大白本解答9月版曲線積分和曲面積分

1、第九章、曲線積分與曲面積分曲線積分部分一、（1）直接計(jì)算：，故選項(xiàng)B是對(duì)的。（2）直接由公式，應(yīng)選D。（3）取順時(shí)針方向，再設(shè)為包含的平面區(qū)域，則由公式：所以，應(yīng)選D。（4）選C。二、 1.直接計(jì)算：2.直接計(jì)算：應(yīng)填從2到03.應(yīng)填，計(jì)算：由公式4.應(yīng)填： 由“對(duì)稱”性易知：5.應(yīng)填：，由公式計(jì)算得：其中為所圍區(qū)域。6. 應(yīng)填：，直接計(jì)算得：。三、1.解：2.解：本題中補(bǔ)從到的直線段：，從到。則由公式得：3.證：因?yàn)榕c路徑無關(guān) 4.解：令得： ，5.解：令得：，所以， 6.解：補(bǔ)：線段B到O：從0到1，則由Green公式得： (其中為所圍區(qū)域)，所以， 7.解：補(bǔ)線段：從到；線段：從到，則有

2、設(shè)為、所圍區(qū)域。由公式所以，8.解：當(dāng)時(shí)，。補(bǔ)線段：從到；逆時(shí)針的小圓周：，適當(dāng)小，使在、所圍區(qū)域內(nèi)。則由公式：， 所以， 。9.解：，問題化為確定，使，即：要滿足：令，得： 解此一階線性方程得：。即：，利用初始條件，解得：，所以，。曲面積分部分一、1.因是平行于坐標(biāo)面的一個(gè)柱面，故直接計(jì)算曲面積分時(shí)，可將分為從軸來看的上、下兩部分，然后再往面上投影。注意到在上半部分，是非負(fù)的，在下半部分，是負(fù)的。故選。2.易知在上的點(diǎn)處的單位向量。故由兩類曲面積分的關(guān)系：，所以選項(xiàng)是正確的。的錯(cuò)誤在于， 是上側(cè)，故右邊是正號(hào)；的錯(cuò)誤在于，在上，關(guān)系式是不成立的；的錯(cuò)誤在于，在上，是不成立的。3.因在前、后球

3、面上，是反對(duì)稱的，故選項(xiàng)的積分為零；同理選項(xiàng)及的積分都是零。故選項(xiàng)是對(duì)的，原因是和這兩個(gè)積分都是0，顯然。4.易知，在的柱面部分上：，而在兩個(gè)頂面及上， ,故選項(xiàng)的積分為0；對(duì)于，在上，故，故積分為0；將按軸方向分為前、后各個(gè)球面,則為前側(cè)，為后側(cè)。有：，故選項(xiàng)的積分不為0；若將按軸方向分為前、后兩個(gè)對(duì)稱的半橢球面，則是前側(cè)的，而是后側(cè)的，再由于是的偶函數(shù)。故，同理，。5.注意到能用公式的兩個(gè)前提條件：是外側(cè)（或內(nèi)側(cè)曲面），P、Q、R在所圍的內(nèi)一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，容易知道選項(xiàng)是對(duì)的。不對(duì)：的球面部分和平面部分的定向不能保證同時(shí)是外側(cè)（或內(nèi)側(cè)）的。不對(duì)：P、Q、R不可偏導(dǎo)的點(diǎn)（0，0，0）在內(nèi)。6.注意到在上：。直接計(jì)算得： （公式）= ，故選項(xiàng)C是正確的。 選項(xiàng)A、B、D的錯(cuò)誤的共性在于，計(jì)算第二類曲面積分，錯(cuò)誤地用了“對(duì)稱性”。這是要注意的。7. 將四個(gè)選項(xiàng)的函數(shù)乘以方程的左邊直接判斷可知，選項(xiàng)B是對(duì)的。 的積分因子。二、1.解：設(shè)表示上半球面。則由對(duì)稱性，原式2.解：3.解： 4.解：注意到在上，。補(bǔ)為平面上的圓，取下側(cè)。則由公式： 其中為所圍立體，為平面區(qū)域。5.解：設(shè)，則：的參數(shù)式6.解：補(bǔ)為被所截部分的上側(cè)。則7.解：設(shè)、分別表示的上、下及側(cè)面部分曲面。易知， ，所