專題五萬有引力定律人造地球衛(wèi)星

1、專題五 萬有引力定律 人造地球衛(wèi)星一、萬有引力定律及其應(yīng)用1、 內(nèi)容：宇宙間的一切物體都是相互吸引的，兩個(gè)物體間的引力大小跟它們的質(zhì)量成積成正比，跟它們的距離平方成反比，引力方向沿兩個(gè)物體的連線方向。（1687年）叫做引力常量，它在數(shù)值上等于兩個(gè)質(zhì)量都是1kg的物體相距1m時(shí)的相互作用力，1798年由英國(guó)物理學(xué)家卡文迪許利用扭秤裝置測(cè)出。2、定律的適用條件：嚴(yán)格地說公式只適用于質(zhì)點(diǎn)間的相互作用，當(dāng)兩個(gè)物體間的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于物體本身的大小時(shí)，公式也可近似使用，但此時(shí)r應(yīng)為兩物體重心間的距離對(duì)于均勻的球體，r是兩球心間的距離當(dāng)兩個(gè)物體間的距離無限靠近時(shí)，不能再視為質(zhì)點(diǎn)，萬有引力定律不再適用，不能依公

2、式算出F近為無窮大。3、地球自轉(zhuǎn)對(duì)地表物體重力的影響。重力是萬有引力產(chǎn)生的，由于地球的自轉(zhuǎn)，因而地球表面的物體隨地球自轉(zhuǎn)時(shí)需要向心力重力實(shí)際上是萬有引力的一個(gè)分力另一個(gè)分力就是物體隨地球自轉(zhuǎn)時(shí)需要的向心力，如圖所示 甲重力大?。簝蓚€(gè)極點(diǎn)處最大，等于萬有引力；赤道上最小，其他地方介于兩者之間，但差別很小。重力方向：在赤道上和兩極點(diǎn)的時(shí)候指向地心，其地方都不指向地心，但與萬有引力的夾角很小。二、開普勒行星運(yùn)動(dòng)三定律簡(jiǎn)介（軌道、面積、比值）丹麥開文學(xué)家開普勒信奉日心說，對(duì)天文學(xué)家有極大的興趣，并有出眾的數(shù)學(xué)才華，開普勒在其導(dǎo)師弟谷連續(xù)20年對(duì)行星的位置進(jìn)行觀測(cè)所記錄的數(shù)據(jù)研究的基楚上，通過四年多的刻

3、苦計(jì)算，最終發(fā)現(xiàn)了三個(gè)定律。第一定律：所有行星都在橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)，太陽(yáng)則處在這些橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上；第二定律：行星沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的過程中，與太陽(yáng)的連線在單位時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等；第三定律：所有行星的軌道的半長(zhǎng)軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等即3、天體運(yùn)動(dòng)1、解決天體圓周運(yùn)動(dòng)的兩條基本思路（1）地面附近的萬有引力近似等于物體的重力：G= mg GM=gR2 (黃金代換式 （2）天體運(yùn)動(dòng)都可以看成近視的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其向心力由萬有引力提供2、天體表面重力加速度問題通常的計(jì)算中因重力和萬有引力相差不大，而認(rèn)為兩者相等，即m2gG， g=GM/R2常用來計(jì)算星球表面重力加速度的大小，在地球的

4、同一緯度處，g隨物體離地面高度的增大而減小，即gh=GM/（R+h）2，比較得gh=（）2·g設(shè)天體表面重力加速度為g，天體半徑為R，由mg=得g=，由此推得兩個(gè)不同天體表面重力加速度的關(guān)系為3、計(jì)算中心天體的質(zhì)量某星體m圍繞中心天體m中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，則：由得：例如：利用月球可以計(jì)算地球的質(zhì)量，利用地球可以計(jì)算太陽(yáng)的質(zhì)量。可以注意到：環(huán)繞星體本身的質(zhì)量在此是無法計(jì)算的。4、計(jì)算中心天體的密度=由上式可知，只要用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)出衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r及運(yùn)行周期T，就可以算出天體的質(zhì)量M若知道行星的半徑則可得行星的密度5、表征衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的物理量：線速度、角速度、

5、周期等：（1）向心加速度與r的平方成反比。=當(dāng)r取其最小值時(shí)，取得最大值。a向max=g=9.8m/s2（2）線速度v與r的平方根成反比v=當(dāng)r，v當(dāng)r取其最小值地球半徑R時(shí)，v取得最大值。 vmax=7.9km/s（3）角速度與r的三分之三次方成百比=當(dāng)r，當(dāng)r取其最小值地球半徑R時(shí)，取得最大值。max=1.23×103rad/s（4）周期T與r的二分之三次方成正比。T=2當(dāng)r，T當(dāng)r取其最小值地球半徑R時(shí)，T取得最小值。 Tmin=2=284 min(5衛(wèi)星的能量：(類似原子模型r增v減小(EK減小 p 增加 ，所以 增加 ; 需克服引力做功越多，地面上需要的發(fā)射速度越大 6、宇

6、宙速度及其意義三個(gè)宇宙速度的值分別為第一宇宙速度（又叫最小發(fā)射速度、最大環(huán)繞速度、近地環(huán)繞速度）：物體圍繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需要的最小發(fā)射速度，又稱環(huán)繞速度，其值為： 第一宇宙速度的計(jì)算方法一：地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力就是衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力G=m，v=。當(dāng)h，v，所以在地球表面附近衛(wèi)星的速度是它運(yùn)行的最大速度。其大小為rh（地面附近）時(shí)，=79×103m/s方法二：在地面附近物體的重力近似地等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力，重力就是衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力當(dāng)rh時(shí)ghg所以v1=79×103m/s第二宇宙速度（脫離速度）：如果衛(wèi)生的速大于而小于 ，衛(wèi)星將做橢圓運(yùn)動(dòng)。當(dāng)衛(wèi)星的速度等于

7、或大于的時(shí)候，物體就可以掙脫地球引力的束縛，成為繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的人造行星，或飛到其它行星上去，把叫做第二宇宙速度，第二宇宙速度是掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度。第三宇宙速度：物體掙脫太陽(yáng)系而飛向太陽(yáng)系以外的宇宙空間所需要的最小發(fā)射速度，又稱 逃逸速度，其值為：7、同步衛(wèi)星（所有的通迅衛(wèi)星都為同步衛(wèi)星）同步衛(wèi)星?！巴健钡暮x就是和地球保持相對(duì)靜止（又叫靜止軌道衛(wèi)星），所以其周期等于地球自轉(zhuǎn)周期，既T=24h，特點(diǎn)地球同步衛(wèi)星的軌道平面，非同步人造地球衛(wèi)星其軌道平面可與地軸有任意夾角，而同步衛(wèi)星一定位于赤道的正上方，不可能在與赤道平行的其他平面上。這是因?yàn)椋翰皇浅嗟郎戏降哪骋卉壍郎细厍虻淖赞D(zhuǎn)同步

8、地作勻速圓運(yùn)動(dòng)，衛(wèi)星的向心力為地球?qū)λΦ囊粋€(gè)分力F1，而另一個(gè)分力F2的作用將使其運(yùn)行軌道靠赤道，故此，只有在赤道上空，同步衛(wèi)星才可能在穩(wěn)定的軌道上運(yùn)行。地球同步衛(wèi)星的周期：地球同步衛(wèi)星的運(yùn)轉(zhuǎn)周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同。同步衛(wèi)星必位于赤道上方h處，且h是一定的得故地球同步衛(wèi)星的線速度：環(huán)繞速度由得運(yùn)行方向一定自西向東運(yùn)行類型題： 雙星問題 宇宙中往往會(huì)有相距較近，質(zhì)量可以相比的兩顆星球，它們離其它星球都較遠(yuǎn)，因此其它星球?qū)λ鼈兊娜f有引力可以忽略不計(jì)。在這種情況下，它們將圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)做同周期的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。這種結(jié)構(gòu)叫做雙星。由于雙星和該固定點(diǎn)總保持三點(diǎn)共線，所以在相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角

9、度必相等，即雙星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度必相等，因此周期也必然相同。由于每顆星的向心力都是由雙星間相互作用的萬有引力提供的，因此大小必然相等，由F=m2r可得，于是有列式時(shí)須注意：萬有引力定律表達(dá)式中的r表示雙星間的距離，按題意應(yīng)該是L，而向心力表達(dá)式中的r表示它們各自做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，在本題中為r1、r2，千萬不可混淆【例題】在天文學(xué)中，把兩顆相距較近的恒星叫雙星，已知兩恒星的質(zhì)量分別為m和M，兩星之間的距離為L(zhǎng)，兩恒星分別圍繞共同的圓心作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，求恒星運(yùn)動(dòng)的半徑和周期。o解析：兩顆恒星在萬有引力作用下圍繞共同點(diǎn)O(物理學(xué)上把它叫做質(zhì)心作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，O點(diǎn)在兩顆恒星的連線上，設(shè)

10、兩顆星到O的距離分別為r、R，它們運(yùn)動(dòng)的周期為T，由萬有引力定律和牛頓第二定律對(duì)質(zhì)量為m的恒星有對(duì)質(zhì)量為M的恒星有r+R=L由以上三式解得 類型題： 衛(wèi)星的追及問題 【例題】A、B兩行星在同一平面內(nèi)繞同一恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行方向相同，A的軌道半徑為r1，B的軌道半徑為r2，已知恒星質(zhì)量為，恒星對(duì)行星的引力遠(yuǎn)大于得星間的引力，兩行星的軌道半徑r1r2。若在某一時(shí)刻兩行星相距最近，試求：（1）再經(jīng)過多少時(shí)間兩行星距離又最近？（2）再經(jīng)過多少時(shí)間兩行星距離最遠(yuǎn)？解析：（1）A、B兩行星如右圖所示位置時(shí)距離最近，這時(shí)A、B與恒星在同一條圓半徑上，A、B運(yùn)動(dòng)方向相同，A更靠近恒星，A的轉(zhuǎn)動(dòng)角度大、周

11、期短，如果經(jīng)過時(shí)間t，A、B與恒星連線半徑轉(zhuǎn)過的角度相差2的整數(shù)倍，則A、B與恒星又位于同一條圓半徑上，距離最近。解：（1）設(shè)A、B的角速度分別為1、2，經(jīng)過時(shí)間t，A轉(zhuǎn)過的角度為1t，B轉(zhuǎn)過的角度為2t。A、B距離最近的條件是：1t-2t=。恒星對(duì)行星的引力提供向心力，則：，由得得出：，求得：。（2）如果經(jīng)過時(shí)間，A、B轉(zhuǎn)過的角度相差的奇數(shù)倍時(shí)，則A、B相距最遠(yuǎn)，即。故。把1、2代入得：點(diǎn)評(píng)：太陽(yáng)系有九大行星，它們之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，如要知道哈雷彗星下次光顧地球是什么時(shí)間，就要分析兩運(yùn)動(dòng)間的角速度關(guān)系，本題關(guān)鍵是正確寫出兩行星相距離最近和相距最遠(yuǎn)的條件。類型題： 人造衛(wèi)星的一組問題 【例題】“神

12、舟三號(hào)”順利發(fā)射升空后，在離地面340km的圓軌道上運(yùn)行了108圈。運(yùn)行中需要多次進(jìn)行 “軌道維持”。所謂“軌道維持”就是通過控制飛船上發(fā)動(dòng)機(jī)的點(diǎn)火時(shí)間和推力的大小方向，使飛船能保持在預(yù)定軌道上穩(wěn)定運(yùn)行。如果不進(jìn)行軌道維持，由于飛船受軌道上稀薄空氣的摩擦阻力，軌道高度會(huì)逐漸降低，在這種情況下飛船的動(dòng)能、重力勢(shì)能和機(jī)械能變化情況將會(huì)是A動(dòng)能、重力勢(shì)能和機(jī)械能都逐漸減小B重力勢(shì)能逐漸減小，動(dòng)能逐漸增大，機(jī)械能不變C重力勢(shì)能逐漸增大，動(dòng)能逐漸減小，機(jī)械能不變D重力勢(shì)能逐漸減小，動(dòng)能逐漸增大，機(jī)械能逐漸減小解析：由于阻力很小，軌道高度的變化很慢，衛(wèi)星運(yùn)行的每一圈仍可認(rèn)為是勻速圓周運(yùn)動(dòng)。由于摩擦阻力做負(fù)

13、功，根據(jù)機(jī)械能定理，衛(wèi)星的機(jī)械能減?。挥捎谥亓ψ稣?，根據(jù)勢(shì)能定理，衛(wèi)星的重力勢(shì)能減??；由可知，衛(wèi)星動(dòng)能將增大。這也說明該過程中重力做的功大于克服阻力做的功，外力做的總功為正。答案選D【例題】 如圖所示，某次發(fā)射同步衛(wèi)星時(shí)，先進(jìn)入一個(gè)近地的圓軌道，然后在P點(diǎn)點(diǎn)火加速，進(jìn)入橢圓形轉(zhuǎn)移軌道（該橢圓軌道的近地點(diǎn)為近地圓軌道上的P，遠(yuǎn)地點(diǎn)為同步軌道上的Q），到達(dá)遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)再次自動(dòng)點(diǎn)火加速，進(jìn)入同步軌道。設(shè)衛(wèi)星在近地圓軌道上運(yùn)行的速率為v1，在P點(diǎn)短時(shí)間加速后的速率為v2，沿轉(zhuǎn)移軌道剛到達(dá)遠(yuǎn)地點(diǎn)Q時(shí)的速率為v3，在Q點(diǎn)短時(shí)間加速后進(jìn)入同步軌道后的速率為v4。試比較v1、v2、v3、v4的大小，并用小于號(hào)將

14、它們排列起來_。v1解析：根據(jù)題意在P、Q兩點(diǎn)點(diǎn)火加速過程中，衛(wèi)星速度將增大，所以有v2>v1、v4>v3，而v1、v4是繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星的線速度，由于它們對(duì)應(yīng)的軌道半徑r1< r4，所以v1>v4。把以上不等式連接起來，可得到結(jié)論：v2>v1>v4>v3。（衛(wèi)星沿橢圓軌道由PQ運(yùn)行時(shí)，由于只有重力做負(fù)功，衛(wèi)星機(jī)械能守恒，其重力勢(shì)能逐漸增大，動(dòng)能逐漸減小，因此有v2>v3。）【例題】發(fā)射地球同步衛(wèi)星時(shí)，先將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1，然后經(jīng)點(diǎn)火，使其沿橢圓軌道2運(yùn)行，最后再次點(diǎn)火，將衛(wèi)星送入同步圓軌道3。軌道1、2相切于Q點(diǎn)。軌道2、3

15、相切于P點(diǎn)（如圖），則當(dāng)衛(wèi)星分別在1，2，3，軌道上正常運(yùn)行時(shí)，以下說法正確的是（）PA衛(wèi)星在軌道3上的速率大于在軌道上的速率B衛(wèi)星在軌道3上的角速度小于在軌道上的角速度C衛(wèi)星在軌道1上經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的加速度大于它在軌道2上經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的加速度D衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的加速度等于它在軌道3上經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的加速度解析：從動(dòng)力學(xué)的角度思考，衛(wèi)星受到的引力使衛(wèi)星產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)的加速度（ ），所以衛(wèi)星在軌道上經(jīng)過點(diǎn)時(shí)的加速度等于它在軌道上經(jīng)過點(diǎn)時(shí)的加速度，衛(wèi)星在軌道上經(jīng)過點(diǎn)時(shí)的加速度等于它在軌道上經(jīng)過點(diǎn)時(shí)的加速度。必須注意，如果從運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度思考（ ），由于衛(wèi)星在不同的軌道上經(jīng)過相同點(diǎn)時(shí)，不但線速度、角速度不同，而且軌道半徑（曲率半徑）不同，所以不能做出判斷。案： B 、 D 【例題】 歐洲航天局用阿里亞娜火箭發(fā)射地球同步衛(wèi)星。該衛(wèi)星發(fā)射前在赤道附近（北緯5°左右）南美洲的法屬圭亞那的庫(kù)盧基地某個(gè)發(fā)射場(chǎng)上等待發(fā)射時(shí)為1狀態(tài)，發(fā)射到近地軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)為2狀態(tài)，最后通過轉(zhuǎn)移、調(diào)試，定點(diǎn)在地球同步軌道上時(shí)為3狀態(tài)。將下列物理量按從小到大的順序用不等號(hào)排列：這三個(gè)狀態(tài)下衛(wèi)星的線速度大小_；向心加速度大小_；周期大小_。解析：比較2、3狀態(tài)，都是繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，因?yàn)閞2<r3，所以v3<v2；比較1、3狀態(tài)，周期相同，即角速度相同，而r1<r3由v= r