實(shí)驗(yàn)2LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析

1、實(shí)驗(yàn)2 LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?.掌握利用MATLAB對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行時(shí)域分析的方法；2.掌握連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)、沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)的求解方法；3.掌握離散時(shí)間系統(tǒng)響應(yīng)、單位抽樣響應(yīng)的求解方法；4.加深對(duì)卷積積分和卷積和的理解。掌握利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行卷積積分與卷積和的計(jì)算方法。二、實(shí)驗(yàn)原理與方法1.連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)時(shí)域分析的MATLAB實(shí)現(xiàn)1）連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的MATLAB表示LTI連續(xù)系統(tǒng)通?？梢杂上到y(tǒng)微分方程描述，設(shè)描述系統(tǒng)的微分方程為：aNyNt+aN-1yN-1t+a0yt=bMxMt+bM-1xM-1t+b0x(t)則在MATLAB中，可以建立系統(tǒng)模型如下：b=bM,bM-1,b0；a=

2、aN,aN-1,a0；sys=tfb,a；其中，tf是用于創(chuàng)建系統(tǒng)模型的函數(shù)，向量a和b是以微分方程求導(dǎo)的降冪次序來(lái)排列的，如果有缺項(xiàng)，應(yīng)用0補(bǔ)齊。2）連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)指系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，僅由輸入信號(hào)所引起的響應(yīng)。MATLAB提供了一個(gè)用于求解零狀態(tài)響應(yīng)的函數(shù)lism，其調(diào)用格式如下：lsim（sys,x,t）繪出輸入信號(hào)及響應(yīng)的波形，x和t表示輸入信號(hào)數(shù)值向量及其時(shí)間向量。y=lsim(sys,x,t)這種調(diào)用格式不繪出波形，而是返回響應(yīng)的數(shù)值向量。3）連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)MATLAB提供了impulse函數(shù)來(lái)求指定時(shí)間范圍內(nèi)由模型sys描述的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的單

3、位沖激響應(yīng)。impulse函數(shù)的基本調(diào)用格式如下：impulse(sys)繪出在默認(rèn)的時(shí)間范圍內(nèi)系統(tǒng)沖激響應(yīng)的時(shí)域波形；impulse(sys,T)繪出系統(tǒng)在0T范圍內(nèi)沖激響應(yīng)的時(shí)域波形；impulse(sys,ts:tp:te)繪出系統(tǒng)在tste范圍內(nèi)，以tp為時(shí)間間隔取樣的沖激響應(yīng)波形；y,t=impulse()這種調(diào)用格式不繪出沖激響應(yīng)波形，而是返回沖激響應(yīng)的數(shù)值向量及其對(duì)應(yīng)的時(shí)間向量。step函數(shù)用于求解單位階躍響應(yīng)，它同樣也有如下幾種調(diào)用格式：step(sys)；step(sys,T)；step(sys,ts:tp:te)；y,t=step()。各種調(diào)用格式參數(shù)所代表的意義與impu

4、lse函數(shù)中類似。2.離散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)域分析的MATLAB實(shí)現(xiàn)1）離散時(shí)間系統(tǒng)的MATLAB表示LTI離散系統(tǒng)通?？梢杂上到y(tǒng)差分方程描述，設(shè)描述系統(tǒng)的差分方程為：a0yn+a1yn-1+aNyn-N=b0xm+b1xm-1+bMx(m-M)則在MATLAB里，我們可以用如下兩個(gè)向量來(lái)表示這個(gè)系統(tǒng)：b=b0,b1,bM；a=a0,a1,aN；2）離散時(shí)間系統(tǒng)對(duì)任意輸入的響應(yīng)MATLAB提供了求LTI離散系統(tǒng)響應(yīng)的專用函數(shù)filter，該函數(shù)用于求取由差分方程所描述的離散時(shí)間系統(tǒng)在執(zhí)行時(shí)間范圍內(nèi)對(duì)輸入序列所產(chǎn)生的響應(yīng)，該函數(shù)基本調(diào)用格式為y=filter(b,a,x)其中，x為輸入序列，y為輸出序列

5、，輸出序列y對(duì)應(yīng)的時(shí)間區(qū)間與x對(duì)應(yīng)的時(shí)間區(qū)間相同。3）離散時(shí)間系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)MATLAB提供了函數(shù)impz來(lái)求指定時(shí)間范圍內(nèi)，由向量b和a描述的離散時(shí)間系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)，具體調(diào)用格式如下：impz(b,a)繪出系統(tǒng)在默認(rèn)的時(shí)間范圍內(nèi)單位抽樣響應(yīng)的時(shí)域波形；impz(b,a,N)繪出系統(tǒng)在0N時(shí)間范圍內(nèi)單位抽樣響應(yīng)的時(shí)域波形；impz(b,a,ns:ne)繪出系統(tǒng)在nsne范圍內(nèi)單位抽樣響應(yīng)的時(shí)域波形；y,t=impz()這種調(diào)用格式不繪出單位抽樣響應(yīng)波形，而是返回單位抽樣響應(yīng)的數(shù)值向量及其對(duì)應(yīng)的時(shí)間向量。3卷積和與卷積積分1）離散時(shí)間序列的卷積和卷積和是離散系統(tǒng)時(shí)域分析的基本方法之一，離

6、散時(shí)間序列x1(n)和x2(n)的卷積和x(n)定義如下：xn=x1n*x2n=k=-+x1(k)x2(n-k)對(duì)于離散LTI系統(tǒng)，設(shè)其輸入信號(hào)為x(n)，單位抽樣響應(yīng)為h(n)，則其零狀態(tài)響應(yīng)y(n)為yn=xn*h(n)即離散LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)可以表示出輸入信號(hào)x(n)與單位抽樣響應(yīng)h(n)的卷積。因此，離散時(shí)間序列的卷積和計(jì)算對(duì)于我們進(jìn)行離散系統(tǒng)時(shí)域分析具有重要的意義。MATLAB的conv函數(shù)可以用來(lái)求兩個(gè)離散序列的卷積和，調(diào)用格式為x=conv(x1,x2)。例如： x1=ones(1,3); x2=1 2 3 4; x=conv(x1,x2)x = 1 3 6 9 7 42）連

7、續(xù)時(shí)間信號(hào)的卷積積分卷積積分是連續(xù)系統(tǒng)時(shí)域分析的有效方法和工具之一，連續(xù)時(shí)間信號(hào)x1t和x2(t)的卷積積分x(t)定義如下：xt=x1t*x2t=-+x1()x2(t-)d對(duì)于連續(xù)LTI系統(tǒng)，設(shè)其輸入信號(hào)為x(t)，單位抽樣響應(yīng)為h(t)，其零狀態(tài)響應(yīng)為y(t)，則有yt=xt*ht即連續(xù)LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)可以表示為輸入信號(hào)與單位沖激響應(yīng)的卷積。因此，連續(xù)時(shí)間信號(hào)卷積積分對(duì)連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析具有非常重要的意義。利用MATLAB可以采用數(shù)值計(jì)算的方法近似計(jì)算卷積積分。卷積積分可用求和運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)xt=x1t*x2t=-+x1x2t-d=lim0k=-+x1(k)x2(t-k)現(xiàn)在考慮只求t=

8、n時(shí)xt的值x(n)，則有xn=k=-+x1kx2n-k若足夠小，xn就是x(t)的數(shù)值近似。我們可以利用計(jì)算離散卷積序列卷積和的conv函數(shù)來(lái)計(jì)算卷積積分。三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容（1）已知描述模擬低通、高通、帶通和帶阻濾波器的微分方程如下，試采用MATLAB繪出各系統(tǒng)單位沖擊響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)波形：y''t+2y't+yt=x(t) MATLAB代碼如下：a=1 2(1/2) 1; b=1; sys=tf(b,a); subplot(121); impulse(sys); subplot(122); step(sys);y''t+2y't+yt=x

9、9;'(t)MATLAB代碼如下： a=1 2(1/2) 1; b=1 0 0; sys=tf(b,a); subplot(121); impulse(sys); subplot(122); step(sys);y''t+y't+yt=x'(t)MATLAB代碼如下：a=1 1 1; b=1 0; sys=tf(b,a); subplot(121); impulse(sys); subplot(122); step(sys);y''t+y't+yt=x''t+x(t)MATLAB代碼如下： a=1 1 1; b=1

10、 0 1; sys=tf(b,a); subplot(121); impulse(sys); subplot(122);step(sys);（2）已知某系統(tǒng)可用如下微分方程描述 y''t+y't+6yt=x(t)請(qǐng)利用MATLAB繪出該系統(tǒng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)的時(shí)域波形MATLAB代碼如下： a=1 1 6; b=1 ; sys=tf(b,a); subplot(121); impulse(sys); subplot(122); step(sys);根據(jù)沖激響應(yīng)的時(shí)域波形分析該系統(tǒng)穩(wěn)定性從波形可得，隨著t 增大，波形趨于0，即-+|ht|dt<,故是系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如

11、果系統(tǒng)的輸出為xt=e-tu(t),求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)MATLAB代碼如下：a=1 1 6;b=1;sys=tf(b,a);t=0:0.01:10;x=exp(-t);lsim(sys,x,t)(3)已知描述離散系統(tǒng)的微分方程如下，試采用MATLAB繪出各系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)，并根據(jù)單位抽樣響應(yīng)的時(shí)域波形分析系統(tǒng)穩(wěn)定性yn+3yn-1+2yn-2=x(n)MATLAB代碼如下： a=1 3 2; b=1;impz(b,a,0:25)實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析：由于波形發(fā)散，即-+|hn|，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。yn-0.5yn-1+0.8yn-2=xn-3x(n-1)MATLAB代碼如下：a=1 -0.5 0.8;b

12、=1 -3;impz(b,a,0:25)實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析：由于波形發(fā)散，即-+|hn|<，故系統(tǒng)穩(wěn)定。(4)已知系統(tǒng)可以用如下差分方程描述 yn+yn-1+0.25yn-2=x(n)試采用MATLAB繪出該系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)波形和單位階躍響應(yīng)波形。MATLAB代碼如下：a=1 1 0.25;b=1;n=0:10;subplot(121);impz(b,a,n);x=1.n;y=filter(b,a,x);subplot(122);stem(n,y,'filled');title('Step Response');(5)采用MATLAB計(jì)算如下兩個(gè)序列的卷積，并

13、繪出波形 x1n=1,2,1,1 x2n=1, -2n20, 其他 MATLAB代碼如下： x1=1 2 1 1; x2=1 1 1 1 1; x=conv(x1,x2)n=-3:4stem(n,x,'filled')x = 1 3 4 5 5 4 2 1(6)已知某LTI離散系統(tǒng)，其單位抽樣響應(yīng)hn=sin0.5n, n0，系統(tǒng)的輸入為xn=sin0.2n, n0，計(jì)算當(dāng)n=0,1,2,3,40時(shí)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y(n)，繪出x(n),h(n),y(n)的時(shí)域波形。MATLAB代碼如下： n=0:40; x=sin(0.2*n); subplot(221); stem(n,x

14、,'filled'); xlabel('n'); title('x(n)'); h=sin(0.5*n); subplot(222); stem(n,h,'filled'); xlabel('n'); title('h(n)'); y=conv(x,h); subplot(223); stem(0:80,y,'filled'); title('y(n)');(7)已知兩個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)如圖所示，試采用MATLAB求這兩個(gè)信號(hào)卷積分析：由書(shū)中圖可知兩個(gè)信號(hào)的表達(dá)式分別為x1(t)=2(ut+1-u(t-1) x2(t)=ut+2-ut-2MATLAB代碼如下：function x,t = sconv( x1,x2,t1,t2,dt ) %定義卷積計(jì)算函數(shù)x=conv(x1,x2);x=x*dt;t0=t1(1)+t2(1);l=length(x1)+leng