第七部分曲線與曲面積分練習(xí)

1、第六部分 曲線積分與曲面積分容易題1-18 中等題19-43難題44-511設(shè)曲線是上半圓周 ，則。解法1 由于關(guān)于直線對(duì)稱，所以 ，從而。解法2 令，則。解法3 設(shè)曲線的質(zhì)量分布均勻，則其重心的橫坐標(biāo)為。又因?yàn)椋浴?設(shè)是上半橢圓周，是四分之一橢圓周，則（ ）(A)。(B) 。(C) 。(D)。 答D解由于關(guān)于軸對(duì)稱，所以 ，。注意到，從而可以排除(A)，(B)，(C)三個(gè)選項(xiàng)，或直接選出正確選項(xiàng)(D)。3計(jì)算 ，其中是圓周上從點(diǎn)經(jīng)點(diǎn)到點(diǎn)的一段。解法1 取為自變量，則的方程為，其中，所以解法2取的參數(shù)方程為其中，所以。解法3 由于是圓周的外向單位發(fā)向量，所以此圓周的正向單位切向量為。根據(jù)兩

2、類曲線積分之間的關(guān)系，得，其中的方程為，起點(diǎn)為，終點(diǎn)為。因此。4計(jì)算，其中是圓周。解 由于圓周關(guān)于軸對(duì)稱，所以，從而因?yàn)榈膮?shù)方程為 ，所以5已知曲線是平面與球面的交線，計(jì)算曲線積分 。解法1 由于曲線的方程中的變量具有輪換對(duì)稱性，所以，因此，從而 。解法2 直接化成定積分進(jìn)行計(jì)算。曲線：在平面的投影曲線是一橢圓，其方程是，即。令 ，則曲線的參數(shù)方程為，所以 。從而，因此 。6求柱面被球面包圍部分的面積。解根據(jù)第一型曲線積分的幾何意義及對(duì)稱性，得，其中是平面曲線在第一象限中的部分。取的參數(shù)方程為 ，則，所以7計(jì)算，其中是從點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)到點(diǎn)的折線段。解 設(shè)從到；從到。根據(jù)路徑可加性，得。8設(shè)是圓周，

3、則。解1 根據(jù)格林公式，得。解2 由于是的外向單位法向量，所以就是的正向單位法向量。根據(jù)兩類曲線積分之間的關(guān)系，得。9計(jì)算，其中是圓周，順時(shí)針方向?yàn)檎?。? 取的參數(shù)方程為 從到，則解2 由于具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并注意到的方向，根據(jù)格林公式得10計(jì)算，其中從點(diǎn)沿曲線到點(diǎn)，再沿直線到點(diǎn)。解1 設(shè)從點(diǎn)沿曲線到點(diǎn)；從點(diǎn)沿直線到點(diǎn)。則由于 ，所以 ，從而。解2 設(shè)從點(diǎn)沿直線到點(diǎn)；從點(diǎn)沿直線到點(diǎn)，與和圍成的區(qū)域記為。根據(jù)格林公式得11計(jì)算,是曲線在第一卦限中的部分,從點(diǎn)到點(diǎn).解1 取的參數(shù)方程為 ，參數(shù)從變到，則12計(jì)算，其中為在第一象限中的部分，方向?yàn)閺狞c(diǎn)到。解1 由于曲線積分與路徑無關(guān)，所以。又，所

4、以。解2 取是從點(diǎn)經(jīng)點(diǎn)到點(diǎn)，根據(jù)格林公式，得13計(jì)算，其中是曲線從點(diǎn)到點(diǎn)的一段。解1 記，當(dāng)時(shí)，有。令是折線段，則根據(jù)格林公式易知解2 令是直線段，是圓周，足夠小。由于當(dāng)時(shí)，有，所以根據(jù)格林公式得14 計(jì)算，其中是球面與平面的交線，從軸正向看去為逆時(shí)針方向。解1 曲線在平面上的投影的方程為 ，這是一個(gè)橢圓。取的參數(shù)方程為參數(shù)從到，從而解2 由于曲線在平面上的投影曲線為 ：，所以解3 取為曲線在平面上圍成的半徑是圓盤，上側(cè)為正。根據(jù)斯托克斯公式得15設(shè)是右半平面內(nèi)的有向分段光滑曲線，起點(diǎn)為，終點(diǎn)為。證明曲線積分與路徑無關(guān)，并求的值。解1因?yàn)樵谟野肫矫鎯?nèi)處處成立，所以曲線積分在右半平面內(nèi)與路徑無關(guān)

5、。取為從點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)到點(diǎn)的折線段，得解2因?yàn)樗允窃谟野肫矫嫔系囊粋€(gè)原函數(shù)，所以曲線積分在右半平面內(nèi)與路徑無關(guān)，且1516計(jì)算，其中為與的交線，方向?yàn)閺妮S的正向往負(fù)向看去是順時(shí)針。解1 求解，得，所以的方程為，其參數(shù)方程為，參數(shù)從變到。因此解2 求解，得，所以的方程為。取，上側(cè)為正，根據(jù)斯托克斯公式，得17計(jì)算,其中是用平面切立方體所得的切痕,從軸正向看去為逆時(shí)針方向.解 取為平面上由圍成的邊長是的正六邊形，方向向上。根據(jù)斯托克斯公式，得18計(jì)算，其中是平面與柱面的交線，從軸正向看去，為逆時(shí)針方向。解1 記分別為在第一、第二、第三和第四卦限中的部分，則解2 記為在平面上的投影，則的方程是，所以解3

6、 取為上由圍成的平面區(qū)域，上側(cè)為正。根據(jù)斯托克斯公式，得解4根據(jù)斯托克斯公式，得。而所以。19已知曲線積分與路徑無關(guān)，求的值，并求從到的積分值。解因?yàn)楹瘮?shù)都在整個(gè)空間上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，所以與路徑無關(guān)的充要條件是，即對(duì)任意的都成立。因此必有。取是由平行于坐標(biāo)軸直線構(gòu)成的折線段，則20.設(shè)在全平面內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且滿足，記為包圍原點(diǎn)的正向簡單閉曲線，計(jì)算 。解記，其中。由于，且 ，所以當(dāng) 時(shí)，。任取充分小，記為圓周，并取逆時(shí)針方向，根據(jù)格林公式可知，故。令：，則=。由于與的值無關(guān)，令，得 。21判斷是否是全微分式，若是，求它的原函數(shù)。解 因?yàn)楹瘮?shù)在上存在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，所以微分形式是一個(gè)

7、全微分式。它的所有原函數(shù)是另解 利用不定積分法求原函數(shù)的過程如下：設(shè)，則 ，由第一式得 ，所以 ，比較的兩個(gè)表達(dá)式，得 ，即，故。22已知曲線積分與路徑無關(guān)，其中具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且。求的值。解1根據(jù)曲線積分與路徑無關(guān)，取積分路徑為從點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)到點(diǎn)的折線段，得解2 因?yàn)榍€積分與路徑無關(guān)，所以，故，考慮到，得 。從而23設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，曲線積分與路徑無關(guān)，且對(duì)任意的恒有，求的表達(dá)式。解因?yàn)榍€積分與路徑無關(guān)，所以，因此 。從而 所以 對(duì)任意成立。由此得 ，所以。24已知，其中是繞原點(diǎn)一周的任意正向閉曲線，試求及.解根據(jù)題中條件，可以證明，其中是任意一條不包圍原點(diǎn)的封閉曲線。因此，從

8、而，故，考慮到 ，得 。取為 ，得25設(shè)在變力的作用下，質(zhì)點(diǎn)由原點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到橢球面上第一掛限中的點(diǎn)處，問當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，力作的功最大，并求出功的最大值。解 設(shè)從原點(diǎn)到點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為 ，則?？紤]條件極值問題令 ，求解得 。根據(jù)實(shí)際情況可知，當(dāng)點(diǎn)在處時(shí)，力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功最大，功的最大值是。26設(shè)函數(shù)在有界閉域上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，是的外向單位法向量。（1） 證明（2）當(dāng)，且時(shí)，證明。證明 （1）根據(jù)方向?qū)?shù)的計(jì)算公式，得，利用格林公式，得所以 （2）當(dāng)，且時(shí)，根據(jù)（1）的結(jié)果得。由于在上式非負(fù)連續(xù)函數(shù)，所以，從而 。考慮到函數(shù)在上的連續(xù)性和，得 ，故。27設(shè)函數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明對(duì)上半

9、平面中的任意封閉曲線都有成立的充要條件是：對(duì)任意的及上半平面中的任意點(diǎn)都成立。證明 設(shè)是上半平面中的任意一條封閉曲線，記是為成的平面域。根據(jù)格林公式，得因此 ?？紤]到上述積分域的任意性和被積函數(shù)的連續(xù)性，可得，即 。當(dāng)對(duì)任意的及上半平面中的任意點(diǎn)都成立時(shí)，在等式兩端關(guān)于求導(dǎo)，得，故，所以 。當(dāng)時(shí)，令，則所以 。由于 ，所以 ，故，從而。這樣就證明了 ，。綜上，結(jié)論得證。28計(jì)算，其中為柱面與平面所圍空間區(qū)域的表面。解 記 ，為柱面介于平面與之間的部分。根據(jù)第一型曲面積分的計(jì)算公式，并利用爾充積分的性質(zhì)，得，。對(duì)于，由于其方程為，所以不能寫成的形式，故只能考慮其在或坐標(biāo)面上的投影。為了簡單起見，

10、考慮在坐標(biāo)面上的投影域，根據(jù)題中條件易知 ，且可以分成與兩部分，其中。因?yàn)樗?。從而 。29計(jì)算，其中為球面，。解 記為球面在錐面內(nèi)的部分，則的參數(shù)方程為，所以另解 本題在直角坐標(biāo)下的計(jì)算如下：30計(jì)算，其中為球面。解 由于且，所以31求質(zhì)量均勻分布的半球面的重心。解 設(shè)半球面的半徑為，方程為。又設(shè)的重心坐標(biāo)為，則根據(jù)對(duì)稱性可知 。由于 ，所以 ，故的重心為。32求質(zhì)量均勻分布的圓柱面：關(guān)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解 設(shè)圓柱面的密度為，由于圓柱面上任意一點(diǎn)到軸距離的平方是，所以要求的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為。33計(jì)算，其中是球面在第一卦限中的部分。解1直接化為二重積分計(jì)算。由于，所以。記，則解2記，。取，方向向下；

11、，方向向左；，方向向后。根據(jù)Gauss公式，得其中是球體在第一掛限中的部分。34計(jì)算,其中，是向上的法向量。解1由于，所以。根據(jù)曲面關(guān)于坐標(biāo)面的對(duì)稱性，得，同樣的理由，得，因此。解2記，方向向下；。根據(jù)高斯公式，得35計(jì)算曲面積分，其中是由及圍成的圓柱體的表面，外側(cè)為正。解 記，方向向上；，方向向下；，方向向右；，方向向左。則36計(jì)算曲面積分，其中為旋轉(zhuǎn)拋物面介于和之間的部分，上側(cè)為正。解1 記，則解2設(shè)分別是曲面在三個(gè)坐標(biāo)面和上的投影區(qū)域，則，所以解3 取，下側(cè)為正，是由和圍成的區(qū)域，根據(jù)高斯公式得37計(jì)算曲面積分 ，其中為（1）；（2）。解 （1）根據(jù)高斯公式及三重積分的對(duì)稱性質(zhì)，得（2）

12、記，根據(jù)高斯公式及三重積分的對(duì)稱性質(zhì)，得38計(jì)算曲面積分 ，其中。解 根據(jù)高斯公式，得由于積分域關(guān)于坐標(biāo)面對(duì)稱，所以。從而39計(jì)算，其中曲面是區(qū)域：的外表面.解 根據(jù)高斯公式，得令則，根據(jù)三重積分的變量替換公式，得40設(shè)，求。解，所以；41設(shè)是球面，外側(cè)為正；是曲線，方向?yàn)閺妮S正向看是逆時(shí)針。求向量場(chǎng)通過曲面的通量和沿曲線的環(huán)量。解 根據(jù)通量概念，得，設(shè)是球體，利用高斯公式，得根據(jù)通量的概念，得，由于曲線的參數(shù)方程為 ，所以42設(shè)，求在點(diǎn)處方向?qū)?shù)最大的方向和方向?qū)?shù)的最大值。解 根據(jù)梯度的幾何意義，函數(shù)在一點(diǎn)沿其梯度方向的方向?qū)?shù)最大，且方向?qū)?shù)的最大值就是其梯度向量的長度，所以；。43設(shè)，

13、求，。解 ；44計(jì)算，其中是球面，外側(cè)為正。解 因?yàn)榈恼騿挝环ㄏ蛄?，所以根據(jù)兩類曲面積分的關(guān)系得根據(jù)第一型曲面積分的對(duì)稱性質(zhì)，得，,所以令，則。45計(jì)算曲面積分 ，其中，為橢球面，為的外向單位法向量。解 記 ，則，所以令，則 ，所以當(dāng) 時(shí)，有 。取為球面 ，內(nèi)側(cè)為正，其中為足夠小的正數(shù)。在橢球面與球面圍成的區(qū)域內(nèi)，函數(shù)均有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，根據(jù)高斯公式，得。又由于所以。46 設(shè)是中心在點(diǎn)，半徑為的球體，是的正向邊界面，是的體積，函數(shù)，均具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求證。證 由于函數(shù)，均具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，根據(jù)高斯公式，得。因?yàn)楹瘮?shù)連續(xù)，所以存在點(diǎn)，使得，由于當(dāng)時(shí)，且在點(diǎn)連續(xù)，所以47設(shè)函數(shù)在上半空

14、間具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明對(duì)內(nèi)任意的封閉光滑曲面， 恒成立的充要條件是，其中。證“”記是中以為邊界的區(qū)域，根據(jù)高斯公式得。因?yàn)?，所以，考慮到的任意性，得。若不然，不妨設(shè)存在，使得，由于在點(diǎn)處連續(xù)，所以存在，當(dāng)時(shí)，有成立。取為中心在，半徑為的球域，則，這與上述結(jié)論矛盾，故?！啊庇捎?，所以對(duì)內(nèi)任意的封閉光滑曲面，恒有成立。 48設(shè)對(duì)于半空間內(nèi)任意的光滑有向封閉曲面，都有，其中，且，求的表達(dá)式。解 設(shè)是由曲面圍成的空間域，根據(jù)高斯公式，得利用題中條件，得，考慮到積分域任意性和被積函數(shù)在時(shí)的連續(xù)性，可得，即，解得，由于，所以，從而。49設(shè)是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的一張錐面，若與平面圍成一個(gè)錐體，且其底面積是，高是，體積是，求證 。證 根據(jù)題意，錐體W的表面由錐面與平面上的一塊平面組成。若記