積分中值定理在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用畢業(yè)論文

1、洛陽(yáng)師范學(xué)院本科畢業(yè)論文積分中值定理在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用學(xué)生姓名 歐露露 學(xué)號(hào) 080424011 所在院(系) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 專業(yè)班級(jí) 08級(jí)信息與計(jì)算專業(yè) 指導(dǎo)教師 李向陽(yáng) 完成地點(diǎn) 洛陽(yáng)師范學(xué)院 2012年 5月 30日積分中值定理在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用歐露露（洛陽(yáng)師范學(xué)院08級(jí)信息與計(jì)算專業(yè)）指導(dǎo)老師：李向陽(yáng)摘 要 本文主要介紹了積分中值定理在數(shù)學(xué)分析中應(yīng)用時(shí)的注意事項(xiàng)及幾點(diǎn)主要應(yīng)用,這些應(yīng)用主要是：一.求函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的平均值;二.估計(jì)定積分的值;三.求含有定積分的極限;四.確定積分的符號(hào);五.證明中值的存在性命題;六.證明積分不等式;七.證明函數(shù)的單調(diào)性.關(guān)鍵詞 積分;中值;定理;應(yīng)用

2、1 引言積分中值定理是數(shù)學(xué)分析中的主要定理之一,同時(shí)也是定積分的一個(gè)主要性質(zhì),它建立了積分和被積函數(shù)之間的關(guān)系,從而我們可以通過(guò)被積函數(shù)的性質(zhì)來(lái)研究部分的性質(zhì),有較高的理論價(jià)值和廣泛應(yīng)用.本文就其在解題中的應(yīng)用進(jìn)行討論.2 預(yù)備知識(shí)定理 2.11 (積分第一中值定理) 若在區(qū)間a,b上連續(xù),則在a,b上至少存在一點(diǎn)使得 .證明 由于在區(qū)間a,b上連續(xù),因此存在最大值和最小值.由,使用積分不等式性質(zhì)得到,或.再由連續(xù)函數(shù)的介值性,至少存在一點(diǎn),使得定理 2.21 (推廣的積分第一中值定理) 若在閉區(qū)間上連續(xù),且在上不變號(hào),則在至少存在一點(diǎn),使得證明 推廣的第一中值積分定理不妨設(shè)在上則在上有其中,

3、分別為在上的最小值和最大值,則有若,則由上式知,從而對(duì)上任何一點(diǎn),定理都成立.若則由上式得則在上至少存在一點(diǎn),使得即 顯然,當(dāng)時(shí),推廣的積分第一中值定理就是積分中值定理3 積分中值定理的應(yīng)用由于積分中值定理可以使積分號(hào)去掉,從而使問(wèn)題簡(jiǎn)化,對(duì)于證明包含函數(shù)積分和某個(gè)函數(shù)值之間關(guān)系的等式和不等式,也可以考慮使用積分中值定理. 在使用積分中值定理時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：(1) 在應(yīng)用中要注意被積函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)這一條件,否則,結(jié)論不一定成立.例如顯然在處間斷.由于但在上,所以,對(duì)任何都不能使.(2) 定理中的在區(qū)間上不變號(hào)這個(gè)條件也不能去掉.例如 令 由于 ,但所以,不存在,使(3) 定理中所指出的并不

4、一定是唯一的,也不一定必須是的內(nèi)點(diǎn).例如 令,則對(duì)都有,這也說(shuō)明了未必在區(qū)間的內(nèi)點(diǎn).下面就就其應(yīng)用進(jìn)行討論.3.1 求函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的平均值例1 試求在上的平均值.解 平均值例2 試求心形線上各點(diǎn)極經(jīng)的平均值.解 平均值注 在解某區(qū)間上一個(gè)函數(shù)的平均值時(shí),我們只需要在這個(gè)區(qū)間上對(duì)這個(gè)函數(shù)進(jìn)行積分,然后積分結(jié)果除以區(qū)間的差值.在這里主要是應(yīng)用了積分第一中值定理,所以求解其類問(wèn)題時(shí),一定要理解積分中值定理的定義.3.2 估計(jì)定積分的值例3 估計(jì)的值.解 由推廣的積分第一中值定理,得 其中因?yàn)樗约?故例 4 估計(jì)的值.解 因?yàn)樵谏线B續(xù),且,所以由積分第一中值定理有. 在估計(jì)其類積分的值時(shí),首先我

5、們要確定被積函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)的基礎(chǔ)上確定被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值和最小值,然后再利用積分中值定理就迎刃而解了.例 5 估計(jì)的值.解 因?yàn)樵谏线B續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且在內(nèi)無(wú)解,即,等號(hào)僅在時(shí)成立.故在內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增,即,所以由積分第一中值定理有.在估計(jì)其類積分的值時(shí),首先要確定要積分的函數(shù)在積分閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間上可導(dǎo),然后判斷函數(shù)在積分區(qū)間上的單調(diào)性,最后利用積分中值定理就可以估計(jì)積分的值了.綜上,在利用積分中值定理估計(jì)積分的值時(shí),我們要根據(jù)不同的題型給出不同的解決方法,這也是我們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中逐漸要培養(yǎng)的,積累的好習(xí)慣.3.3 求含有定積分的極限例6 求極限為自然數(shù).解 利用中值定理,得因

6、為在上連續(xù),由積分中值定理得當(dāng)時(shí),而|.故=0.例7 求.解 若直接用中值定理=,因?yàn)槎荒車?yán)格斷定,其癥結(jié)在于沒(méi)有排除,故采取下列措施=+.其中為任意小的正數(shù).對(duì)第一積分中值定理使用推廣的積分第一中值定理,有.=,.而第二個(gè)積分=,由于得任意性知其課任意小.所以=+=0.注 求解其類問(wèn)題的關(guān)鍵是使用積分中值定理去掉積分符號(hào).在應(yīng)用該定理時(shí),要注中值不僅依賴于積分區(qū)間,而且還依賴于根式中自變量的趨近方式.3.4 確定積分的符號(hào)例8 確定積分的符號(hào).解 =+=+=+ =-+ =利用積分中值定理,得=0.(其中)又在上不恒等于0,故. 注 在解決其類題時(shí),我們常常會(huì)以0作為上下限的中介點(diǎn),然后把原

7、積分寫成以0為中介點(diǎn)的兩個(gè)積分的和,積分化就成兩個(gè)以0為中介點(diǎn)且上下限一樣的積分相加,最后利用積分中值定理確定積分的符號(hào).這里主要使用了積分中值定理和函數(shù)的單調(diào)性.3.5 證明中值的存在性命題例9 設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,證明,使,證明 由積分中值定理得,（其中）又因?yàn)樵谏线B續(xù),在內(nèi)可導(dǎo).故在上滿足羅爾定理?xiàng)l件,可存在一點(diǎn),使. 注 在證明有關(guān)題設(shè)中含有抽象函數(shù)的定積分等式時(shí),一般應(yīng)用積分中值定理求解,掌握積分中值定理在解此類問(wèn)題時(shí)至關(guān)重要,是我們必須要好好掌握的.3.6 證明不等式例10 求證 證明 其中,于是由即可獲證.例 11 證明 .證明 估計(jì)連續(xù)函數(shù)的積分值的一般的方法是求在的

8、最大值和最小值,則.因?yàn)?,所以.例 12 證明 證明 估計(jì)積分的一般的方法是:求在的最大值和最小值,又若,則.本題中令 .因?yàn)?所以.例13 證明.證明 在區(qū)間上求函數(shù)的最大值和最小值.,令,得駐點(diǎn).比較,知為在上的最小值,而為在上的最大值.由積分中值定理得,即.注 由于積分具有許多特殊的運(yùn)算性質(zhì),故積分不等式的證明往往富有很強(qiáng)的技巧性.在證明含有定積分的不等式時(shí),也?？紤]用積分中值定理,以便去掉積分符號(hào),若被積函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)之積時(shí),可考慮用廣義積分中值定理.如果在證明如11和12例題時(shí),可以根據(jù)估計(jì)定積分的值在證明比較簡(jiǎn)單方便.3.7 證明函數(shù)的單調(diào)性例 14 設(shè)函數(shù)在上連續(xù),試證:在內(nèi),

9、若為非減函數(shù),則為非增函數(shù). 證明 ,對(duì)上式求導(dǎo),得利用積分中值定理,得,若為非減函數(shù),則,所以,故為非減函數(shù). 綜上所述,積分中值定理在應(yīng)用中所起到的重要作用是可以使積分號(hào)去掉,從而使問(wèn)題簡(jiǎn)單化.因此,對(duì)于證明有關(guān)題設(shè)中含有某個(gè)函數(shù)積分的等式或不等式,或者要證的結(jié)論中含有定積分,或者所求的極限式中含有定積分時(shí),一般應(yīng)考慮使用積分中值定理,去掉積分號(hào).在使用該定理時(shí),常與微分中值定理或定積分的其他一些性質(zhì)結(jié)合使用,是所求問(wèn)題迎刃而解.參考文獻(xiàn)1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析M.北京:高等教育出版社,2001.217-219.2張筑生.數(shù)學(xué)分析新講M.北京:北京大學(xué)出版社,1990.92-95.3

10、 劉玉蓮,傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義M.第二版.北京:高等教育出版社,1996.43-47.4劉鴻基.數(shù)學(xué)分析習(xí)題講義M.江蘇:中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社,1999.85-92.5石建成,李佩芝,徐文雄.高等數(shù)學(xué)例題與習(xí)題集M.西安:西安交通大學(xué)出版社,2002.168-170.6李惜雯.數(shù)學(xué)分析例題解析及難點(diǎn)注釋M.西安:西安交通大學(xué)出版社,2004.311-313.7白永麗,張建中.略談積分中值定理及應(yīng)用J.平頂山工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院.(2003) 01-03.8劉開生,王貴軍.積分中值定理的推廣J.天水師范學(xué)院. Vol.26,No.2,(2006) 02-0023-02.9周建瑩,李正元.高等數(shù)學(xué)解題指

11、南M.北京:北京大學(xué)出版社,2002.212-214.10劉劍秋,徐綏,高立仁.高等數(shù)學(xué)習(xí)題集(上)M.天津:天津大學(xué)出版社,1987.254-25511吳炯圻.數(shù)學(xué)專業(yè)英語(yǔ)M.第二版.北京:高等教育出版社,2009.285-309.12AI Jing-hua.Characters Equal Definitions and application of Convex FunctionJ.Journal of Kaifeng University, Vol.17,No.2,Jun.2003.122-164.13 W. Rmdin, Principle of Mathematical Analy

12、sis （Second edition）, Mc Graw-Hill , New York, 1964.96-102.Mean Value Theorem in Mathematical AnalysisLi Zhengbang(Grade06,Class5, Major in Mathematics and Applied Mathematics, Department of Mathematics,Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000, Shaanxi)Tutor:Li JinlongAbstract: This paper describes the mean value theorem in mathematical analysis application note and a few of the major applications.These applications are mainly:1. Demand function in an interval on the average;2. The estimated value of definite integral;3. Order to contain the limits of definite integra