南京市高三二模數(shù)學(xué)全解析版word

1、南京市2011屆高三第二次模擬考試全解析版數(shù)學(xué)(滿分160分，考試時(shí)間120分鐘)201103一、 填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分1. 已知復(fù)數(shù)z134i，z24bi(bR，i為虛數(shù)單位)若復(fù)數(shù)z1·z2是純虛數(shù)，則b的值為_答案：3解析：z1·z2124b(3b16)i為純虛數(shù)b3.2. 已知全集UR，Z是整數(shù)集，集合Ax|x2x60，xR，則ZUA中元素的個(gè)數(shù)為_答案：4解析：A(，23，)， UA(2,3)， ZCUA1,0,1,2 元素個(gè)數(shù)為4.3. 用兩種不同的顏色給圖中三個(gè)矩形隨機(jī)涂色，每個(gè)矩形只涂一種顏色，則相鄰兩個(gè)矩形涂不同顏色的概率是_答案

2、：解析：設(shè)兩種不同顏色為a、b、則所有可能為(a，a，a)，(a，a，b)，(a，b，a)，(a，b，b)，(b，a，a)，(b，a，b)，(b，b，a)，(b，b，b)其中滿足條件的有(a，b，a)，(b，a，b)， 概率為.4. 某校為了解高三男生的身體狀況，檢測(cè)了全部480名高三男生的體重(單位：kg)，所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間50,75中，其頻率分布直方圖如圖所示若圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率之比為123，則體重小于60 kg的高三男生人數(shù)為_(第4題)答案：180解析：設(shè)5055kg的頻率為a. 6575kg的頻率為(0.037 50.012 5)×50.25， a2a3a0.2

3、51a0.125. 5060kg的頻率為0.375所求人數(shù)為0.375×480180人5. 已知向量a、b的夾角為120°，且|a|3，|b|1，則|a2b|_.答案： 解析：|a2b|.6. 右圖是一個(gè)算法的流程圖，則輸出i的值是_(第6題)答案：5解析：0log2log2log2log2log25>2.7. 若拋物線y22x上的一點(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為，則M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為_答案：解析：設(shè)M，則OM2y23，解得y. M(1，)又焦點(diǎn)坐標(biāo)為， M到焦點(diǎn)距離為.8. 若直線ykx3與曲線y2lnx相切，則實(shí)數(shù)k_.2解析：對(duì)y2lnx求導(dǎo)得y， ，即實(shí)數(shù)k2

4、.9. 已知函數(shù)f(x)2sin(x)(0)若f0，f2，則實(shí)數(shù)的最小值為_3解析：f(x)maxf2，當(dāng)最小時(shí)，T最大，此時(shí)T， min3.10. 已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a2·a44，a1a2a314，則滿足an·an1·an2的最大正整數(shù)n的值為_4解析： an為等比數(shù)列，a2·a44a32，又a1a2a314 12q， an·an1·an23n9>， n最大值為4.11. 已知集合P，Q(x，y)|(xa)2(yb)2r2，r0，若“點(diǎn)MP”是“點(diǎn)MQ”的必要條件，則當(dāng)r最大時(shí)，ab的值是_解析：如圖，當(dāng)Q為三

5、角形區(qū)域內(nèi)切圓時(shí)，r最大此時(shí)r，a，b， ab.12. 如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，BC2，AC，AA13，M為線段B1B上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)AMMC1最小時(shí)，AMC1的面積為_(第12題)解析：將其側(cè)面展開，當(dāng)如圖所示時(shí)，AMMC1最小此時(shí)AM，MC12，又AC1， SAMC1.13. 定義：若函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過變換T后所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)與f(x)的值域相同，則稱變換T是f(x)的同值變換下面給出了四個(gè)函數(shù)與對(duì)應(yīng)的變換： f(x)(x1)2，T：將函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱； f(x)2x11，T：將函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱； f(x)，T：將函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于

6、點(diǎn)(1,1)對(duì)稱； f(x)sin，T：將函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱其中T是f(x)的同值變換的有_(寫出所有符合題意的序號(hào))13. 解析：分別作出圖象：對(duì)于，原函數(shù)值域?yàn)?,1，關(guān)于(1,0)對(duì)稱后由圖知值域仍為1,1故符合題意綜上所述同值變換有.14. 已知函數(shù)f(x)(aR)，若對(duì)于任意的xN*，f(x)3恒成立，則a的取值范圍是_解析：f(x)3恒成立ax3對(duì)xN*恒成立由雙鉤函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng)x3時(shí)，x有最小值3， a33. a.二、 解答題：本大題共6小題，共90分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15. (本題滿分14分)已知向量a(4,5cos)，b(3，4ta

7、n)(1) 若ab，試求sin的值；(2) 若ab，且，求cos的值解：(1) 因?yàn)閍b，所以.(2分)所以15cos216sin0，即15sin216sin150.(4分)解得sin或sin(舍去)所以sin.(6分)(2) 因?yàn)閍b，所以a·b0，即1220cos·tan0.所以1220sin0，即sin.(8分)因?yàn)?，所以cos.所以sin22sincos，cos212sin2.(11分)所以coscos2·cossin2·sin××.(14分)16. (本題滿分14分)如圖，四棱錐PABCD的底面為矩形，且ABBC，E、F分別

8、為棱AB、PC的中點(diǎn)(1) 求證：EF平面PAD；(2) 若點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)的正投影O在直線AC上，求證：平面PAC平面PDE.16. 證明：(1) (方法1)取線段PD的中點(diǎn)M，連結(jié)FM、AM.因?yàn)镕為PC的中點(diǎn)，所以FMCD，且FMCD.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，E為AB的中點(diǎn)，所以EACD，且EACD.所以FMEA，且FMEA.所以四邊形AEFM為平行四邊形所以EFAM.(5分)又AM平面PAD，EF平面PAD，所以EF平面PAD.(7分)(方法2)連結(jié)CE并延長(zhǎng)交DA的延長(zhǎng)線于N，連結(jié)PN.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以ADBC，所以BCEANE，CBENAE.又AEEB，所以CE

9、BNEA.所以CENE.又F為PC的中點(diǎn)，所以EFNP.(5分)又NP平面PAD，EF平面PAD，所以EF平面PAD.(7分)(方法3)取CD的中點(diǎn)Q，連結(jié)FQ、EQ.在矩形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，所以AEDQ，且AEDQ.所以四邊形AEQD為平行四邊形，所以EQAD.又AD平面PAD，EQ平面PAD，所以EQ平面PAD.(2分)因?yàn)镼、F分別為CD、CP的中點(diǎn)，所以FQPD.又PD平面PAD，F(xiàn)Q平面PAD，所以FQ平面PAD.又FQ、EQ平面EQF，F(xiàn)QEQQ，所以平面EQF平面PAD.(5分)因?yàn)镋F平面EQF，所以EF平面PAD.(7分)(2) 設(shè)AC、DE相交于G.在矩形ABCD

10、中，因?yàn)锳BBC，E為AB的中點(diǎn)，所以.又DAECDA，所以DAECDA，所以ADEDCA.又ADECDEADC90°，所以DCACDE90°.由DGC的內(nèi)角和為180°，得DGC90°.即DEAC.因?yàn)辄c(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)的正投影O在直線AC上，所以PO平面ABCD.(9分)因?yàn)镈E平面ABCD，所以PODE.因?yàn)镻OACO，PO、AC平面PAC，所以DE平面PAC，(12分)又DE平面PDE，所以平面PAC平面PDE.(14分)17. (本題滿分14分)如圖，橢圓C：1的右頂點(diǎn)是A，上、下兩個(gè)頂點(diǎn)分別為B、D，四邊形OAMB是矩形(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，點(diǎn)

11、E、P分別是線段OA、AM的中點(diǎn)(1) 求證：直線DE與直線BP的交點(diǎn)在橢圓C上；(2) 過點(diǎn)B的直線l1、l2與橢圓C分別交于點(diǎn)R、S(不同于B)，且它們的斜率k1、k2滿足k1k2，求證：直線RS過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)證明：(1) 由題意，得A(4,0)，B(0,2)，D(0，2)，E(2,0)，P(4,1)所以直線DE的方程為yx2，直線BP的方程為yx2.(2分)解方程組得所以直線DE與直線BP的交點(diǎn)坐標(biāo)為.(4分)因?yàn)?，所以點(diǎn)在橢圓1上即直線DE與直線BP的交點(diǎn)在橢圓C上(6分)(2) 直線BR的方程為yk1x2.解方程組得或所以點(diǎn)R的坐標(biāo)為.(9分)因?yàn)閗1k2，所以直線BS

12、的斜率k2.直線BS的方程為yx2.解方程組得或所以點(diǎn)S的坐標(biāo)為.(12分)(若寫成“同理可得點(diǎn)S的坐標(biāo)為”，不扣分)所以R、S關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，故R、O、S三點(diǎn)共線，即直線RS過定點(diǎn)O18. (本題滿分16分)如圖扇形AOB是一個(gè)觀光區(qū)的平面示意圖，其中AOB的圓心角為，半烴OA為1 km.為了便于游客觀光休閑，擬在觀光區(qū)內(nèi)鋪設(shè)一條從入口A到出口B的觀光道路，道路由弧AC、線段CD及線段BD組成，其中D在線段OB上，且CDAO.設(shè)AOC.(1) 用表示CD的長(zhǎng)度，并寫出的取值范圍；(2) 當(dāng)為何值時(shí)，觀光道路最長(zhǎng)？解：(1) 在OCD中，由正弦定理，得.(3分)又CDAO，CO1，AOC，

13、所以CDsincossin，ODsin.(6分)因?yàn)镺DOB，所以sin，所以0.所以CDcossin，的取值范圍為.(8分)(2) 設(shè)道路長(zhǎng)度為L(zhǎng)()，則L()BDCD弧CA的長(zhǎng)1sincossincossin1，.(11分)L()sincos1，由L()0，得sin.又(0，)，所以.(14分)L()0L()增函數(shù)極大值減函數(shù)列表所以當(dāng)時(shí)，L()達(dá)到最大值，即當(dāng)時(shí)，觀光道路最長(zhǎng)19. (本題滿分16分)已知函數(shù)f(x)x|x23|，x0，m，其中mR，且m0.(1) 若m1，求證：函數(shù)f(x)是增函數(shù)；(2) 如果函數(shù)f(x)的值域是0,2，試求m的取值范圍；(3) 如果函數(shù)f(x)的值域

14、是0，m2，試求實(shí)數(shù)的最小值(1) 證明：當(dāng)m1時(shí)，f(x)x(3x2)3xx3.因?yàn)閒(x)33x23(1x2)0.所以f(x)是增函數(shù)(3分)(2) 解：令g(x)x|x23|，x0.則g(x)當(dāng)0x時(shí)，由g(x)33x20得x1，所以g(x)在0,1上是增函數(shù)，在1，上是減函數(shù)當(dāng)x時(shí)，由g(x)3x230，所以g(x)在，上是增函數(shù)(5分)所以當(dāng)x0，時(shí)，函數(shù)g(x)的最大值是g(1)2，最小值是g(0)g()0.從而0m1均不符合題意，且1m均符合題意(7分)當(dāng)m時(shí)，在x0，)時(shí)，f(x)0,2；在x，m時(shí)，f(x)0，f(m)這時(shí)f(x)的值域是0,2的充要條件是f(m)2，即m33

15、m2，(m2)(m1)20，解得m2.綜上所述，m的取值范圍是1,2(10分)(3) 解：據(jù)(2)知，當(dāng)0m1時(shí)，函數(shù)f(x)的最大值是f(m)3mm3，由題意知，3mm3m2，即m，是減函數(shù)，故的取值范圍是(2，)；(12分)當(dāng)1m2時(shí)，函數(shù)f(x)的最大值是f(1)2，由題意知，2m2，即，是減函數(shù)，故的取值范圍是，2；(14分)當(dāng)m2時(shí)，函數(shù)f(x)的最大值是f(m)m33m，由題意知，m33mm2，即m，是增函數(shù)，故的取值范圍是.綜上所述，的最小值是，且此時(shí)m2.(16分)20. (本題滿分16分)(1) 已知公差不為0的等差數(shù)列an的首項(xiàng)a11，前n項(xiàng)和為Sn.若數(shù)列是等差數(shù)列 求a

16、n； 令bnqSn(q0)，若對(duì)一切nN*，都有b2bnbn2，求q的取值范圍；(2) 是否存在各項(xiàng)都是正整數(shù)的無窮數(shù)列cn，使c2cncn2對(duì)一切nN*都成立？若存在，請(qǐng)寫出數(shù)列cn的一個(gè)通項(xiàng)公式；若不存在，說明理由.解：(1) (方法1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則1，1，1.因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以2×，即21，解得d0或d1.(4分)因?yàn)閐0，所以d1.此時(shí)，即是等差數(shù)列所以ann，Sn.(6分)(方法2)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則ana1(n1)ddn(1d)，Snna1dn2n.因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以可設(shè)(n1)ppn(1p)，所以pn(1p)，即n2ndn(1d)pn(1p

17、)對(duì)任意的nN*恒成立故n2ndpn2d(1p)p(1d)n(1p)(1d)恒成立所以(4分)因?yàn)閐0，所以d1，p.所以ann，Sn.(6分) 由得，bnq，所以，因?yàn)閎2bnbn2，所以2，所以0q.(9分)(2) 假設(shè)存在各項(xiàng)都是正整數(shù)的無窮數(shù)列cn，使c2cncn2對(duì)一切nN*都成立，則2，所以2222n1，所以×.(11分)若1，則×1，所以當(dāng)nN*時(shí)，1，即cn1cn.因?yàn)閏nN*，所以cn1cn1.令c1M，所以cM2(cM2cM1)(cM1cM)(cMcM1)(c2c1)c1(M1)M10，與cM2N*矛盾(13分)若1，取N為log22的整數(shù)部分，則當(dāng)nN

18、時(shí)，×1，所以1，即cn1cn.因?yàn)閏nN*，所以cn1cn1.令cNM，所以cNM1(cNM1cNM)(cNMcNM1)(cNM1cNM2)(cN1cN)cN(M1)M10，與cNM1N*矛盾綜上，假設(shè)不成立即不存在各項(xiàng)都是正整數(shù)的無窮數(shù)列cn，使c2cncn2對(duì)一切nN*都成立(16分)南京市高三數(shù)學(xué)附加題試卷第頁(共2頁)南京市2011屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)附加題(滿分40分，考試時(shí)間30分鐘)21. 【選做題】 在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共20分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟A. 選修4­1：幾何證明選講如圖，已知梯形ABCD為圓

19、內(nèi)接四邊形，ADBC，過C作該圓的切線，交AD的延長(zhǎng)線于E，求證：ABCEDC.證明：因?yàn)镃E為圓的切線，所以DCEDAC.(3分)因?yàn)锳DBC，所以DACBCA.所以DCEBCA.(6分)因?yàn)樘菪蜛BCD為圓內(nèi)接四邊形，所以EDCABC.所以ABCEDC.(10分)B. 選修4­2：矩陣與變換已知為矩陣A屬于的一個(gè)特征向量，求實(shí)數(shù)a，的值及A2.解：由條件可知，(4分)所以解得a2.(7分)因此A，所以A2.(10分)C. 選修4­4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，曲線D的參數(shù)方程為(t為參數(shù))若曲線C、D有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值

20、范圍解：曲線C的普通方程為(xm)2y24.曲線D的普通方程為3x4y20.(4分)因?yàn)榍€C、D有公共點(diǎn)，所以2，|3m2|10.(8分)解得4m，即m的取值范圍是4，(10分)D. 選修4­5：不等式選講已知a、b都是正實(shí)數(shù)，且ab2.求證：(12a)(1b)9.證明：方法1：因?yàn)閍、b都是正實(shí)數(shù)，且ab2，所以2ab24.(5分)所以(12a)(1b)12ab2ab9.(10分)方法2：因?yàn)閍、b都是正實(shí)數(shù)，所以由柯西不等式可知(12a)(1b)12()212()2(1)2.(7分)又ab2，所以(1)29.所以(12a)(1b)9.(10分)方法3：因?yàn)閍b2，所以(12a)(1b)(12a)52.(5分)因?yàn)閍為正實(shí)數(shù)，所以a24.所以(12a)(1b)9.(10分)方法4：因?yàn)閍、b都是