淺析“數(shù)形結(jié)合”在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

1、摘 要數(shù)形結(jié)合是一種重要的教學(xué)思想方法。它主要表現(xiàn)在把抽象的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為適當(dāng)?shù)膸缀螆D形，從圖形的直觀特征發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間存在的聯(lián)系，以達(dá)到化難為易、化繁為簡、化隱為顯的目的，使問題簡捷地得以解決。本文從激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、提高學(xué)生綜合能力以及培養(yǎng)學(xué)生情操等方面分析、探討了“數(shù)形結(jié)合”在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：數(shù)、形、初等數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教學(xué)AbstractThe combination of digit is an important teaching methods. It is mainly manifested in the abstract, the quantitative relati

2、onship into the appropriate geometric shapes, from the intuitive graphical features found between the number of links in order to achieve a meal of easy, simplified, Implicit significant for the purpose of simple problems to be solved. Therefore, we must attach importance to the combination of digit

3、 teaching. This paper stimulate their interest in learning, improve student ability and cultivate sentiments of students so analyzed, "the combination of digit" in mathematics teaching applications. Keywords : number, shape and Mathematics Teaching Elementary Mathematics目 錄摘要1Abstract2目錄31

4、、引言42、“數(shù)”“形”結(jié)合推動數(shù)學(xué)發(fā)展43、數(shù)形結(jié)合在教學(xué)中的運用4 3.1、應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣53.2、應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”，提高學(xué)生的能力53.2.1、“數(shù)形結(jié)合”有助于對數(shù)學(xué)知識的記憶53.2.2、應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”，訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)直覺思維能力63.2.3、應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力73.2.4、應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力73.3、應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”，培養(yǎng)學(xué)生的良好情操83.3.1、樹立現(xiàn)代思維意識83.3.2、樹立辯證唯物主義世界觀84、數(shù)形結(jié)合在解題中的運用94.1、“數(shù)”中思“形”94.2、“形”中覓“數(shù)”105、結(jié)束語11參考文獻11 淺析

5、“數(shù)形結(jié)合”在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用1、引言數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中常用的、重要的一種數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)形結(jié)合思想的實質(zhì)即通過數(shù)形之間的相互轉(zhuǎn)化，把抽象的數(shù)量關(guān)系，通過理想化抽象的方法，轉(zhuǎn)化為適當(dāng)?shù)膸缀螆D形，從圖形的結(jié)構(gòu)直觀地發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間存在的內(nèi)在聯(lián)系，解決數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)問題，或者把關(guān)于幾何圖形的問題，用數(shù)量或方程等表示，從它們的結(jié)構(gòu)研究幾何圖形的性質(zhì)與特征。在解決代數(shù)問題時，想到它的圖形，從而啟發(fā)思維，找到解題之路；或者在研究圖形時，利用代數(shù)的性質(zhì)，解決幾何的問題實現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀恩格斯說：“純數(shù)學(xué)的對象是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系”“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中兩個最基本

6、的概念，它們既是對立的，又是統(tǒng)一的，每一個幾何圖形中都蘊含著與它們的形狀、大小、位置密切相關(guān)的數(shù)量關(guān)系；反之，數(shù)量關(guān)系又常常可以通過幾何圖形做出直觀地反映和描述?！皵?shù)”與“形”的信息轉(zhuǎn)換，相互滲透，不僅使解題簡捷明快，還開拓解題思路，為研究和探求數(shù)學(xué)問題開辟了一條重要的途徑。數(shù)形結(jié)合是連接“數(shù)”與“形”的“橋”，它不僅作為一種解題方法，還是一種重要的數(shù)學(xué)思想。2、“數(shù)”“形”結(jié)合推動數(shù)學(xué)發(fā)展(1)“形”的問題可使用“數(shù)”來計算，“數(shù)”的關(guān)系可以用“形”來表現(xiàn)。例如解析幾何中將幾何問題代數(shù)化，如關(guān)于直線斜率、距離、線段定比分點等等，將“代數(shù)”與“幾何”相結(jié)合起來。(2)“形”促進了“數(shù)”的概念的

7、發(fā)展，豐富了計算方法。例如無理數(shù)的計算，例如、的發(fā)現(xiàn)，由邊長為1的直角三角形得。代數(shù)恒等式的證明如圖。3、數(shù)形結(jié)合在教學(xué)中的運用當(dāng)前，由于高校擴招等多方面因素的影響，造成中等職業(yè)教育生源素質(zhì)下降，部分學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時存在著種種心理障礙，表現(xiàn)為：（1）自信心不強。對數(shù)學(xué)抽象語言和符號一籌莫展，自嘆不是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的“材料”，因而自暴自棄，信心不足，造成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績下降。（2）興趣不濃。認(rèn)為數(shù)學(xué)抽象、枯燥、復(fù)雜、運算多、邏輯推理多，缺少趣味，因而缺乏興趣，感覺學(xué)習(xí)是一種負(fù)擔(dān)，從而影響了學(xué)習(xí)的積極性。（3）智力偏低.有少數(shù)學(xué)生不僅學(xué)習(xí)基礎(chǔ)差,而且智力偏低,沒有養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣,學(xué)習(xí)方法不甚得法,造成反

8、應(yīng)遲鈍,遺忘快。此外，教師的教學(xué)總是一成不變，一個模式，墨守成規(guī)，缺乏針對學(xué)生的具體情況、結(jié)合實際的變化，使學(xué)生不能愉快地接受知識和啟動思維，從而產(chǎn)生了消極的學(xué)習(xí)態(tài)度。許多教師為此進行了有益的探討，筆者在教學(xué)中通過探索和相關(guān)的實踐，深深地體會到在數(shù)學(xué)教學(xué)中用“數(shù)形結(jié)合”的思想引導(dǎo)學(xué)生思考，用“數(shù)形結(jié)合”的技巧去訓(xùn)練學(xué)生解題，能夠促進學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)生的思維能力。數(shù)形結(jié)合滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合的觀點是通過對數(shù)量關(guān)系的討論來研究圖形的性質(zhì)，也可利用圖形的性質(zhì)來反映數(shù)量間的相互關(guān)系，因此數(shù)形結(jié)合使數(shù)和形相互啟發(fā)、相互補充、相互印證。3.1、應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣數(shù)學(xué)的客觀

9、存在的美感，在數(shù)與形的結(jié)合上表現(xiàn)得十分完美。在數(shù)與形的關(guān)系中特別引人注目的著名的“黃金分割率”，它被世人稱之為和諧性的最完美的表現(xiàn)。“0.618”被譽為黃金數(shù)、神圣的比例、宇宙的美神。在日常生活中，人們習(xí)慣用“黃金分割”審美的觀念看世界。在繪畫和建筑藝術(shù)中，如達(dá)·芬奇的最后的晚餐，埃菲爾鐵塔等，都用到了“黃金率”，所以，它們才有經(jīng)久不衰的魅力。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，要充分運用這些材料，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)的美，使學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生強烈的情感、濃厚的興趣和探討的欲望。誘發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)美的追求心理，從而消除對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)感到單調(diào)、負(fù)擔(dān)和懼怕的心理，產(chǎn)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和積極追求的欲望。愛因斯坦認(rèn)為：“

10、興趣是最好的老師?！迸囵B(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣是克服數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的內(nèi)在動力。所以，所學(xué)材料或研究對象的生動趣味有助于把學(xué)生從“要我學(xué)”轉(zhuǎn)變成“我要學(xué)”的良好的學(xué)習(xí)心理，從而有可能獲得最佳的教學(xué)效果。將美感滲透融合于數(shù)學(xué)教學(xué)的過程，這種審美心理活動能啟迪和推動學(xué)生數(shù)學(xué)思維活動，觸發(fā)智慧的美感，使學(xué)生的聰明才智得以充分發(fā)揮?！皵?shù)形結(jié)合”就能起到這方面的作用。3.2、應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”，提高學(xué)生的能力對大腦的科研成果表明，大腦的兩半球具有不同的功能，左半腦功能偏重于抽象的邏輯思維，講究規(guī)范嚴(yán)謹(jǐn)，穩(wěn)定封閉，如數(shù)的運算、代數(shù)式的運算、邏輯推理、歸納演繹等。右半腦功能則偏聽偏重于形象思維，講究直覺想象，自由發(fā)散，如

11、猜想、假設(shè)、構(gòu)思開拓、奇異創(chuàng)造等。左、右半腦的功能各有特征，如果互相補充就會使大腦功能更加健全和發(fā)達(dá)?！皵?shù)形結(jié)合”就同時運用了左、右半腦的功能，在培養(yǎng)形象思維能力時，也促進了邏輯思維能力的發(fā)展。3.2.1、“數(shù)形結(jié)合”有助于對數(shù)學(xué)知識的記憶“記憶是智慧的倉庫”。人的知識、經(jīng)驗的積累、技能的形成、技巧的熟練、思維能力的培養(yǎng)、事業(yè)的成就等都離不開良好的記憶能力。中等職業(yè)教育中的數(shù)學(xué)知識是基礎(chǔ)性知識，需要牢固地記憶并掌握這些基礎(chǔ)知識，在此基礎(chǔ)上做到靈活應(yīng)用，在整個教學(xué)過程中，這二者是相輔相成的。記憶正是掌握知識的基本手段，記憶的過程也就是知識積累的過程，同時有助于知識的深化，知識水平的提高更是要以記

12、憶為前提。有的學(xué)生面對一些數(shù)學(xué)問題束手無策，找不到解題的思路與方法，這與腦子里記憶的數(shù)學(xué)知識太少有關(guān)。只有對數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識記憶牢固，才能做到溫故而知新，應(yīng)用時熟能生巧，才能進一步發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)能力。教學(xué)中運用形象記憶的特點，使抽象的數(shù)學(xué)盡可能地形象化，對學(xué)生輸入的數(shù)學(xué)信息和映象就更加深刻，在學(xué)生的腦海中形成數(shù)學(xué)的模型，可以形象地幫助學(xué)生理解和記憶。數(shù)軸是中學(xué)數(shù)學(xué)教材中數(shù)形結(jié)合的第一個實例，它的建立，不僅使最簡單的形直線上的點與實數(shù)間建立一一對應(yīng)關(guān)系，還揭示了數(shù)形間的內(nèi)在聯(lián)系，使實數(shù)的許多性質(zhì)，可由數(shù)軸上相應(yīng)點的位置關(guān)系得到形象生動的說明，也為學(xué)習(xí)具有相反意義的量、相反數(shù)、絕對值、有理數(shù)

13、運算等作好了準(zhǔn)備。 如初一講絕對值這一概念時，絕大多數(shù)同學(xué)都能熟練地背出它的代數(shù)定義，而對它的幾何意義漠然視之，甚至?xí)r隔不久不知它還有幾何意義的竟大有人在！在這之后學(xué)習(xí)含有絕對值意義的新概念時，往往感到很困難，究其原因，其實他們根本就沒弄懂什么是絕對值。到底什么是絕對值？絕對值就是距離。|x|就是|x-0|，就是數(shù)軸上表示的點到（表示數(shù)0的點）原點的距離。那么解|x-3|=2這一方程，其實就是要在軸上找出所有到的距離是的點，這根本無須計算。而|x-3|+|x+2|=7的求解步驟也簡化為在數(shù)軸上找出到和兩點距離的和為的點，一目了然是和。3.2.2、應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”，訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)直覺思維能力在數(shù)學(xué)

14、里，存在著大量的直覺思維。這就是人們在求解數(shù)學(xué)問題時，運用已有的知識，從整體上對數(shù)學(xué)對象及其結(jié)構(gòu)迅速識別、判斷，進而作出大膽的猜想，合理的假設(shè)，并作出試探性的結(jié)論。它具有頓悟、飛躍的特征。中學(xué)教材中不論用代數(shù)方法研究幾何問題，還是用幾何圖形研究數(shù)或式，都貫穿著數(shù)形結(jié)合方法分析問題和解決問題的思想，要強化數(shù)形兩意識的滲透和能力的培養(yǎng)。于觀察圖形，以揭示圖形中蘊含的數(shù)量關(guān)系觀察是人們認(rèn)識客觀事物的開始，直觀是圖形的基本特征，觀察圖形的形狀、大小和相互位置關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上揭示圖形中蘊含的數(shù)量關(guān)系，是認(rèn)識、掌握數(shù)形結(jié)合的重要進程。用數(shù)形結(jié)合的方法解題，能最直接揭示問題的本質(zhì)，直觀地看到問題的結(jié)果，只

15、需稍加計算或推導(dǎo)，就能得到確切的答案。例1.已知全集，A、B為全集I的子集，且，求集合A. 思路分析：通讀全題，題目涉及了十個元素及A、B、I五個集合.若不借助圖形，容易出現(xiàn)錯誤，故借助韋氏圖求解集合A  解：如圖1所示，5AB，故在日常的教學(xué)中，教師要注意用數(shù)形結(jié)合的方法訓(xùn)練直覺思維，讓學(xué)生養(yǎng)成整體觀察、檢索信息、把握問題實質(zhì)的好習(xí)慣。3.2.3、應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力發(fā)散思維是從同一來源的材料或同一個問題，探求不同思路和方法的思維過程，其思維方向是從不同角度、不同方面看待同一個問題。在教學(xué)中常借助“一題多解”或“一題多變”的形式，突出已知與未知之間的矛

16、盾聯(lián)系，來引發(fā)學(xué)生提出新的思想、新的方法、新的問題，達(dá)到知識融會貫通，發(fā)展思維的廣闊性和靈活性，激勵學(xué)生的好奇心和求知欲，提高解決問題的應(yīng)變能力。例2：判定下列圖中，哪個是表示函數(shù)圖像？ 分析  由=可知函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象應(yīng)關(guān)于y軸對稱，因而否定（B）、（C），又，的圖象應(yīng)當(dāng)是上凸的，（在第1象限，函數(shù)y單調(diào)增，但變化趨勢比較平緩），因而（A）應(yīng)是函數(shù)圖象教師在教學(xué)中要注意學(xué)生思維的橫向推廣和縱向深入，使二者有機結(jié)合以利于保證思維的流暢性，做到反應(yīng)靈敏，思路暢通，聯(lián)想豐富，在短時間內(nèi)匯集、檢索與所研究問題有關(guān)的概念與性質(zhì)，隨機應(yīng)變，巧妙運用有關(guān)公式與定理，綜合運用各模塊知識。3.2

17、.4、應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力目前，推行素質(zhì)教育已成為教育發(fā)展的主流。對學(xué)生進行綜合素質(zhì)和能力的培養(yǎng)，是建立新世紀(jì)創(chuàng)造性人才隊伍的需要。，是思維的最高境界。只有具有創(chuàng)造性思維能力的人，才能在各自的領(lǐng)域中有所創(chuàng)造發(fā)明，才能推動科學(xué)技術(shù)、人類社會的向前發(fā)展。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可通過編選一些探索性的題目，讓學(xué)生去研究，去探討，去發(fā)現(xiàn)。讓他們不是從頭腦中已有的思維形式和思維方法中去找答案，而是從問題的本身進行具體的分析，進行一系列探索性思維活動，將已有的思維方式大跨度地遷移，從可供選擇的途徑中篩選出解決問題的方法。 在中學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合的思想和方法體現(xiàn)最充分的是解析幾何，此外，函數(shù)

18、與圖象之間，復(fù)數(shù)與幾何之間的相互轉(zhuǎn)化也充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想和方法通過聯(lián)想找到數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系是實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的先決條件，而強化這種轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練則是提高思維的靈活性和創(chuàng)造性的重要手段。例3：  解不等式 解：設(shè)即對應(yīng)的曲線是以為頂點，開口向右的拋物線的上半支而函數(shù)y=x+1的圖象是一直線 （如圖） 解方程可求出拋物線上半支與直線交點的橫坐標(biāo)為2，取拋物線位于直線上方的部分，故得原不等式的解集是.借助于函數(shù)的圖象或方程的曲線，引入解不等式（或方程）的圖象法，可以有效地審清題意，簡化求解過程，并檢驗所得的結(jié)果。3.3、應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”，培養(yǎng)學(xué)生的良好情操3.3.1、樹立現(xiàn)代思維意識在數(shù)學(xué)教

19、育中，通過數(shù)與形的有機結(jié)合，把形象思維與抽象思維有機地結(jié)合起來，盡可能地先形象后抽象，不但能促進這兩種思維能力同步發(fā)展，還為學(xué)生初步形成辯證思維能力創(chuàng)造了條件。在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，通過數(shù)與形的結(jié)合，能夠有的放矢地幫助學(xué)生多角度、多層次地思考問題，可以養(yǎng)成多向性思維的好習(xí)慣。 在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，教師引導(dǎo)學(xué)生變靜態(tài)思維方式為動態(tài)思維方式，也就是以運動、變化、聯(lián)系的觀點考慮問題，把數(shù)與形分別視為運動事物在某一瞬間的取值或某一瞬間的相對位置。運用動態(tài)思維方式處理教材、研究問題，能揭示前后知識的聯(lián)系與變化，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力，更好地把握事物的本質(zhì)。3.3.2、樹立辯證唯物主義世界觀客觀世界是一個普遍聯(lián)

20、系的整體，每一事物都不是孤立的存在，它和其他事物以各種方式相互依賴著，相互制約著，相互作用著。我們從數(shù)學(xué)的發(fā)展即可揭示出：事物無不處于普遍聯(lián)系之中。例如，解析幾何是由代數(shù)和幾何，數(shù)和形兩方面的聯(lián)系、變化、發(fā)展而來的。幾何圖形的研究，要借助于代數(shù)對方程的研究（如上文提到的借助于代數(shù)式子變換來的黃金率可用于黃金分割作圖）。而對幾何的研究同時亦豐富了代數(shù)的內(nèi)容（如代數(shù)中函數(shù)圖象就是借助于形的直觀性來研究的）。代數(shù)和幾何，數(shù)和形是對立的，但又是相互聯(lián)系的，可以互相轉(zhuǎn)化的。當(dāng)引入坐標(biāo)后，它們就統(tǒng)一于解析幾何中。這樣，數(shù)學(xué)教師就能用鮮活的事例，引導(dǎo)學(xué)生用普遍聯(lián)系的觀點、物質(zhì)統(tǒng)一性的觀點、對立統(tǒng)一的觀點來全

21、面的認(rèn)識客觀事物的運動、變化、規(guī)律，從而對人生觀、世界觀正處于定型期的中職學(xué)生以良好的促進作用，幫助他們初步形成辯證唯物主義世界觀。4、數(shù)形結(jié)合在解題中的運用 所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：（1）實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系；（2）函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；（3）曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系；（4）以幾何元素和幾何條件為背景建立起來的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；（5）所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。作為解題方法，“數(shù)形結(jié)合”實際上包含兩方面：一面是“形”的問題,引入直角坐標(biāo)系，尋找其數(shù)量關(guān)系式,用“代數(shù)”來解決；另一面對代數(shù)問題,分析其幾何意義,借助“形”的直觀來解答。4.1、“數(shù)”中思“形”例1. 如果實數(shù)滿足方程，求的最大值。解：不妨設(shè)點在圓上，圓心為,半徑等于（如圖）則是點與原點連線的斜率。當(dāng)與相切，且切點落在第一象限時，有最大值，即有最大值。因為=，=，所以=， 所以=。例2.方程，的解分別是，求 解：求上方程的解比較困難，方程的解，可