大學(xué)物理2-1第八章(氣體動(dòng)理論)習(xí)題答案

1、(設(shè)8-1目前可獲得的極限真空為1.331011Pa,求此真空度下1cm3體積內(nèi)有多少個(gè)分子溫度為27C)解由理想氣體狀態(tài)方程PnkTNPV得PkT,NVkT116,1.33101111063人故N233.21103(個(gè)2使一定質(zhì)量的理想氣體的狀態(tài)按pV圖中的曲線沿箭頭所示的方向發(fā)生變化，圖線的BC段是以橫軸和縱軸為漸近線的雙曲線。(1)已知?dú)怏w在狀態(tài)A時(shí)的溫度是TA300K,求氣體在BCD時(shí)的溫度。(2)將上述狀態(tài)變化過(guò)程在VT圖(T為橫軸)中畫(huà)出來(lái)，并標(biāo)出狀態(tài)變化的方向。解(1)由理想氣體狀態(tài)方程PVTjt1量，可得：由ZB這一等壓過(guò)程中VAVbTAtBVB20則

2、TBTA300600(K)VA10因BC段為等軸雙曲線，所以B-C為等溫過(guò)程，則TcTb600(K)OD為等壓過(guò)程，則以VTdTcTdVDTc20600300(K)Vc40(2)8-3有容積為V的容器，中間用隔板分成體積相等的兩部分，兩部分分別裝有質(zhì)量為分子N1和N2個(gè)，它們的方均根速率都是°,求:(1)兩部分的分子數(shù)密度和壓強(qiáng)各是多少(2)取出隔板平衡后最終的分子數(shù)密度和壓強(qiáng)是多少解(1)分子數(shù)密度N1VN121VN2VN222V由壓強(qiáng)公式：P1nmV23可得兩部分氣體的壓強(qiáng)為P11-n1mV 322mN1V023VP212n2mV0322mN2V023V(2)取出隔板達(dá)到平衡后，

3、氣體分子數(shù)密度為N1N2V混合后的氣體，由于溫度和摩爾質(zhì)量不變，所以方均根速率不變，于是壓強(qiáng)為:P1nmV2(N133V3.3 10 7g8-4在容積為2.5103m3的容器中，儲(chǔ)有11015個(gè)氧分子，41015個(gè)氮分子,氫分子混合氣體，試求混合氣體在433K時(shí)的壓強(qiáng)。解 由P nkTN1N2 N3n V3.3 10 7N3 6.0223102mtt N1N2N3則 P 123 kT 0.25 (Pa)V8-5 有2 10 3m3剛性雙原子理想氣體，其內(nèi)能為26.75 102J。(1)試求氣體的壓強(qiáng)。(2)設(shè)有5.4 1022個(gè)分子,求分子的平均平動(dòng)動(dòng)能及氣體，溫度。解(1)理想氣體的內(nèi)能壓強(qiáng)

4、E N，kT2N .P nkT kTV(2)由、(2)兩式可得2EP 1.35 105V5_(Pa)(2)由3 -kT2IkT 231.382310 23 3622E5kN362 (K)7.5 1021(J)8-6容積為10 cm3的電子管，當(dāng)溫度為300K時(shí)，用真空泵把管內(nèi)空氣抽成壓強(qiáng)為5 10 6mmHg的真空,問(wèn)此時(shí)管內(nèi)有多少個(gè)空氣分子這些分子的總平動(dòng)動(dòng)能是多少總轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能是多少總動(dòng)能是多少解由理想氣體狀態(tài)方程P kT 得VPV 5 10 6 1.013 105 10 10 6kT760 1.38 10 233001.61121012一個(gè)理想氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能為:IkT 23kT 2所

5、以總的平均動(dòng)能為:3PV 33Ei N -kTkT -PV2kT 223 5 10 621.01376010681.0 101 10 (J)將空氣中的分子看成是由雙原子剛性分子組成，而每一個(gè)雙原子分子的平均轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為:r2e2kT kT22kT所以總的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為:PVE2 Ne2kTkTPV_ 6_ _ 55 10 6 1.013 10568 10 10 60.667 10 8 (J)760總動(dòng)能EkEiE2kI 21.667 10 8 (J)8-7某些恒星的溫度可達(dá)108K的數(shù)量級(jí)，在這溫度下原子已不存在，只有質(zhì)子存在。試求：(1)質(zhì)子的平均動(dòng)能是多少電子伏(2)質(zhì)子的方均根速率是多少解質(zhì)子

6、只有3個(gè)平動(dòng)自由度，所以其平均動(dòng)能也就是它的平均平動(dòng)動(dòng)能3323819_4EkT1.381023108/1.602101.29104(eV)22質(zhì)子的方均根速率為：23kTpmp31.3810231086271.58106(ms)1.67310278-8容器內(nèi)某理想氣體的溫度T273K,壓強(qiáng)P1.00103atm,密度為1.25g/m3,求:氣體分子的方均根速率;(2)氣體的摩爾質(zhì)量，是何種氣體氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能;(4)單位體積內(nèi)氣體分子的總平動(dòng)動(dòng)能;氣體的內(nèi)能。設(shè)該氣體有0.3mol。解(1)由P nkT 得kTkT所以m上nP3kT13kT P3P333 1.00 10 3

7、1.013 10 331.25 10 3493( m s)(2)氣體的摩爾質(zhì)量kT23Mmol N°m 心上 6.02 1023P3231.25 101.38 10273351.00 10 3 1.013 1050.028 kg mol所以該氣體是N 2或CO(3)氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能3 _32321-kT 1.38 10 23 273 5.65 10 21 J22氣體分子的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能2 _ _23_ 21-kT 1.38 10273 3.77 10 21 J2(4)單位體積內(nèi)氣體分子的總平動(dòng)動(dòng)能B WkT 品 kT 22kT 21.00 1 0 3 1.0 1 3 1 05 1.5

8、2 1 02 J-3 m該氣體的內(nèi)能0.3Emol 0.3i-RT20.3538.31 273 1.701 103 J28-9容積為10103m3的容器以速率200m/s勻速運(yùn)動(dòng)，容器中充有質(zhì)量為50g,溫度為18c的氫氣。設(shè)容器突然靜止，全部定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能都轉(zhuǎn)變?yōu)闅怏w熱運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能，若容器與外界沒(méi)有熱交換，達(dá)到平衡時(shí)氫氣的溫度增加了多少壓強(qiáng)增加了多少氫分子視為剛性分子。解由能量守恒定律知 Imv22Ek又因Mmol5RT 2所以t MmoV5R2mv5k2743.3510274104231.9K51.381023NkTV-k T VMk TmV_ 3_ _ 23 一5010 31.3810 2

9、31.94幣3 3.95 104 Pa3.35 10 27 10 10 38-10一摩爾水蒸氣分解成同溫度的氫氣和氧氣，內(nèi)能增加了百分之幾（不計(jì)振動(dòng)自由度）解由水的分解方程知，1mol水蒸氣分解為1mol氫氣和mol氧氣。設(shè)溫度為T(mén),261mol水烝氣的內(nèi)能E16RT3RT251mol氫氣的內(nèi)能E2-RT21一，1551 mol氧氣的內(nèi)能E3-RT5RT2 224所以EE2E3E1-RT2314所以內(nèi)能增加的百分比為100%25%E18-11求速度與最概然速率之差不超過(guò)最概然速率1%勺分子數(shù)占分子總數(shù)的百分比。解根據(jù)題意，由麥克斯韋分布定律m2kT3 2 mv2e 2kT v2 v又vp2kT

10、所以Nvpvp在Vp附近,pvVpvvpvp100vpvp1000.02vpp1e10.021.66%8-12速率分布函數(shù)的物理意義是什么試說(shuō)明下列各量的意義:f()d;(2)Nf()d;(3)f()d；(4)Nf()d；(5)f()d。答f()表示在熱力學(xué)溫度T時(shí)，處于平衡狀態(tài)的給定氣體中，單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。(1)f()d表示某分子的速率在vv+dv間隔內(nèi)的概率；或者說(shuō)速率在vv+dv間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比;(2)Nf()d表示分子速率在vv+dv間隔內(nèi)的分子數(shù);2(3)f()d表示分子速率在v1v2間隔內(nèi)的概率，或者說(shuō)該分子速率在v1v2間隔內(nèi)的分子數(shù)占總

11、分子數(shù)的百分比;2(4)Nf()d表示分子速率在v1v2間隔內(nèi)的分子數(shù);1(5)2f()d無(wú)直接明顯的物理意義，只能表示在明v2間隔內(nèi)分子對(duì)速率算術(shù)平均值的貢獻(xiàn)。8-13由N個(gè)粒子組成的系統(tǒng)，其速率分布曲線如圖所示，當(dāng)>20時(shí)，f()0,求:(1) 常數(shù)a；(2) 速率大于0和小于0的粒子數(shù)；(3)分子的平均速率。1解(1)由歸一化條件知曲線下的面積S-v0av0a1232所以v0a1得到a23v0(2)v<V0時(shí)，曲線下的面積Si1ill、，1-voa1,所以粒子數(shù)為Ni1N233V>Vo時(shí)，曲線下的面積22S2,所以粒子數(shù)為N2-No33vf1 v dvvo02vovfv

12、dv02vovf2vdvvo由圖知f1vvf2vavo8-14所以 vV。a .dv vo2v°avdvvo2 avo33a 2 vo211av611 vo933谷積為30 10 m 的容器中，貯有320 10 kg的氣體，其壓強(qiáng)為50.7 103Pa。求氣體分子的最概然速率、平均速率及方均根速率。解設(shè)容器內(nèi)氣體分子總數(shù)為N,則有NPVkT該氣體分子質(zhì)量為kTM -pV最概然速率為2kT pVM kT平均速率為2pVM332 50.7 103 30 10 333.8920 10 3102 m sf方均根速率3kT，mv累1.6050.7 103 30 10 3320 10 34.39

13、 102 mskT1.73 . m4.77 102 m s8-15質(zhì)量為6.21014kg的粒子懸浮于27c的液體中，觀測(cè)到它的方均根速率為1.40cm/s。(1)計(jì)算阿佛加德羅常數(shù)。(2)設(shè)粒子遵守麥克斯韋分布律，求粒子的平均速率。解(1)由方均根速率公式阿佛加德羅常數(shù)為Mmol3RT得到Mmol3RTMmolV3 8.31 3006.151.42 21710 26.2 10 173RT2v m2V231023 mol所以V(2) V1.608RTMmolMmo1.73RTRTM mol1.60 2.v1.731.60 1.401.7310 21.30108-16由麥克斯韋分布律求速率倒數(shù)的

14、平均值(0xebx2dx2b)。解mf v 42kT2 mv2kT v21 f v dv0 v014 vm2kT3f2mve 2kTv2dvm2kT2kT2m1 22m kT8-17大氣壓強(qiáng)隨高度的變化規(guī)律為p°exp(M molgh)。RT拉薩海拔約3600m,設(shè)大氣溫度為27 C,而且處處相同，求拉薩的大氣壓是多少空氣的摩爾質(zhì)量是29 10 3kg/mol。海平面處大氣壓為 1atm。解拉薩大氣壓強(qiáng)為2p 10 3 9.8 36008.31 300xp 1 eatm=8-18 實(shí)驗(yàn)測(cè)得常溫下距海平面不太高處，每升高10m,大氣壓約降低1mmHg試用恒溫度Mmol ghRT氣壓公式

15、證明此結(jié)果(海平面處大氣壓按760mmHg計(jì)，溫度取273K)。證明因?yàn)榇髿鈮簭?qiáng)隨高度變化規(guī)律為p1p0exp升高h(yuǎn)后大氣壓為p2PoexpMmo1gh-hRTP2Po expM mol g h hRT所以PP2PiPo expM mol gh exPRTM mol g h 1RT760exP 2910 3 9.8 108.31 2731 0.95mmHg8-19重力場(chǎng)中粒子按高度的分布為nn°emgh/kT。設(shè)大氣中溫度隨高度的變化忽略不計(jì),在27c時(shí)，升高多大高度，大氣壓強(qiáng)減為原來(lái)的一半。解由pnkT知，當(dāng)大氣壓強(qiáng)減為原來(lái)的一半時(shí)，nn0/2n°emgh / kT得,e

16、 mgh/kTIn2kTIn2RTIn28.31300c36080mmgMmolg291039.88-20試計(jì)算空氣分子在標(biāo)準(zhǔn)狀況下的平均自由程和平均碰撞頻率。取分子的有效直徑為3.51010m,空氣平均摩爾質(zhì)量為29103kg/mol。解平均自由程kT2 d2 p236.9 10 8 m1.381023273'102523.143.5101.01310平均碰撞頻率行 d2Vn 42 d2 8RT 42 d 2vn ,Mmol kT,2 d 21.60 RTMmol.2 3.14 3.5 10 10“c 8.31 2731.013 1051 .60 , 323 :29 101.38 1

17、0 23 273P kT6.29 110 s8-21一定量的理想氣體貯于固定體積的容器中，初態(tài)溫度為T(mén)0,平均速率為0,平均碰撞頻率為Z。，平均自由程為二。若溫度升高為4T。時(shí)，求、W和一各是多少解平均速率8RTv 、Mmol故當(dāng)T4T0時(shí)，v2竺兄2v0MMmol平均碰撞頻率Zd2vn因?yàn)槿萜黧w積不變，分子數(shù)密度不變，所以Zd2vn2d2v7n2Z?平均自由程一1.2d2n由于n不變，所以8-22設(shè)氣體放電管中氣體分子數(shù)密度為n。電子不斷與氣體分子碰撞，因電子速率遠(yuǎn)大于氣體分子的平均速率，所以氣體分子可以認(rèn)為是不動(dòng)的，設(shè)電子的“有效直徑”比起氣體分子的有效直徑d來(lái)可忽略不計(jì)。求電子與氣體分子

18、碰撞的平均自由程。解因?yàn)殡娮拥挠行е睆娇梢院雎圆挥?jì)，所以電子與氣體分子碰撞的有效班級(jí)功能為d/2,所以一秒鐘時(shí)間內(nèi)電子和其他分子碰撞的平均次數(shù)為2d-1.2-vndvn24所以平均自由程為v 4 2 Z d2n8-23在質(zhì)子回旋加速器中，要使質(zhì)子在1105km的路徑上不和空氣分子相撞，真空室內(nèi)的壓強(qiáng)應(yīng)為多大設(shè)溫度為300K,空氣分子的有效直徑為3.51010m,質(zhì)子的有效直徑可忽略不計(jì)，空氣分子可認(rèn)為靜止不動(dòng)。解空氣分子的有效直徑為31010m,因?yàn)橘|(zhì)子的有效直徑可以忽略不計(jì)，所以質(zhì)子與空氣分子碰撞的有效半徑為d/2,碰撞的有效面積為d/22按題意，要求在體積Vd/221l1105km最多有一個(gè)分子才能滿足條件，所14以單位體積內(nèi)空氣分子數(shù)為n-4rVd2l23441.3810300io所以空氣壓強(qiáng)為pnk