數(shù)學(xué)模型與實(shí)驗(yàn)報告習(xí)題

1、數(shù)學(xué)模型與實(shí)驗(yàn)報告 姓名：王珂 班級：121111 學(xué)號：20111002442 指導(dǎo)老師：沈遠(yuǎn)彤?dāng)?shù)學(xué)模型與實(shí)驗(yàn)一、數(shù)學(xué)規(guī)劃模型 某企業(yè)將鋁加工成A,B兩種鋁型材，每5噸鋁原料就能在甲設(shè)備上用12小時加工成3噸A型材，每噸A獲利2400元，或者在乙設(shè)備上用8小時加工成4噸B型材，每噸B獲利1600元?，F(xiàn)在加工廠每天最多能得到250噸鋁原料，每天工人的總工作時間不能超過為480小時，并且甲種設(shè)備每天至多能加工100噸A，乙設(shè)備的加工能力沒有限制。 （1）請為該企業(yè)制定一個生產(chǎn)計劃，使每天獲利最大。 （2）若用1000元可買到1噸鋁原料，是否應(yīng)該做這項(xiàng)投資？若投資，每天最多購買多少噸鋁原料？ （3

2、）如果可以聘用臨時工人以增加勞動時間，付給工人的工資最多是每小時幾元？ （4）如果每噸A型材的獲利增加到3000元，應(yīng)否改變生產(chǎn)計劃？ 題目分析：每5噸原料可以有如下兩種選擇：1、 在甲機(jī)器上用12小時加工成3噸A每噸盈利2400元2、 在乙機(jī)器上用8小時加工成4噸B每噸盈利1600元限制條件：原料最多不可超過250噸，產(chǎn)品A不可超過100噸。工作時間不可超過480小時線性規(guī)劃模型：設(shè)在甲設(shè)備上加工的材料為x1噸，在乙設(shè)備上加工的原材料為x2噸，獲利為z，由題意易得約束條件有：Max z = 7200x1/5 +6400x2/5x1 + x2 25012x1/5 + 8x2/5 48003x1

3、/5 100, x2 0用LINGO求解得：VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 100.000 0.000000 X2 150.000 0.000000ROW SLACK OR SURPLUS DUAI PRICE 1 336000.0 1.000000 2 0.000000 960.0000 3 0.000000 40.00000 4 40.00000 0.000000做敏感性分析為：VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COFF INCREASE DECREASE X1 1440.00 480.000 160.000 X2 12

4、80.00 160.000 320.000 ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE2 250.000 50.0000 33.33343 480.000 53.3332 80.0000 4 100.000 INFINITY 40.00001、 可見最優(yōu)解為x1=100，x2=150，MAXz=336000。因此最優(yōu)解為在甲設(shè)備上用100噸原料生產(chǎn)A產(chǎn)品，在乙設(shè)備上用150噸原料生產(chǎn)B產(chǎn)品。最大盈利為336000.2、 由運(yùn)算結(jié)果看約束條件1（原料）的影子價格是960，即每增加1噸原料可收入960，小于1000元，因此不購入。3、

5、 同理可得，每小時的影子價格是40元，因此聘用員工的工資不可超過每小時40元。4、由敏感性分析可得，在最優(yōu)解不變的前提下，x1予許的變化范圍上限是1920，下限是1280。若每噸A獲利增加到3000，價值系數(shù)變?yōu)?800，在允許范圍內(nèi)，所以保持原計劃不變。二、微分方程模型 在魚塘中投放n0尾魚苗，隨著時間的增長，尾數(shù)將減少而每尾的重量將增加。設(shè)尾數(shù)n(t)的(相對)減少率為常數(shù); 由于喂養(yǎng)引起的每尾魚重量的增加率與魚的表面積成正比，由于消耗引起的每尾魚重量的減少率與重量本省成正比。分別建立尾數(shù)和每尾魚重的微分方程，并求解。用控制網(wǎng)眼的辦法不捕小魚，到時刻T才開始捕撈，捕撈能力用尾數(shù)的相對減少量

6、表示，記作E，即單位時間捕獲量是En(t)。問如何選擇T和E，使從T開始的捕獲量最大?；炯僭O(shè)：1.魚塘里的魚無繁殖，且不會自然死亡。2.魚苗尾數(shù)相對減少率為常數(shù)。3.由于喂養(yǎng)引起的每尾魚重量的增加率與其表面積成正比；由于消耗引起的每尾魚重量的減少率與本身重量成正比。4.將魚簡化為橢球體，且其密度分布均勻，初始狀態(tài)相同。符號表示符號符號說明魚塘內(nèi)初始時刻的魚尾數(shù)魚塘內(nèi)每條魚初始時刻的重量魚塘內(nèi)t時刻的魚尾數(shù)魚塘內(nèi)每尾魚t時刻的重量尾數(shù)的相對減少率重量增加率與表面積的比例重量減少率與重量本身的比例初始時刻每尾魚的表面積t時刻每尾魚的表面積捕撈能力單位時間捕獲量捕獲量最大的時刻漁網(wǎng)網(wǎng)眼面積橢球體的

7、長半軸長橢球體的寬半軸長橢球體的高半軸長魚的體密度標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)魚群表面積的均值魚群表面積分布的方差橢球體的體積模型的建立：由基本假設(shè)：魚苗尾數(shù)相對減少率為常數(shù)，則可得以下微分方程： 由基本假設(shè)：由于喂養(yǎng)引起的每尾魚重量的增加率與其表面積成正比；由于消耗引起的每尾魚重量的減少率與重量本身成正比?？傻靡韵挛⒎址匠蹋?又因?yàn)橐ㄟ^設(shè)定漁網(wǎng)網(wǎng)格面積來確定最大捕獲量，而漁網(wǎng)網(wǎng)格面積由每尾魚的最小橫截面相關(guān)，又每尾魚的橫截面面積與魚的表面積相關(guān)。由基本假設(shè)中魚群的表面積服從正態(tài)分布，即： 其中為的均值，為的方差。則在此條件下： 又由 得： 模型的求解：關(guān)于魚尾數(shù)隨時間變化的微分方程組：可直接求解得：

8、又橢球體的體積為： 表面積近似為： 又 則可得： 則將式代入式可得： 又所以求解可得: 不妨設(shè)，則： 此時 則 由基本假設(shè)服從正態(tài)分布，則其中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)則由此將漁網(wǎng)網(wǎng)眼面積和單位時間最大捕獲量聯(lián)系起來，此時僅需將通過調(diào)查將函數(shù)進(jìn)行研究，進(jìn)而使得取得最大值，則此時取得最大值又則可通過查找標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表求得結(jié)論。三、統(tǒng)計回歸模型 下表列出了某城市18位35歲44歲經(jīng)理的年平均收入千元，風(fēng)險偏好度和人壽保險額千元，其中風(fēng)險偏好度是根據(jù)發(fā)給每個經(jīng)理的問卷調(diào)查表綜合評估得到的，它的數(shù)值越大，就越偏愛高風(fēng)險。研究人員想研究此年齡段中的經(jīng)理所投保的人壽保險額與年平均收入及風(fēng)險偏好度之間的關(guān)系。研究者

9、預(yù)計，經(jīng)理的年均收入和人壽保險額之間存在著二次關(guān)系，并有把握地認(rèn)為風(fēng)險偏好度對人壽保險額有線性效應(yīng)，但對風(fēng)險偏好度對人壽保險額是否有二次效應(yīng)以及兩個自變量是否對人壽保險額有交互效應(yīng)，心中沒底。請你通過表中的數(shù)據(jù)來建立一個合適的回歸模型，驗(yàn)證上面看法，并給出進(jìn)一步的分析。序號序號119666.2907104937.408526340.96451110554.3762325272.99610129846.186748445.0106137746.1304512657.2044141430.366361426.8525155639.060574938.12241624579.380184935.84

10、061713352.7668926675.79691813355.9166數(shù)學(xué)模型解：為大致分析y與x1和x2關(guān)系，首先利用表1的數(shù)據(jù)分別作出y對于x1和x2的散點(diǎn)圖（見圖1和圖2中的圓點(diǎn)） x1=66.290 40.964 72.996 45.010 57.204 26.852 38.122 35.840 75.796 37.408 54.376 46.186 46.130 30.366 39.060 79.380 52.766 55.916;>> y1=196 63 252 84 126 14 49 49 266 49 105 98 77 14 56 245 133 133;&

11、gt;> p=polyfit(x1,y1,2)p = 3.0246e-002 1.7886e+000 -6.0524e+001>> x2=0:0.01:85;y2=polyval(p,x2); plot(x1,y1,'o',x2,y2) 的散點(diǎn)圖從圖中可以發(fā)現(xiàn)，隨著的增加，的值有明顯向上彎曲的二次增長趨勢，圖中的曲線是用二次函數(shù)模型 （1）擬合的。（其中是隨機(jī)誤差）>> x3=7 5 10 6 4 5 4 6 9 5 2 7 4 3 5 1 8 6;>> q=polyfit(x3,y1,1)q = 1.3522e+001 3.8743e

12、+001>> x4=0:0.01:15;y3=polyval(q,x4); plot(x3,y1,'o',x4,y3) 從圖中可以發(fā)現(xiàn)，隨著的增加，的值比較明顯的線性增長趨勢，圖中的曲線是用線性函數(shù)模型 （2）擬合的。（其中是隨機(jī)誤差）綜合上面的分析，結(jié)合模型（1）和（2）建立如下的回歸模型 （3）（3）式右端的和稱為回歸變量，是給定年平均收入、風(fēng)險偏好度時，人壽保險額的值，其中的參數(shù)稱為回歸系數(shù)。還有影響的其它因素作用都包含在隨機(jī)誤差中。模型求解：使用MATLAB統(tǒng)計工具箱的命令regress求解，求解過程如下>> x1=66.290 40.964 7

13、2.996 45.010 57.204 26.852 38.122 35.840 75.796 37.408 54.376 46.186 46.130 30.366 39.060 79.380 52.766 55.916;x2=7 5 10 6 4 5 4 6 9 5 2 7 4 3 5 1 8 6; x3=x1.*x1; x0=ones(18,1); x=x0 x1' x2' x3'y=196 63 252 84 126 14 49 49 266 49 105 98 77 14 56 245 133 133;>> b,bint,r,rint,stats=regress(y',x,0.05)b = -6.2349e+001 8.3959e-001 5.6846e+000 3.7082e-002bint = -7.3503e+001 -5.1195e+001 3.9515e-001 1.2840e+000 5.2604e+000 6.1089e+000 3.3006e-002 4.1157e-002stats = 9.9958e-001 1.1070e+004 7.4095e-024 3.2518e+000由此得到模型（3）的回歸系數(shù)