圓與方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及習(xí)題答案

1、第四章 圓與方程1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓，定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為圓的半徑。2、圓的方程（1）標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心，半徑為r；點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：當(dāng)>，點(diǎn)在圓外當(dāng)=，點(diǎn)在圓上當(dāng)<，點(diǎn)在圓內(nèi)（2）一般方程當(dāng)時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓心為，半徑為當(dāng)時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，方程不表示任何圖形。（3）求圓方程的方法：一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F(xiàn)；另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，以此來(lái)確定圓心的位置。3、直線與圓的位置關(guān)系：直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切

2、，相交三種情況：（1）設(shè)直線，圓，圓心到l的距離為 ，則有；（2）過(guò)圓外一點(diǎn)的切線：k不存在，驗(yàn)證是否成立k存在，設(shè)點(diǎn)斜式方程，用圓心到該直線距離=半徑，求解k，得到方程【一定兩解】(3)過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程：圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，則過(guò)此點(diǎn)的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 4、圓與圓的位置關(guān)系：通過(guò)兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來(lái)確定。設(shè)圓，兩圓的位置關(guān)系常通過(guò)兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來(lái)確定。當(dāng)時(shí)兩圓外離，此時(shí)有公切線四條；當(dāng)時(shí)兩圓外切，連心線過(guò)切點(diǎn)，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條

3、；當(dāng)時(shí)兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)，只有一條公切線；當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)含； 當(dāng)時(shí)，為同心圓。注意：已知圓上兩點(diǎn)，圓心必在中垂線上；已知兩圓相切，兩圓心與切點(diǎn)共線 圓的輔助線一般為連圓心與切線或者連圓心與弦中點(diǎn)圓的方程基礎(chǔ)自測(cè)1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓，則a的取值范圍是 （ ）A.a-2或aB.-a0C.-2a0D.-2a答案D2.（2009·河南新鄭模擬）圓x2+y2+2x-4y+1=0關(guān)于直線2ax-by+2=0（a、bR）對(duì)稱(chēng)，則ab的取值范圍是 （ ）A.B.C.D.答案A3.過(guò)點(diǎn)A（1，-1），B（-

4、1，1），且圓心在直線x+y-2=0上的圓的方程是（ ）A.（x-3）2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4C.（x-1）2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4答案C4.以點(diǎn)（2，-1）為圓心且與直線3x-4y+5=0相切的圓的方程為 （ ）A.(x-2)2+(y+1)2=3B.(x+2)2+(y-1)2=3C.(x-2)2+(y+1)2=9 D.(x+2)2+(y-1)2=9答案C5.（2009·宜昌模擬）直線y=ax+b通過(guò)第一、三、四象限，則圓（x+a）2+(y+b)2=r2 (r0)的圓心位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象

5、限答案B例1 已知圓C的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，直線3x+4y+4=0與圓C相切，則圓C的方程為（ ）A.x2+y2-2x-3=0B.x2+y2+4x=0C.x2+y2+2x-3=0 D.x2+y2-4x=0答案D例2 已知圓x2+y2+x-6y+m=0和直線x+2y-3=0交于P，Q兩點(diǎn)，且OPOQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑.解 方法一 將x=3-2y,代入方程x2+y2+x-6y+m=0,得5y2-20y+12+m=0.設(shè)P（x1,y1）,Q(x2,y2),則y1、y2滿(mǎn)足條件：y1+y2=4,y1y2=OPOQ,x1x2+y1y2=0.而x1=3-2y1,x2=3-

6、2y2.x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.m=3,此時(shí)0,圓心坐標(biāo)為,半徑r=.方法二 如圖所示，設(shè)弦PQ中點(diǎn)為M，O1MPQ，.O1M的方程為:y-3=2,即：y=2x+4.由方程組解得M的坐標(biāo)為（-1，2）.則以PQ為直徑的圓可設(shè)為（x+1）2+（y-2）2=r2.OPOQ，點(diǎn)O在以PQ為直徑的圓上.（0+1）2+（0-2）2=r2，即r2=5,MQ2=r2.在RtO1MQ中，O1Q2=O1M2+MQ2.(3-2)2+5=m=3.半徑為,圓心為.方法三 設(shè)過(guò)P、Q的圓系方程為x2+y2+x-6y+m+(x+2y-3)=0.由OPOQ知，點(diǎn)O（0，0）在圓上.m-3=0，即m=3.

7、圓的方程可化為x2+y2+x-6y+3+x+2y-3=0即x2+(1+)x+y2+2(-3)y=0.圓心M，又圓在PQ上.-+2（3-）-3=0，=1，m=3.圓心為，半徑為.例3 （12分）已知實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足方程x2+y2-4x+1=0.（1）求y-x的最大值和最小值；（2）求x2+y2的最大值和最小值.解 （1）y-x可看作是直線y=x+b在y軸上的截距，當(dāng)直線y=x+b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，此時(shí)，解得b=-2±. 5分所以y-x的最大值為-2+，最小值為-2-. 6分（2）x2+y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)與圓心連線與圓的兩個(gè)交

8、點(diǎn)處取得最大值和最小值. 8分又圓心到原點(diǎn)的距離為=2，所以x2+y2的最大值是（2+）2=7+4，x2+y2的最小值是（2-）2=7-4. 12分圓與直線方程例1 已知圓x2+y2-6mx-2（m-1）y+10m2-2m-24=0（mR）. （1）求證：不論m為何值，圓心在同一直線l上；（2）與l平行的直線中，哪些與圓相交、相切、相離；（3）求證：任何一條平行于l且與圓相交的直線被各圓截得的弦長(zhǎng)相等.（1）證明 配方得：（x-3m）2+y-（m-1）2=25，設(shè)圓心為（x，y），則消去m得l：x-3y-3=0，則圓心恒在直線l：x-3y-3=0上.（2）解 設(shè)與l平行的直線是l1：x-3y+

9、b=0，則圓心到直線l1的距離為d=.圓的半徑為r=5，當(dāng)dr，即-5-3b5-3時(shí)，直線與圓相交；當(dāng)d=r,即b=±5-3時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)dr，即b-5-3或b5-3時(shí)，直線與圓相離.（3） 證明 對(duì)于任一條平行于l且與圓相交的直線l1：x-3y+b=0，由于圓心到直線l1的距離d=（4） 弦長(zhǎng)=2且r和d均為常量.任何一條平行于l且與圓相交的直線被各圓截得的弦長(zhǎng)相等.例2 從點(diǎn)A（-3，3）發(fā)出的光線l射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光線l所在直線的方程.解 方法一 如圖所示，設(shè)l與x軸交于點(diǎn)B（b,0)，則kAB=,根據(jù)光

10、的反射定律，反射光線的斜率k反=.反射光線所在直線的方程為y=(x-b),即3x-(b+3)y-3b=0.已知圓x2+y2-4x-4y+7=0的圓心為C（2,2），半徑為1,=1,解得b1=-,b2=1.kAB=-或kAB=-.l的方程為4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.方法二 已知圓C：x2+y2-4x-4y+7=0關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的圓為C1：(x-2)2+(y+2)2=1，其圓心C1的坐標(biāo)為（2，-2），半徑為1，由光的反射定律知，入射光線所在直線方程與圓C1相切.設(shè)l的方程為y-3=k(x+3),則=1,即12k2+25k+12=0.k1=-，k2=-.則l的方程為4x+3y+3=0或

11、3x+4y-3=0.方法三 設(shè)入射光線方程為y-3=k(x+3),反射光線所在的直線方程為y=-kx+b,由于二者橫截距相等，且后者與已知圓相切.消去b得=1.即12k2+25k+12=0,k1=-,k2=-.則l的方程為4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.例3 已知圓C1：x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圓C2：x2+y2+2x-2my+m2-3=0,m為何值時(shí)，（1）圓C1與圓C2相外切；（2）圓C1與圓C2內(nèi)含？解 對(duì)于圓C1與圓C2的方程，經(jīng)配方后C1:(x-m)2+(y+2)2=9; C2:(x+1)2+(y-m)2=4.(1)如果C1與C2外切，則有=3+2.(m+1)

12、2+(m+2)2=25.m2+3m-10=0,解得m=-5或m=2.（2）如果C1與C2內(nèi)含，則有3-2.(m+1)2+(m+2)21,m2+3m+20,得-2m-1,當(dāng)m=-5或m=2時(shí)，圓C1與圓C2外切；當(dāng)-2m-1時(shí)，圓C1與圓C2內(nèi)含.例4（12分）已知點(diǎn)P（0，5）及圓C：x2+y2+4x-12y+24=0.（1）若直線l過(guò)P且被圓C截得的線段長(zhǎng)為4，求l的方程；（2）求過(guò)P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.解 （1）方法一 如圖所示，AB=4，D是AB的中點(diǎn)，CDAB，AD=2，圓x2+y2+4x-12y+24=0可化為（x+2）2+（y-6）2=16，圓心C（-2，6），半徑r=4

13、，故AC=4，在RtACD中，可得CD=2. 2分設(shè)所求直線的斜率為k，則直線的方程為y-5=kx,即kx-y+5=0.由點(diǎn)C到直線AB的距離公式： =2，得k=.此時(shí)直線l的方程為3x-4y+20=0. 4分又直線l的斜率不存在時(shí)，此時(shí)方程為x=0. 6分則y2-12y+24=0,y1=6+2,y2=6-2,y2-y1=4,故x=0滿(mǎn)足題意.所求直線的方程為3x-4y+20=0或x=0. 8分方法二 設(shè)所求直線的斜率為k，則直線的方程為y-5=kx,即y=kx+5,聯(lián)立直線與圓的方程消去y得（1+k2）x2+(4-2k)x-11=02分設(shè)方程的兩根為x1,x2,由根與系數(shù)的關(guān)系得 4分由弦長(zhǎng)

14、公式得|x1-x2|=將式代入，解得k=，此時(shí)直線的方程為3x-4y+20=0.又k不存在時(shí)也滿(mǎn)足題意，此時(shí)直線方程為x=0.所求直線的方程為x=0或3x-4y+20=0.8分（2）設(shè)過(guò)P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)為D（x,y）,則CDPD，即·=0，（x+2,y-6）·(x,y-5)=0,化簡(jiǎn)得所求軌跡方程為x2+y2+2x-11y+30=0.3.求過(guò)點(diǎn)P（4，-1）且與圓C：x2+y2+2x-6y+5=0切于點(diǎn)M（1，2）的圓的方程.解 方法一 設(shè)所求圓的圓心為A（m,n)，半徑為r,則A,M,C三點(diǎn)共線，且有|MA|=|AP|=r，因?yàn)閳AC：x2+y2+2x-6y+5=0的圓心為C（-1，3），則,解得m=3,n=1,r=,所以所求圓的方程為(x-3)2+(y-1)2=5.方法二 因?yàn)閳AC：x2+y2+2x-6y+5=0過(guò)點(diǎn)M（1，2）的切線方程為2x-y=0,所以設(shè)所求