應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析習(xí)題解答主成分分析

1、主成分分析6.1 試述主成分分析的基本思想。答：我們處理的問題多是多指標(biāo)變量問題，由于多個變量之間往往存在著一定程度的相關(guān)性，人們希望能通過線性組合的方式從這些指標(biāo)中盡可能快的提取信息。當(dāng)?shù)谝粋€組合不能提取止。這就是主成分分析的基本思想。6.2 主成分分析的作用體現(xiàn)在何處？答：一般說來，在主成分分析適用的場合，用較少的主成分就可以得到較多的信息量。以各個主成分為分量，就得到一個更低維的隨機(jī)向量；主成分分析的作用就是在降低數(shù)據(jù)“維數(shù)”6.3 簡述主成分分析中累積貢獻(xiàn)率的具體含義。答：主成分分析把個原始變量的總方差分解成了個相互獨(dú)立的變量個主成分的，忽略一些帶有較小方差的主成分將不會給總方差帶來太

2、大的影響。這里我們個主成分，則稱 為主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率，累計(jì)貢獻(xiàn)率表明綜合的能力。通常取，使得累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)到一個較高的百分?jǐn)?shù)（如85以上）。答：這個說法是正確的。即原變量方差之和等于新的變量的方差之和6.5 試述根據(jù)協(xié)差陣進(jìn)行主成分分析和根據(jù)相關(guān)陣進(jìn)行主成分分析的區(qū)別。答：從相關(guān)陣求得的主成分與協(xié)差陣求得的主成分一般情況是不相同的。從協(xié)方差矩陣出發(fā)的，其結(jié)果受變量單位的影響。主成分傾向于多歸納方差大的變量的信息，對于方差小的變量就可能體現(xiàn)得不夠，也存在“大數(shù)吃小數(shù)”的問題。實(shí)際表明，這種差異有時很大。我6.6 已知X=()的協(xié)差陣為 試進(jìn)行主成分分析。解：=0計(jì)算得當(dāng)時， 同理，計(jì)算得 時，易

3、知相互正交單位化向量得， ,綜上所述，第一主成分為 第二主成分為 第三主成分為 6.7 設(shè)X=()的協(xié)方差陣(p為 , 0<p<1證明：為最大特征根，其對應(yīng)的主成分為 。證明：= , 為最大特征根當(dāng)時，= 所以，6.8利用主成分分析法，綜合評價六個工業(yè)行業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益指標(biāo)。單位：（億元）行業(yè)名稱資產(chǎn)總計(jì)固定資產(chǎn)凈值平均余額產(chǎn)品銷售收入利潤總額煤炭開采和選業(yè)6917.23032.7683.361.6石油和天然氣開采業(yè)5675.93926.2717.533877黑色金屬礦采選業(yè)768.1221.296.513.8有色金屬礦采選業(yè)622.4248116.421.6非金屬礦采選業(yè)699.92

4、91.584.96.2其它采礦業(yè)1.60.50.30解:令資產(chǎn)總計(jì)為X1，固定資產(chǎn)凈值平均余額為X2，產(chǎn)品銷售收入為X3，利潤總額為X4，用SPSS對這六個行業(yè)進(jìn)行主成分分析的方法如下：1. 在SPSS窗口中選擇AnalyzeData ReductionFactor菜單項(xiàng)，調(diào)出因子分析主界面，并將變量移入Variables框中，其他均保持系統(tǒng)默認(rèn)選項(xiàng)，單擊OK按鈕，執(zhí)行因子分析過程（關(guān)于因子分子在SPSS中實(shí)現(xiàn)的詳細(xì)過程，參見7.7）。得到如表6.1所示的特征根和方差貢獻(xiàn)率表和表6.2所示的因子載荷陣。第一個因子就可以解釋86.5%表6.1 特征根和方差貢獻(xiàn)率表表6.2 因子載荷陣2. 將表6

5、.2中因子載荷陣中的數(shù)據(jù)輸入SPSS數(shù)據(jù)編輯窗口，命名為a1。點(diǎn)擊菜單項(xiàng)中的TransformCompute，調(diào)出Compute variable對話框，在對話框中輸入等式：z1=a1 / SQRT(3.46)，計(jì)算第一個特征向量。點(diǎn)擊OK按鈕，即可在數(shù)據(jù)編輯窗口中得到以z1為變量名的第一特征向量。 表6.3 特征向量矩陣z1x10.509 x20.537 x30.530 x40.413 根據(jù)表6.3得主成分的表達(dá)式：3. 再次使用Compute命令，調(diào)出Compute variable對話框，在對話框中輸入等式： 根據(jù)六個工業(yè)行業(yè)計(jì)算所的y1的大小可得石油和天然氣開采業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益最好，煤炭開

6、采和選業(yè)其次，接著依次是黑色金屬、非金屬、有色金屬和其他采礦業(yè)。6.9 下表是我國2003年各地區(qū)農(nóng)村居民家庭平均每人主要食品消費(fèi)量，試用主成分方法對各主要食品和地區(qū)進(jìn)行分類。地區(qū)糧食蔬菜食油豬牛羊肉家禽蛋類及其制品水產(chǎn)品食糠酒北京134.0592.789.1514.62.1710.134.252.9214.42天津150.269.991011.070.8410.88.350.7210.14河北216.7255.976.597.10.546.362.250.657.29山西218.9180.875.725.360.246.150.471.152.59內(nèi)蒙207.370.772.7921.181

7、.413.821.451.3410.77遼寧194.39178.595.916.452.519.594.490.7310.8吉林255.99115.26.2711.423.238.643.60.7513.64黑龍江195.08111.77.627.852.616.263.350.915.09上海189.4476.68.5916.377.47.5116.112.1216.77江蘇251.98109.128.2712.054.56.729.091.38.82浙江208.4683.915.8116.426.035.3314.642.1324.15安徽228.3580.976.879.074.275.

8、045.431.4210.61福建198.2799.925.1916.515.143.5513.32.3516.84江西264.8144.228.7713.243.313.55.191.137.31山東229.06118.196.968.092.711.614.01110.81河南236.97100.114.226.481.238.011.351.134.23湖南227.39159.769.419.862.743.868.10.927.29湖北247.21149.448.3517.513.893.286.891.134.02廣東233.75130.226.7322.2710.42.8313.3

9、2.163.33廣西205.65108.944.9214.447.331.123.571.186.14海南236.3186.615.715.49.771.3114.751.243.88解:令糧食為X1，蔬菜為x2，食油為x3，豬牛羊肉為x4，家禽為x5，蛋類及其制品為x6，水產(chǎn)品為x7，食糠為x8，酒為x9，用SPSS進(jìn)行主成分分析的具體方法參見6.8，分析結(jié)果如下：表6.4 特征根和方差貢獻(xiàn)率表表6.5 因子載荷陣表6.6 特征向量矩陣z1z2z3x10.001169-0.55035-0.00518x20.054359-0.320140.616746x30.0052610.1852390.6

10、97829x40.455914-0.075840.167341x50.509689-0.14229-0.05521x6-0.329080.4080630.269126x70.5009210.1187950.112136x80.3881120.332893-0.13025x90.1408660.4933-0.01984根據(jù)表6.6得主成分的表達(dá)式：分別計(jì)算出以上三項(xiàng)后，利用公式得到綜合得分并排序如下表：地區(qū)y1y2y3y北京14.92 -90.42 67.81 -10.16 天津11.80 -93.48 54.76 -15.31 上海24.39 -115.46 57.85 -16.51 福建24

11、.55 -129.93 68.56 -19.17 浙江25.14 -126.00 59.51 -19.43 遼寧19.55 -154.56 118.72 -19.47 黑龍江13.27 -131.90 76.07 -23.38 湖南23.53 -169.91 108.84 -24.97 廣東29.80 -167.06 88.93 -25.29 廣西19.18 -144.89 72.06 -25.99 內(nèi)蒙15.93 -130.47 48.84 -27.33 海南24.93 -154.57 60.04 -29.19 山東11.81 -152.64 81.06 -30.09 湖北21.71 -17

12、9.61 100.93 -30.74 安徽14.06 -143.12 56.46 -30.92 江蘇18.07 -164.93 76.08 -32.51 河北7.10 -129.83 40.94 -32.73 山西6.20 -141.44 55.18 -34.15 吉林14.54 -166.90 78.26 -34.32 江西18.74 -185.62 97.04 -34.94 河南8.32 -156.36 66.62 -35.93 最后的分類可以根據(jù)最終得分Y的值來劃分，由于沒有給出具體的分類標(biāo)準(zhǔn)，具體分類結(jié)果根據(jù)各人的主觀意愿可以有多種答案。6.10 根據(jù)習(xí)題5.10中2003年我國省會城

13、市和計(jì)劃單列市的主要經(jīng)濟(jì)指標(biāo)數(shù)據(jù)，利用主成分分析法對這些地區(qū)進(jìn)行分類。解：用SPSS進(jìn)行主成分分析的具體方法參見6.8，分析結(jié)果如下：表6.7 特征根和方差貢獻(xiàn)率表表6.8 因子載荷陣表6.6 特征向量矩陣z1z2x10.29 0.47 x20.28 0.48 x30.14 -0.29 x40.31 -0.37 x50.40 -0.20 x60.40 -0.27 x70.31 0.39 x80.39 0.12 x90.39 -0.24 青島35237.27 14552.46 28597.44 大連31830.56 17629.53 27272.03 濟(jì)南25149.73 16499.39 22372.97 福州22734.16 16326.97 20677.45 烏魯木齊22284.54 15284.68 20037.59 沈陽23184.99 12310.22 19694.19 武漢23909.27 9770.56 19370.75 長春21524.95 14179.21 19166.96 成都33808.79 -17638.73 17294.14 太原19445.42 9809.99 16352.45 鄭州18561.81 9