向量與解析幾何

1、第一節(jié) 向量代數(shù)一、空間直角坐標(biāo)系二、向量概念+坐標(biāo)模方向角方向余弦；三、向量運(yùn)算設(shè)；1 加（減）法2 數(shù)乘3 數(shù)量積（點(diǎn)乘）（）定義·=（）坐標(biāo)公式·=+（）重要應(yīng)用·=04向量積（叉乘）（）定義與和皆垂直，且，構(gòu)成右手系（）坐標(biāo)公式=（）重要應(yīng)用=，共線5、混合積（）定義（，）（）·（）坐標(biāo)公式（，）=（）表示以，為棱的平行六面體的體積例1、點(diǎn)P到過A，B的直線之間的距離 d例2、點(diǎn)P到A,B,C所在平面的距離d因?yàn)樗拿骟wPABC的體積V而，則V例3、過點(diǎn)A，B與過點(diǎn)C，D的異面直線之間的距離d因?yàn)?，則d第二節(jié) 平面與直線（甲） 內(nèi)容要點(diǎn)一、空間解析

2、幾何1 空間解析幾何研究的基本問題。（1）已知曲面（線）作為點(diǎn)的幾何軌跡，建立這曲面（線）的方程，（2）已知坐標(biāo)x，y和z 間的一個(gè)方程（組），研究這方程（組）所表示的曲面（線）。2 距離公式空間兩點(diǎn)與間的距離d為3 定比分點(diǎn)公式是AB的分點(diǎn)：,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)為，則，當(dāng)M為中點(diǎn)時(shí)，二、平面及其方程1 法（線）向量，法（線）方向數(shù)。與平面垂直的非零向量，稱為平面的法向量，通常記成。法向量的坐標(biāo)稱為法（線）方向數(shù)。對于給定的平面，它的法向量有無窮多個(gè)，但它所指的方向只有兩個(gè)。2 點(diǎn)法式方程已知平面過點(diǎn)，其法向量A,B,C,則平面的方程為或其中3 一般式方程其中A, B, C不全為零. x, y,

3、z前的系數(shù)表示的法線方向數(shù)，A,B,C是的法向量特別情形：，表示通過原點(diǎn)的平面，平行于z軸的平面，平行平面的平面 x0表示平面。4 三點(diǎn)式方程設(shè),三點(diǎn)不在一條直線上。則通過A,B,C的平面方程為5 平面束設(shè)直線L的一般式方程為，則通過L的所有平面方程為+，其中6 有關(guān)平面的問題兩平面為：與間夾角垂直條件平行條件重合條件設(shè)平面的方程為，而點(diǎn)為平面外的一點(diǎn)，則M到平面的距離d：三直線及其方程1 方向向量、方向數(shù)與直線平行的非零向量，稱為直線L的方向向量,方向向量的坐標(biāo)稱為方向數(shù)。2 直線的標(biāo)準(zhǔn)方程（對稱式方程）其中為直線上的點(diǎn)，為直線的方向數(shù)。3 參數(shù)式方程4 兩點(diǎn)式設(shè),為不同的兩點(diǎn)，則通過A和B

4、的直線方程為5 一般式方程（作為兩平面的交線）6 有關(guān)直線的問題兩直線為:垂直條件平行條件四、平面與直線相互關(guān)系平面的方程為：直線L 的方程為：L與間夾角L 與垂直條件L 與平行條件 L 與重合條件L 上有一點(diǎn)在上（乙） 典型例題例1求通過和直線的平面方程。解通過的所有平面的方程為其中為任意實(shí)數(shù)，且不同時(shí)為0。今把代上上面形式的方程得由于方程允許乘或除一個(gè)不為0的常數(shù)，故取,得，代入方程得即 4xyz30它就是既通過點(diǎn)又通過直線的平面方程。例2 求過直線且切于球面的平面解過所給直線除平面外的其它所有平面方程為即式子一球面與平面相切，因此球心到平面距離應(yīng)等于半徑于是得代入式子一得兩個(gè)所求的平面第

5、三節(jié) 曲面與空間曲線（甲） 內(nèi)容要點(diǎn)一、曲面方程1、一般方程2、參數(shù)方程二、空間曲線方程1、一般方程2、參數(shù)方程三、常見的曲面方程1、球面方程設(shè)是球心，R是半徑，P（x，y，z）是球面上任意一點(diǎn)，則,即。2. 旋轉(zhuǎn)曲面的方程（）設(shè)L是平面上一條曲線，其方程是 L繞z軸旋轉(zhuǎn)得到旋轉(zhuǎn)曲面，設(shè)P（x，y，z）是旋轉(zhuǎn)面上任一點(diǎn)，由點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而來（點(diǎn)是圓心）.由得旋轉(zhuǎn)面方程是（）求空間曲線繞z軸一周得旋轉(zhuǎn)曲面的方程第一步：從上面聯(lián)立方程解出第二步：旋轉(zhuǎn)曲面方程為繞y軸一周或繞x軸一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程類似地處理3、二次曲面曲面名稱方程曲面名稱方程橢球面旋轉(zhuǎn)拋物面橢圓拋物面雙曲拋物面單葉雙曲面雙葉雙曲面二次錐面橢

6、圓柱面雙曲柱面拋物柱面四、空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影曲線C的方程曲線C在平面上的投影先從曲線C的方程中消去Z得到，它表示曲線C為準(zhǔn)線，母線平行于Z軸的柱面方程，那么就是C在平面上的投影曲線方程。（乙）典型例題例1、求以點(diǎn)A（0，0，1）為頂點(diǎn)，以橢圓為準(zhǔn)線的錐面方程。解過橢圓上任一點(diǎn)P的母線方程為因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以。而t，將其代入橢圓方程，得錐面的方程為。例2、求旋轉(zhuǎn)拋物面與平面=1的交線在平面上投影方程解從曲線方程中消去z ，得曲線向平面得投影柱面方程。于是曲線在平面商得投影曲線的方程為例3、求直線 L：在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影；解在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影分別為<1>在平面上：<2>在平面<3>在平面上例4、求直線L：在平面上的投影直線的方程，并求繞y