高等動(dòng)力學(xué)第二章2.3

1、2.3 2.3 阿佩爾方程和凱恩方程阿佩爾方程和凱恩方程2.3 阿佩爾方程 阿佩爾方程是處理非完整系統(tǒng)的經(jīng)典方法之一，其阿佩爾方程是處理非完整系統(tǒng)的經(jīng)典方法之一，其理論基礎(chǔ)是以準(zhǔn)速度作為系統(tǒng)的獨(dú)立變量，代替?zhèn)鹘y(tǒng)使理論基礎(chǔ)是以準(zhǔn)速度作為系統(tǒng)的獨(dú)立變量，代替?zhèn)鹘y(tǒng)使用的廣義坐標(biāo)。用的廣義坐標(biāo)。準(zhǔn)速度和準(zhǔn)坐標(biāo)準(zhǔn)速度和準(zhǔn)坐標(biāo)阿佩爾方程阿佩爾方程剛體的加速度能量剛體的加速度能量1.準(zhǔn)速度和準(zhǔn)坐標(biāo) 設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由N N個(gè)質(zhì)點(diǎn)個(gè)質(zhì)點(diǎn)P Pi i（i=1,2i=1,2，N N）組成，且）組成，且存在存在r r個(gè)完整約束和個(gè)完整約束和s s個(gè)線性非完整約束。選擇個(gè)線性非完整約束。選擇l=3N-rl=3N-r

2、個(gè)廣義坐標(biāo)個(gè)廣義坐標(biāo)q qj j（j=1,2, j=1,2, ，l l）描述系統(tǒng)的位形。）描述系統(tǒng)的位形。）（），）所示：（的非完整約束方程如式限制廣義速度1 . 3 . 2, 2 , 1(013. 1 . 101skBqBqkjljkjj式中系數(shù)式中系數(shù)B Bkjkj，B Bk0k0的定義見(jiàn)式的定義見(jiàn)式P7P7（1.1.141.1.14）。）。 在普遍情況下，可構(gòu)造出在普遍情況下，可構(gòu)造出f f個(gè)相互獨(dú)立的廣義速度的個(gè)相互獨(dú)立的廣義速度的線性組合作為獨(dú)立變量，記作線性組合作為獨(dú)立變量，記作u uv v（v=1,2, v=1,2, ，f f）（，2 . 3 . 2)21(10ljvjvjvfv

3、fqfu式中系數(shù)式中系數(shù)f fvjvj，f fv0v0均為均為q qj j和和t t的函數(shù)。的函數(shù)。準(zhǔn)速度：準(zhǔn)速度：具有速度量綱的變量具有速度量綱的變量u uv v?？稍谛问缴蠈?xiě)作。可在形式上寫(xiě)作 此方程通常不可積。此方程通常不可積。) 3 . 3 . 2()21(fvuvv，變量變量v v（v=1,2v=1,2，f f）通常只具有坐標(biāo)形式而）通常只具有坐標(biāo)形式而無(wú)物理意義，稱(chēng)為無(wú)物理意義，稱(chēng)為準(zhǔn)坐標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)。 只有在準(zhǔn)速度等于廣義速度的特殊情形時(shí)，只有在準(zhǔn)速度等于廣義速度的特殊情形時(shí)，準(zhǔn)坐標(biāo)才等于廣義坐標(biāo)。準(zhǔn)坐標(biāo)才等于廣義坐標(biāo)。一般情況下，不可能用一般情況下，不可能用準(zhǔn)坐標(biāo)表示系統(tǒng)的位形。準(zhǔn)坐

4、標(biāo)表示系統(tǒng)的位形。 由于（由于（2.3.12.3.1）和（）和（2.3.22.3.2）各式均相互獨(dú)立，構(gòu)）各式均相互獨(dú)立，構(gòu)成成l l個(gè)線性無(wú)關(guān)的代數(shù)方程組。個(gè)線性無(wú)關(guān)的代數(shù)方程組。，得到從中解出jq ）（，4 . 3 . 2)21(10ljhuhqfvjvjvj注意注意將上式對(duì)將上式對(duì)t t再微分一次，得到再微分一次，得到）（），（無(wú)關(guān)項(xiàng)與5 . 3 . 221)(1ljuuhqfvvvjvj 式中參數(shù)式中參數(shù)h hjvjv應(yīng)滿(mǎn)足應(yīng)滿(mǎn)足）（，；，6 . 3 . 2)2121(fvljuquqhvjvjjv 2.阿佩爾方程 列出虛功率形式的動(dòng)力學(xué)普遍方程列出虛功率形式的動(dòng)力學(xué)普遍方程P15P1

5、5（1.2.61.2.6），），限制虛速度為無(wú)限小量，將變更符號(hào)改用變分限制虛速度為無(wú)限小量，將變更符號(hào)改用變分符號(hào)符號(hào)代替。得到代替。得到)7 . 3 . 2(0)(1iNiiiirrmF ）（，（，；，完全確定由廣義速度，各質(zhì)點(diǎn)的速度8 . 3 . 221)()21(2121NitqqqqqqrrqNirljiij)9 . 3 . 2()21(1Niqqrrjljjii，利用上式計(jì)算各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在同一時(shí)間同一位置的速度變利用上式計(jì)算各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在同一時(shí)間同一位置的速度變分，得到分，得到)10. 3 . 2(4 . 3 . 21fvvjvjvjuhquq表示為以準(zhǔn)速度變分）可將其中的利用式（）（，（

6、無(wú)關(guān)項(xiàng)與11. 3 . 221)(1Niqqqrrjjljjii 將式（將式（2.3.82.3.8）對(duì)）對(duì)t t再微分一次。得到再微分一次。得到利用上式及利用上式及P20P20（1.3.16a1.3.16a）導(dǎo)出）導(dǎo)出）（，；，12. 3 . 2)2121(ljNiqrqrqrjijiji 將式（將式（2.3.92.3.9），（），（2.3.102.3.10）和（）和（2.3.122.3.12）代入動(dòng)力）代入動(dòng)力學(xué)普遍方程（學(xué)普遍方程（2.3.72.3.7），適當(dāng)改變求和順序，得到），適當(dāng)改變求和順序，得到)13. 3 . 2(0 )()(11111vfvljNijvljjiiijvNijii

7、uhqrrmhqrF 上式第一項(xiàng)圓括號(hào)內(nèi)的求和式即式上式第一項(xiàng)圓括號(hào)內(nèi)的求和式即式P18P18（1.3.41.3.4）所）所定義的廣義力定義的廣義力Q Qj j（1,21,2，l l）。）。將式（將式（2.3.62.3.6）代入上式第二項(xiàng)圓括號(hào)，化作）代入上式第二項(xiàng)圓括號(hào)，化作)14. 3 . 2()2121(11fvNiuruqqrhqrvivjljjijvljji，；， 則式（則式（2.3.132.3.13）化作）化作)15. 3 . 2(0)(111vfvljNiviiijvjuurrmhQ 引入以下物理量：引入以下物理量：）（，16. 3 . 2)21(1ljjvjvfvhQQ)17.

8、 3 . 2(211iiiNirrmG 對(duì)應(yīng)的廣義力稱(chēng)為與準(zhǔn)速度，vvufvQ)21( G G稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)系的稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)系的加速度能量加速度能量或或吉布斯吉布斯函數(shù)，是系函數(shù)，是系統(tǒng)的另一類(lèi)動(dòng)力學(xué)函數(shù)。它與動(dòng)能的表達(dá)式形式上相統(tǒng)的另一類(lèi)動(dòng)力學(xué)函數(shù)。它與動(dòng)能的表達(dá)式形式上相似，但不具有能量的含意，只是用加速度代替了動(dòng)能似，但不具有能量的含意，只是用加速度代替了動(dòng)能中的速度。中的速度。)18. 3 . 2(0)(1vfvvvuuGQ可將利用上述物理量方程（可將利用上述物理量方程（2.3.152.3.15）寫(xiě)作）寫(xiě)作由于由于u uv v（v=1,2, v=1,2, ，l-sl-s）為獨(dú)立變分，方程）為獨(dú)立

9、變分，方程（2.3.182.3.18）成立的充分必要條件為各變分前的系數(shù)為）成立的充分必要條件為各變分前的系數(shù)為零，從而導(dǎo)出零，從而導(dǎo)出f f個(gè)獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)微分方程個(gè)獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)微分方程)19. 3 . 2()21(fvQuGvv，上式由阿佩爾于上式由阿佩爾于18991899年導(dǎo)出，稱(chēng)為年導(dǎo)出，稱(chēng)為阿佩爾方程阿佩爾方程。例例2.5 2.5 滑塊滑塊A A及懸掛在滑塊上的單擺及懸掛在滑塊上的單擺B B組成的系統(tǒng)，擺組成的系統(tǒng)，擺長(zhǎng)為長(zhǎng)為l l，滑塊和擺的質(zhì)量分別為，滑塊和擺的質(zhì)量分別為m mA A，m mB B，滑塊受彈簧，滑塊受彈簧約束且受粘性摩擦力作用，彈簧剛度系數(shù)為約束且受粘性摩擦力作用，彈簧

10、剛度系數(shù)為k,k,粘性粘性摩擦系數(shù)為摩擦系數(shù)為c c。試用阿佩爾方程建立滑塊。試用阿佩爾方程建立滑塊- -單擺系統(tǒng)單擺系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。的運(yùn)動(dòng)微分方程。能量為圖所示。系統(tǒng)的加速度的加速度如和擺，滑塊，取作準(zhǔn)速度，令的導(dǎo)數(shù)，解：將廣義坐標(biāo)BAuxux21)()()sincos(221)(21)sin()cos(212122222222ax llmxmmxlxlmxmGBBABA與加速度無(wú)關(guān)項(xiàng) 為計(jì)算廣義力，先列出全為計(jì)算廣義力，先列出全部作用力的虛功率，部作用力的虛功率，)(sin)(bglmxkxxcPB)(sin)(cglmQQkxxcQQBxx，將式（將式（a a）和（）和（c c）代入

11、阿佩爾方程（）代入阿佩爾方程（2.3.192.3.19），得到），得到與例與例1.101.10相同的運(yùn)動(dòng)微分方程。相同的運(yùn)動(dòng)微分方程。對(duì)于準(zhǔn)速度即廣義速度的特殊情形，準(zhǔn)速度對(duì)應(yīng)的對(duì)于準(zhǔn)速度即廣義速度的特殊情形，準(zhǔn)速度對(duì)應(yīng)的廣義力與廣義坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的廣義力完全相同。由上式廣義力與廣義坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的廣義力完全相同。由上式導(dǎo)出導(dǎo)出3.剛體的加速度能量iciiprrm 速度和由轉(zhuǎn)動(dòng)引起的相對(duì)加質(zhì)心加速度可分解為的質(zhì)點(diǎn)的加速度剛體內(nèi)質(zhì)量為)20. 3 . 2(iciprr 對(duì)于剛體作平面運(yùn)動(dòng)的特殊情形，剛體的角速度對(duì)于剛體作平面運(yùn)動(dòng)的特殊情形，剛體的角速度垂直此平面，質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)加速度可分解為切向和垂直此平面，質(zhì)

12、點(diǎn)的相對(duì)加速度可分解為切向和徑向分量。設(shè)徑向分量。設(shè)v vc c為剛體的質(zhì)心速度，則有為剛體的質(zhì)心速度，則有)22. 3 . 2(02ciiiiiiiiJmmmm，式中式中e et t，e er r為質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心為質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心O Oc c的切向和徑向基矢量。的切向和徑向基矢量。將式（將式（2.3.212.3.21）代入式（）代入式（2.3.202.3.20）和（）和（2.3.172.3.17），展），展開(kāi)后考慮開(kāi)后考慮e er r，e et t正交，設(shè)剛體質(zhì)量為正交，設(shè)剛體質(zhì)量為m m，相對(duì)質(zhì)心的，相對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J Jc c，令，令)21. 3 . 2(2ritiiccewew

13、pvr 因此作因此作平面運(yùn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng)剛體的剛體的加速度能量加速度能量等于等于質(zhì)心運(yùn)動(dòng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的加速度能量與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的加速度能量之和，與計(jì)算剛體動(dòng)能之和，與計(jì)算剛體動(dòng)能的柯尼希定理相似。的柯尼希定理相似。對(duì)于作對(duì)于作任意運(yùn)動(dòng)任意運(yùn)動(dòng)的剛體，其加速度能量的計(jì)算公的剛體，其加速度能量的計(jì)算公式將在第四章式將在第四章4.34.3中導(dǎo)出。中導(dǎo)出。)23. 3 . 2()()(2122與加速度無(wú)關(guān)項(xiàng)wJvmGcc導(dǎo)出加速度能量的計(jì)算公式導(dǎo)出加速度能量的計(jì)算公式出的約束方程解出給，從例，3 . 121uxuc)(tanaxycc 例例2.6 2.6 在傾角為在傾角為的冰面上運(yùn)動(dòng)的冰刀，簡(jiǎn)化為長(zhǎng)

14、度的冰面上運(yùn)動(dòng)的冰刀，簡(jiǎn)化為長(zhǎng)度為為l l的均質(zhì)桿的均質(zhì)桿ABAB，其質(zhì)心，其質(zhì)心0c0c的速度方向保持與刀刃的速度方向保持與刀刃ABAB一一致。試?yán)冒⑴鍫柗匠探⒈兜倪\(yùn)動(dòng)微分方程。致。試?yán)冒⑴鍫柗匠探⒈兜倪\(yùn)動(dòng)微分方程。解：將廣義坐標(biāo)中的解：將廣義坐標(biāo)中的x xc c，?的的導(dǎo)數(shù)取作準(zhǔn)速度，令導(dǎo)數(shù)取作準(zhǔn)速度，令）（，bQmgQQ0sin-0321與廣義坐標(biāo)與廣義坐標(biāo)x xc c，y yc c，?對(duì)應(yīng)的廣義力依次為對(duì)應(yīng)的廣義力依次為代入式（代入式（2.3.162.3.16），令），令h h1111=1=1，h h1212=tan=tan?，h h3232=1=1，其余，其余h hjvjv為零，為零，導(dǎo)出導(dǎo)出) c (0tansin21QmgQ，)(sectan2dxxyccc 將約束方程（將約束方程（a a）對(duì)）對(duì)t t微分一次，化作微分一次，化作利用式（利用式（2.3.232.3.23）計(jì)算冰刀的加速度能量）計(jì)算冰刀的加速度能量