解z的定義域為X, y)X2 一y2 >0 個，選D12.設函數(shù)項級數(shù) £ Un(X),下列結論中正確的是 ().n 1(A)若函數(shù)列Un(X)定義在區(qū)間I上，則區(qū)間I為此級數(shù)的收斂區(qū)間(B)若S(x)為此級數(shù)的和函數(shù)，則余項rn(X)= S(x) Sn(X), lim rn(X)=0n :，(C)若X0 W 1使£ Un(Xo)收斂，則|X付Xo |所有X都使Z Un(x)收斂 n 1n Z1QO(D)若S(X)為此級數(shù)的和函數(shù)，則Z U

12、n(X0)必收斂于S(X0)n 1解：選(B).oo13.設a >0為常數(shù)，則級數(shù) £ (_1)n(1 _cosa)().n 1n(A)絕對收斂(B)條件收斂 (C)發(fā)散(D)斂散性與a有關2oo 2解：因為(1)n (1cos亙)=2sin2月-E W-；,而£ 亙行收斂，因此原級數(shù)絕對收斂 n2n 2nnT 2n故選(A) ' (x - a)n14.若級數(shù)z (-1)n (X a)在X>0時發(fā)散，在x=0處收斂，則常數(shù) a =(A) 1(B) -1(0 2(D 2oO解：由于(一1)n z1n (_a)n 0n (一L收斂，由此知a w1.當1<

13、;a1時，由于工(-1)nn 4n (x T的收斂半徑為1, n因此該號級數(shù)在區(qū)間(a 1,a+1)內收斂，特別地，在 (0,a+1)內收斂，此與募級數(shù)在 x>0時發(fā)散矛盾,因此a = 1.故選(B).15. y 2y 5y=e* cos2x的特解可設為(A) y"eAcos2x；(C) y=xe，Acos2x Bsin 2x ;(B) y(D) y=xe-xAcos2x;= e-x Acos2x B sin 2x .解：C三、解答題(任選 4題完成，每題10分，共40分)1.設函數(shù)問(1) a,b為何值時，f(x)在x=0處有極限存在?(2)a, b為何值時，f (x)在x

14、= 0處連續(xù)?解:(1)要f (x)在x = 0處有極限存在，即要lim f (x) = limj(x)成立x )0 -因為,1 ,lim f (x) = lim (xsin - b) 二 b x )0 -x )0 -xSin x 彳lim f (x)= lim 二 1x.0 'x Q . x所以，當b =1時，有l(wèi)im f (x) = lim ,f (x)成立，即 x )0 -x_0 -函數(shù)在某點處有極限與在該點處是否有定義無關，所以此時(2)依函數(shù)連續(xù)的定義知，函數(shù)在某點處連續(xù)的充要條件是b=1時，函數(shù)在x = 0處有極限存在，又因為a可以取任意值。于是有b =1 = f(0) =

15、a，即a = b=1時函數(shù)在x = 0處連續(xù)。2.求方程中y是x的隱函數(shù)的導數(shù)(1) xy -ex +ey = 1, y'解：方程兩邊對自變量 x求導，視y為中間變量，即整理得xe - y y 二yx e(2)設 y =sin(x +y),求 dy dxd2y dx2解：y = cos(x y) (1 ycos(x y)1 cos(x y)2，、-y = sin(x + y) (1 + y) +cos(x + y)，y ,3.設函數(shù)f (x)在0,1上可導，且0 < f(X)<1,對于(0 ,1)內所有x有f'(x)#1,證明在(0,1)內有且只有一個數(shù)x使f(x)

16、=x.7.求函數(shù)設 F(x)=f(x)-x,在0,1上用零點定理，得 F(x)至少有一個零點. 反設 F(x)在0,1上存在兩個零點 c1,c2,即 F(c1) = F(c2) = 0,c1,c2K 0,1, 由 Rolle 定理可得至少有 ，w(c1,c2)，使 F'(，)= 0 即(，)1 = 0= f'(，)= 1, 與題設矛盾，故在(0,1)內有且只有一個x,使f(x) = x.y =x2 .-2(1 +x)的單調區(qū)間和極值.解 函數(shù)y = x2(1+x)的定義域是(-, -1) U(-1, +oo)令y' = x2-x) = 0 ,得駐點 x1 = 2 , x

17、2 = 0(1 x)-20+0-0+極大值極小值故函數(shù)的單調增加區(qū)間是(_8,_2)和(0, +8)，單調減少區(qū)間是 (2, 1)及(1,0),當x=-2時，極大值 f(2) = M ;當 x =0 時，極小值 f(0) = 0.4.求下列積分解：1x3rdx : blm 11x31 x3dx = lim b .1133 blim：2(b3 -1)極限不存在，則積分發(fā)散.a222 . _-x - y d；-f (x,y)=Ja2 -x2 -y2是d上的半球面，由一y2d。的幾何意義知I=V半千>=-nax y a3.yd二D,D 由 x + y =1,x y =1,x = 0的圍成。關于

18、x軸對稱，且f (x, y) =y是關于y的奇函數(shù),由I幾何意義知，二產仃=0。Q05.判別級數(shù)X (-1)n n ?1的斂散性.如果收斂，是絕對收斂還是條件收斂 ln n解：記 un =(1)nJL1,則 un ln(n +1) 二Vn .n 1二 1顯見、 1去掉首項后所得級數(shù)n 4 nQOZ Vn仍是發(fā)散的，由比較法知 n 1QOQOZ Un發(fā)散，從而Z Un發(fā)散.又顯見 n 4n -21y (1)n 是Leibniz型級數(shù)，它收斂n4 ln(n 1)6 .求解微分方程(1) 2xq1 - y2 dx + ydy = 0 的所有解.解 原方程可化為,ydy = 2xdx 、(當y21-y2x2 -V1 -y2 =0為通解。當y2 =1時，即y1