列主元素消去法求解方程組

1、列主元素消去法求解方程組摘 要在自然科學(xué)和工程中有很多問(wèn)題的解決歸結(jié)為求解線性方程組或者非線性方程組的數(shù)學(xué)問(wèn)題。例如，電學(xué)中的網(wǎng)絡(luò)問(wèn)題，用最小二乘法求實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的曲線擬合問(wèn)題，三次樣條的插值問(wèn)題等等。求解線性方程組的直接法主要有選主元高斯消去法、平方根法、追趕法等。列主元素消去法既是選主元高斯消去法的一種，也是實(shí)際計(jì)算中常用的部分選主元消去法。本文即是討論利用列主元素消去法求解線性方程組問(wèn)題。關(guān)鍵詞按列選主元 交換 消元 回代一 列主元素消去法背景在科學(xué)研究和工程技術(shù)中有許多問(wèn)題可歸結(jié)為求解線性代數(shù)方程組，其中所產(chǎn)生的線性方程組，其系數(shù)矩陣大致可分為兩種：一種是低階稠密矩陣；另一類是大型稀疏矩陣

2、（此類矩陣階數(shù)高，但零元素較多）。對(duì)于這兩種矩陣，我們可以把線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法大致的分為兩類：直接法和迭代法。迭代法一般用來(lái)求解大型稀疏矩陣方程組（本文不予討論）；直接法是目前計(jì)算機(jī)上解低階稠密矩陣的有效方法，如果計(jì)算過(guò)程中沒(méi)有舍入誤差，則此種方法通過(guò)有限步四則運(yùn)算可求的方程組的精確解，但實(shí)際計(jì)算中由于舍入誤差的存在和影響，這種方法也只能求得方程組的近似解。直接法主要有選主元素高斯消去法、平方根法、追趕法等。本文所要討論的列主元素消去法就是選主元素高斯消去法中的一種。高斯消去法是一個(gè)古老的求解線性方程組的方法，也是解線性方程組問(wèn)題中較為常見(jiàn)的一種數(shù)值方法。但在采取高斯消去法解方程組時(shí)，當(dāng)

3、采用絕對(duì)值很小的主元素時(shí)，可能導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果的失敗，故在消去法中應(yīng)避免采用絕對(duì)值很小的主元素。對(duì)于一般的線性方程組，需要引進(jìn)選主元的技巧，即在高斯消去法的每一步應(yīng)該在系數(shù)矩陣或消元后的低價(jià)矩陣中選取絕對(duì)值最大的元素作為主元素，保持乘數(shù)，以便減少計(jì)算過(guò)程中舍入誤差對(duì)計(jì)算解的影響。選主元素消元法則是對(duì)高斯消去法的改進(jìn)，是解低價(jià)稠密矩陣方程組的有效方法。選主元素消元法則避免了采用絕對(duì)值很小的主元素。選主元素消去法主要有完全主元素消去法與列主元素消去法兩種。完全主元素消去法即是每次按行列選取絕對(duì)值最大的元素作為主元素，進(jìn)行行列交換，之后再完成消元計(jì)算。在完全主元素消去法計(jì)算過(guò)程中舍入誤差能得到有效的控制

4、，對(duì)計(jì)算的影響較小，具有更好的數(shù)值穩(wěn)定性。列主元素消去法則是對(duì)完全主元素消去法的又一次改進(jìn)。列主元素消去法在完全主元素消去法的基礎(chǔ)上減少了在選主元素時(shí)所要花費(fèi)的一定的計(jì)算時(shí)間。此論文將介紹列主元消去法的基本思想和原理。二 列主元素消去法的理論基礎(chǔ)設(shè)有線性方程組其中，為非奇異矩陣。方程組的增廣矩陣為 首先在的第1列選取絕對(duì)值最大的元素作為主元素，即選擇        然后交換的第1行與第行（交換后增廣矩陣為簡(jiǎn)單起見(jiàn)仍記為，其元素仍記為）。經(jīng)過(guò)第1次消元計(jì)算得到與原方程組等價(jià)的方程組 其中 上述過(guò)程可記為 重復(fù)上述計(jì)算過(guò)程，現(xiàn)假

5、設(shè)已完成第步的選主元素過(guò)程，交換兩行并進(jìn)行消元計(jì)此時(shí)約化為 其中的元素仍記為，的元素仍記為.  第步選主元素（在右下角方陣的第1列內(nèi)選），即確定，使          交換第行與行的元素，再進(jìn)行消元計(jì)算，最后將原線性方程組化為        回代可求解得 算法描述： 對(duì)于做到（4）。（1） 按列選主元，即確定使 （2） 如果，則為奇異矩陣，停止計(jì)算。（3） 如果，則交換第行與第行元素。（4） 消元計(jì)算： （5） 回代

6、計(jì)算： 三 通過(guò)計(jì)算機(jī)利用列主元素消去法求解線性方程組計(jì)算機(jī)在科學(xué)和工程設(shè)計(jì)中應(yīng)用日益廣泛。把科學(xué)和工程設(shè)計(jì)中的具體問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立起能描述并等價(jià)代替該實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)問(wèn)題，編制出計(jì)算機(jī)程序，就能夠使得復(fù)雜問(wèn)題得到妥善的解決。下面及描述列主元消去法的程序過(guò)程。對(duì)于已給定的，其程序框圖如下：輸入n, ，按列選主元否換行否消元計(jì)算是是輸出停 機(jī)回代求解 （當(dāng)）輸出計(jì)算解及行列式值及det停 機(jī)（注：為矩陣的行數(shù)；為輸入的一精度，用于判斷的行列式是否約等于0）例 求下面解方程組利用列主元素消去法求解此方程組的程序見(jiàn)附件1，其結(jié)果如下圖：利用完全主元素消去法求解此方程組的程序見(jiàn)附件2，其結(jié)果如下

7、圖：容易看出此方程組的精確解，由上面兩圖可看出列主元素消去法與完全主元素消去法的結(jié)果都接近于精確解。二種方法的精度差不多。四 總結(jié)列主元素消去法的提出有效的控制了舍入誤差的擴(kuò)散，且相對(duì)于完全主元素消去法，其選主元素比較方便。，利用列主元素消去法解線性方程組時(shí)僅需要選出每列中絕對(duì)值最大的元素，計(jì)算量為，利用完全主元素消去法時(shí)則需要按行列選取絕對(duì)值最大的元素，其計(jì)算量為?？煽闯隽兄髟叵シū韧耆髟叵シp少了計(jì)算時(shí)間。總之，列主元素消去法是解低階稠密矩陣的有效方法。從上面的例題可看出，利用計(jì)算機(jī)來(lái)求解方程組大大的減少了計(jì)算時(shí)間。當(dāng)然，利用計(jì)算機(jī)來(lái)解決工程實(shí)際和科學(xué)技術(shù)中的復(fù)雜問(wèn)題，也是21世

8、紀(jì)現(xiàn)代化的要求。把建立好的數(shù)學(xué)模型用計(jì)算機(jī)描述出來(lái)，這不僅使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化，還大大的縮減了計(jì)算所需的時(shí)間，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)的緊密結(jié)合。在以后的工作生活中我們要學(xué)會(huì)善于利用計(jì)算機(jī)與數(shù)學(xué)的關(guān)系，把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，減少計(jì)算時(shí)間，提高工作的效率。列主元消去法只是求解線性方程組的一種方法，但由于篇幅的限制，對(duì)于解決線性方程組的其他方法就不一一敘述了。參考文獻(xiàn)1Burden R L，F(xiàn)aires J D，Reynolds A C. Numerical Analysis. Alpine Press,19812易大義，沈云寶，李有法編.計(jì)算方法.杭州：浙江大學(xué)出版社，20023易大義，陳道琦編.數(shù)值分析引

9、論.杭州：浙江大學(xué)出版社，19984李慶陽(yáng)，王能超，易大義編.數(shù)值分析（第四版）.北京：清華大學(xué)出版社，施普林格出版社，20015馮康等編.數(shù)值計(jì)算方法.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，1978The Main Elements Of The Column Elimination For Solving EquationsAbstract In the natural sciences and engineering, there are many problems boiled down to solving linear equations or nonlinear equations of mat

10、hematical problems. Such as, the problems of network in the electricity, the curve fitting figuring out the experimental data with the least square method, computing of cubic spline interpolation, etc. The direct methods to solve the linear equations are Pivoting Gaussian Elimination Method, Square

11、Root Method, Catching Method, etc. The main elements of the column elimination belongs to Pivoting Gaussian Elimination Method, and also is used commonly in the calculation of the actual pivoting elimination. This article is discussing the use of the main elements of the column elimination in solvin

12、g linear equations problems.Key Words By column pivoting，Exchange，Elimination，Back substitution附件1：#include <stdio.h>#include <math.h>void main()int n=7,k,j,p,i;float E,det=1.0,m,z; float b7=7,8,10,13,17,22,28,c0,temp;float A77=1,1,1,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,1,3,2,1,1,1,1,1,4,3,2,1,1,1,1,5,4,

13、3,2,1,1,1,6,5,4,3,2,1,1,7,6,5,4,3,2,1; printf("輸入E的值:");scanf("%f",&E); for(k=0;k<n-2;k+) c0=Akk; for(i=k;i<7;i+) if(Aik>c0)c0=Aik;p=i; if(fabs(c0)<E)printf("det(A)約等于0");break; else if(p!=k) for(j=0;j<7;j+) temp=Apj;Apj=Akj;Akj=temp; temp=bp;bp=bk;bk

14、=temp; det=-det; for(i=k+1;i<7;i+) m=Aik/Akk; for(j=k;j<7;j+)Aij=Aij-m*Akj; bi=bi-m*bk; det=Akk*det; c0=A55; for(i=5;i<7;i+) if(Ai5>c0)c0=Ai5;p=i; if(p!=5) for(j=0;j<7;j+) temp=Apj;Apj=A5j;A5j=temp; temp=bp;bp=b5;b5=temp; det=-det; if(A66!=0)b6=b6/A66;for(i=n-2;i>=0;i-)z=0;for(j=i+

15、1;j<n;j+)z=z+Aij*bj; bi=(bi-z)/Aii; det=A66*det;printf("輸出的x值:n");for(i=0;i<7;i+)printf("x(%d)=%fn",i+1,bi);附件2#include <stdio.h>#include <math.h>void main()int n=7,k,j,p,i,l;float E,det=1.0,m,z; float b7=7,8,10,13,17,22,28,c0,temp; floatA77=1,1,1,1,1,1,1,2,1,1,

16、1,1,1,1,3,2,1,1,1,1,1,4,3,2,1,1,1,1,5,4,3,2,1,1,1,6,5,4,3,2,1,1,7,6,5,4,3,2,1; printf("輸入E的值:"); scanf("%f",&E); for(k=0;k<n-2;k+) c0=Akk; for(i=k;i<7;i+)for(j=k;j<7;j+) if(Aij>c0)c0=Aij;p=i;l=j; if(fabs(c0)<E)printf("det(A)約等于0");break; else if(p!=k) for(j=0;j<7;j+)temp=Apj;Apj=Akj;Akj=temp; temp=bp;bp=bk;bk=temp; det=-det; if(l!=k) for(j=0;j<7;j+)temp=Ajl;Ajl=Ajk;Ajk=temp; for(i=k+1;i<7;i+) m=Aik/Akk; for(j=k;j<7;j+)Aij=Aij-m*Akj; bi=bi-m*bk; det=Akk*det; c0=A55; for(i=5;i<7;i+)if(Ai5>c0)c0=Ai5;p=i; if(p!=5)