變分法在最小旋轉(zhuǎn)面問題中的應(yīng)用論文

1、 變分法在最小旋轉(zhuǎn)面問題中的應(yīng)用摘要：在基本的變分法理論基礎(chǔ)上，給出固定約束條件下泛函極值問題解存在的必要性的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，并研究了最小旋轉(zhuǎn)面問題最優(yōu)控制的模型及求解方法。關(guān)鍵詞：泛函變分；固定約束；泛函極值及其存在條件An Application of Variation on the Problem of Minimum Rotating SurfaceAbstract: Based on the basic variation calculus theory，here the article presents the strictly mathematical pr

2、oof about necessity of the existence of functional extreme value in the condition of the fixed restriction and develops optimal mathematical model on the Problem of Minimum Rotating Surface and shows the method how to solve the problemKeywords: functional variation；fixed restriction；functional

3、extreme value and its existence conditions1. 引言隨著變分學(xué)的不斷發(fā)展，變分學(xué)中的最優(yōu)控制理論在工程實(shí)際中得到了廣泛的應(yīng)用。變分法自歐拉、拉格朗日提出之后，很好的解決了最速降線問題、短程線問題等一系列問題，這類問題也是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中經(jīng)常遇到的問題。這類問題最終?？蓺w結(jié)為泛函極值問題，通過求解泛函極值方法求得最優(yōu)解并應(yīng)用到工程中。最小旋轉(zhuǎn)面問題也是最優(yōu)控制問題中的一個(gè)典型問題，這個(gè)問題就是：在平面上連接已給定的兩點(diǎn)的光滑曲線中，求把它繞x軸旋轉(zhuǎn)所得曲面面積為最小的一條曲線。本文對(duì)最小旋轉(zhuǎn)面問題建立數(shù)學(xué)模型，并用變分法求解此問題的最優(yōu)解以及最優(yōu)解的存在條

4、件。2. 建立“最小旋轉(zhuǎn)面問題”泛函極值模型最小旋轉(zhuǎn)面問題：設(shè)點(diǎn)和點(diǎn)是平面中兩個(gè)點(diǎn)，在此我們假設(shè)，在以點(diǎn)和點(diǎn)為端點(diǎn)的所有光滑曲線中，求一條曲線使此曲線繞旋轉(zhuǎn)時(shí)所得旋轉(zhuǎn)面的面積最?。ㄈ鐖D2.1所示）。 圖2.1 用函數(shù) 表示任意一條可取的曲線， 此曲線滿足條件： 于是繞旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)面的面積為： 函數(shù)是一個(gè)定義在上泛函，它的值依賴于兩點(diǎn)之間曲線的選取，即依賴于函數(shù)的選取。求極小曲面面積的問題就轉(zhuǎn)化為求滿足固定邊界條件的泛函取得極小值的極值軌線。3. 采用變分法分析“最小旋轉(zhuǎn)面問題”3.1、求泛函的變分從任意一條容許軌線著手，確定定義在泛函的變分。泛函的增量為： ， 將在處進(jìn)行Taylor展開，可得

5、，其中是高階無窮小。從而：由變分定義可得泛函的變分是：（*） （因?yàn)榫潭?，得出，所以上面?）式積分過程中中間一項(xiàng)為零）3.2泛函存在極值的必要條件定理3.1 設(shè)是定義在上的泛函。如果在處存在一階變分，并且在處取得極值，則泛函在處的變分等于0，即 。 證明.：對(duì)任意給定的，是的函數(shù)。記，由假定知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極值，則。由定理1.1知 。定理3.1稱為變分法的基本定理。由變分基本定理（定理3.1）可知，要泛函在軌跡處取得極值，此泛函在處的變分應(yīng)該等于零，即：所以所以：可以得出：軌跡滿足固定邊界條件并且能夠使泛函 取得極值的必要條件是：和。3.2泛函存在極小值的充分條件定理3.2 設(shè)是具有一階

6、連續(xù)導(dǎo)數(shù)的n維向量函數(shù)，是標(biāo)量函數(shù)，且相對(duì)于其所有的自變量都具有連續(xù)的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)。泛函在處取得極小值的充分條件為，。根據(jù)定理3.2，軌跡滿足固定邊界條件并且能夠使泛函 取得極小值的充分條件是：， 顯然上一個(gè)矩陣不是正定矩陣，所以充分條件不滿足。但是在這個(gè)最小旋轉(zhuǎn)面問題中不會(huì)存在極大值，因?yàn)檫@條曲線可以延伸到無限遠(yuǎn)處，面積也就會(huì)是無窮大。沒有極大值，則實(shí)際問題中必然存在極小值。4. 求解“最小旋轉(zhuǎn)面問題”對(duì)由定理求解得到的條件進(jìn)行變化，將其變化為：將公式兩邊同時(shí)乘以，得出：兩邊同時(shí)對(duì)積分一次得出即：令，上式變?yōu)椋?（*）因?yàn)?，積分一次得：將其帶入到（*），便得到了最優(yōu)軌跡方程：將兩個(gè)固定端

7、點(diǎn)帶入最優(yōu)軌跡方程，待定系數(shù)法確定的值，從而確定滿足固定條件的最優(yōu)軌跡。5. 結(jié)論通過對(duì)變分法基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)，以及對(duì)最小旋轉(zhuǎn)面問題的研究，可以得知變分法是求解泛函極值問題一種非常有效的方法。通過一些簡(jiǎn)單的方法忽略復(fù)雜問題中的高階項(xiàng)，將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化、線性化，使計(jì)算過程更加簡(jiǎn)便易行，最終得到了最優(yōu)化的解決問題的方法，真正的實(shí)現(xiàn)工程問題的最優(yōu)控制。參考文獻(xiàn)1 歐斐君, 梁建華. 變分法及其應(yīng)用M. 第1版，西安: 陜西科學(xué)技術(shù)出版社, 1987. 2 老大中. 變分法基礎(chǔ)M. 第1版，北京: 國(guó)防工業(yè)出版社, 2004. 3 彭旭麟, 羅汝梅. 變分法及其應(yīng)用M. 第1版，湖南: 華中工學(xué)院出版社