例談已知兩點(diǎn)求另兩點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形的萬能解法

1、例談已知兩點(diǎn)求另兩點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形的萬能解法近些年全國各地的中考壓軸題大多數(shù)是數(shù)形結(jié)合題。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。其實(shí)說穿了，初中的數(shù)形結(jié)合就是將初中所涉及的平面幾何知識和一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)相結(jié)合的一種題型。那么函數(shù)中的平行四邊形呢也是各地中考中的熱門考點(diǎn)，今天我就已知兩點(diǎn)求另兩點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形的解題思想談?wù)勎业南敕?。一：知識解讀已知兩點(diǎn)求另兩點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，共有兩種題型。一種是有序的平行四邊形，即根

2、據(jù)題意可以知道已知邊是平行四邊形的邊還是對角線；另一種是不固定的平行四邊形，即根據(jù)題意不知道已知邊是平行四邊形的邊還是對角線。對于后一種就要分類討論了，這一種也是我們中考的常客。二：范例，已知如圖1，拋物線的圖像與軸交于點(diǎn)A、B，與軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，對稱軸與軸交于點(diǎn)E。（1） 求A、B、C、D的坐標(biāo)對稱軸方程及直線BC的函數(shù)關(guān)系式。（2） 在拋物線上找一點(diǎn)M，在對稱軸上找一點(diǎn)N，使得以O(shè)、B、M、N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形，求M、N的坐標(biāo)。（3） 在拋物線上找一點(diǎn)M，在直線BC上找一點(diǎn)N，使得以O(shè)、C、M、N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形，求M、N的坐標(biāo)。（4） 在拋物線上找一點(diǎn)M，在軸

3、上找一點(diǎn)N，使得以B、C、M、N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形，求M、N的坐標(biāo)。（圖1） 三：范例的萬能方法解答思路及過程：思路分析：我們可以分析得出已知兩點(diǎn)求另兩點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形的分類思想，即對已知邊分兩種情況討論，考慮已知邊為平行四邊形的邊或?qū)蔷€。而另外兩點(diǎn)其實(shí)也一直有個(gè)共性的規(guī)律，就是不管怎么變，它們都在兩個(gè)已知函數(shù)圖象上，當(dāng)然這些圖象包括坐標(biāo)軸和一些與坐標(biāo)軸平行的特殊直線，也包括上面沒有提及的反比例函數(shù)圖象。好，那我們拋開原始坐標(biāo)系，結(jié)合下圖講解我的萬能法。如圖2。假設(shè)A、B為已知點(diǎn)，C、D為未知點(diǎn)。當(dāng)AB為邊時(shí)，CD和AB平行且相等，我們可以將AB，CD分別橫豎構(gòu)造全等的直角三角形，

4、如圖，AEBCFD，從而CF=AE，DF=BE，這兩個(gè)等式就是我們構(gòu)造的方程組模型，只要利用已知函數(shù)解析式設(shè)出未知點(diǎn)C和D的坐標(biāo)，代入等量關(guān)系解之即可。當(dāng)AB為對角線時(shí)，我們可先求AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后將C、D和M橫豎構(gòu)造全等，如圖，CEMDFM，從而CE=DF，ME=MF，同樣利用已知函數(shù)解析式設(shè)出未知點(diǎn)C和D的坐標(biāo)，代入得方程組解之即可。考慮解得全面性，只要將下圖的C、D兩點(diǎn)對調(diào)位置皆可。（圖2）那么已知兩點(diǎn)共有三種可能，即水平兩點(diǎn)，豎直兩點(diǎn)，斜向兩點(diǎn)，如下圖。為了方便表示我們設(shè)。 （水平點(diǎn)） （豎直點(diǎn)） （斜向點(diǎn)） AB為邊 AB為邊 AB為邊 CD=AB CD=AB AEBCFD D

5、F=BE,CF=AE C、D換位，只要將上述方程中涉及C、D點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的差交換位置皆可，如。 AB為對角線 AB為對角線 AB為對角線 CEMDFM CEMMFD CEMMFD EM=FM , CE=DF CE=FM,ME=DF CE=MF,ME=DF 其實(shí)通過移項(xiàng)變形，我們可得到，同樣我們也可得到。所以上述方程組可以變形成。從這個(gè)方程組我們可以知道當(dāng)討論AB為對角線時(shí)，CD就不用換位思考了。范例解答：（1） 第一小題的解為，A（-1,0），B（4,0），C（0,2），D（），對稱軸為直線，直線BC的函數(shù)關(guān)系式為。（2）首先設(shè)1.OB為邊，M在N的左邊，MN=OB。，所以M1（，），N

6、1（，）。M在N的右邊時(shí)，同理可得M2（，），N2（，）。2. OB為對角線，MFPNEP，得從而得方程組，所以得M3（，），N3（，）。(3) 首先設(shè)1.OC為邊，N在M上方，MN=OC。，將解代入上述所設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)或相應(yīng)解釋式求縱坐標(biāo)，得當(dāng)OC為邊，M在N上方，得解得，代入兩函數(shù)解析式求對應(yīng)的縱坐標(biāo)，所以。2. 當(dāng)OC為對角線時(shí)，如圖，MFPNEP，得從而得方程組解之得，代入原函數(shù)解析式得，。(4)首先設(shè)1. BC為邊，BECMFN,得解之得，所以所以M1（，2），N1（，0）；M2（，2），N2（，0）。當(dāng)M、N位置調(diào)換，同理可得M3（3,2），N3（7,0）。2. BC為對角線，MFPPEN，得解之得，所以M4（3,2），N4（