矩陣的對(duì)角化及其應(yīng)用畢業(yè)論文

1、學(xué)科分類(lèi)號(hào)（二級(jí)）110.2110本科學(xué)生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題目 矩陣的對(duì)角化及其應(yīng)用姓名江小敏學(xué)號(hào)084080217院、系數(shù)學(xué)學(xué)院專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師王守峰職稱(chēng)（學(xué)歷）講師（博士）矩陣的對(duì)角化及其應(yīng)用摘要： 本文較為系統(tǒng)的總結(jié)了矩陣可對(duì)角化的若干條件和矩陣對(duì)角化的方法，同時(shí)考慮了矩陣對(duì)角化的一些應(yīng)用，并以例題加以說(shuō)明關(guān)鍵詞：矩陣對(duì)角化；應(yīng)用1. 引言及相關(guān)概念矩陣的對(duì)角化指的是矩陣與對(duì)角矩陣相似，而形式最簡(jiǎn)單的對(duì)角矩陣在矩陣?yán)碚撝姓加兄匾匚?，因此研究矩陣的?duì)角化問(wèn)題是很有實(shí)用價(jià)值的目前對(duì)于矩陣可對(duì)角化的條件，矩陣對(duì)角化的方法和矩陣對(duì)角化的運(yùn)用都有了較為全面和深入的研究其中王萼芳和石生明

2、在參考文獻(xiàn)1 中重點(diǎn)介紹了矩陣對(duì)角化的特征值特征向量法和矩陣可對(duì)角化的幾個(gè)條件，如；A可對(duì)角化的充分必要條件是A有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的量李啟文和謝季堅(jiān)在參考文獻(xiàn)2詳細(xì)介紹了利用矩陣的初等變換將矩陣對(duì)角化和利用矩陣的乘法運(yùn)算將矩陣對(duì)角化兩種比較常用方法還有徐仲在參考文獻(xiàn)3 （第二版）中利用例題詳細(xì)講解了矩陣對(duì)角化的幾種應(yīng)用文獻(xiàn)4-10也都涉及到了矩陣對(duì)角化及其應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)在歸納總結(jié)前人的基礎(chǔ)之上，本文首先利用圖示法給出了矩陣對(duì)角化的若干條件，然后介紹了矩陣對(duì)角化的三種方法：利用特征值和特征向量將矩陣對(duì)角化、利用用矩陣的初等變換將矩陣對(duì)角化、利用用矩陣的乘法運(yùn)算將矩陣對(duì)角化并用這三種方法解同一道例題，

3、從而比較出三種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，最后總結(jié)了矩陣對(duì)角化在由特征值和特征向量反求矩陣、求方陣的高次冪、求行列式的值、求一些具有線(xiàn)性遞推關(guān)系組的數(shù)列的通項(xiàng)和極限和二次曲面上的一些應(yīng)用下面列舉本文需要的基本概念定義1.1如下形式的nn矩陣A=稱(chēng)為對(duì)角矩陣，簡(jiǎn)記為A=diag定義1.2設(shè)A、B為數(shù)域P上的兩個(gè)n級(jí)矩陣，如果存在數(shù)域P上的n級(jí)可逆矩陣T,使得B=AT，則稱(chēng)A相似于B，記為AB定義1.3如果在數(shù)域P上，對(duì)n級(jí)矩陣A存在一個(gè)可逆矩陣T，使得AT為對(duì)角矩陣，則稱(chēng)矩陣A在數(shù)域P上可對(duì)角化；當(dāng)A可對(duì)角化時(shí)，我們說(shuō)將A對(duì)角化，即指求可逆矩陣T使得AT為對(duì)角矩陣2. 矩陣可對(duì)角化的條件對(duì)于矩陣A=，我們可以

4、找到一個(gè)可逆矩陣T=，使得AT=，而又是一個(gè)對(duì)角矩陣根據(jù)定義1.3知，矩陣A=可對(duì)角化但對(duì)于矩陣B=而言，若存在可逆矩陣T=，使得BT為對(duì)角矩陣，即=，得到=則有，即要全為0但這與矩陣T可逆矛盾因此對(duì)于矩陣B=不存在可逆矩陣T，使得AT為對(duì)角矩陣我們知矩陣B=不可對(duì)角化由此我們知道不是任何矩陣都可以對(duì)角化，矩陣的對(duì)角化是有條件的現(xiàn)給出矩陣可對(duì)角化的若干條件如下圖所示：矩陣A可對(duì)角化設(shè)A=，則矩陣A有n個(gè)互異的特征值矩陣A有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量矩陣A為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣矩陣A的所有重特征值對(duì)應(yīng)個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量矩陣A正交相似于實(shí)對(duì)角矩陣3. 矩陣對(duì)角化的三種方法矩陣對(duì)角化最常見(jiàn)的方法是考察矩陣的特征

5、值和特征向量的方法由于這種方法一般教材都有詳細(xì)介紹，這里用圖示加以總結(jié)解特征方程得特征值 矩陣A是否有重特征值否否是矩陣A不可對(duì)角化矩陣A的所有重特征值是否對(duì)應(yīng)個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的的特征向量是矩陣A可對(duì)角化求每個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量 取矩陣則有 AT=diag 矩陣對(duì)角化的第二種方法是利用矩陣的初等變換，其理論基礎(chǔ)是下述定理定理3.14如果，E經(jīng)過(guò)初等變換化為D(),P(),其中表示特征矩陣的轉(zhuǎn)置，D()為對(duì)角矩陣，則（1）矩陣A的特征值為D()對(duì)角線(xiàn)上元素的乘積所得到的關(guān)于多項(xiàng)式的根（2）對(duì)于A的每個(gè)特征值，其特征向量是P（）中與D（）的零行對(duì)應(yīng)的行向量（3）矩陣A可對(duì)角化的充要條件是D（）中零行的

6、數(shù)目等于的重?cái)?shù)矩陣對(duì)角化還可以根據(jù)以下定理進(jìn)行定理3.24設(shè)是矩陣A在數(shù)域P上的全部互異的特征值，（1）若,則A可以對(duì)角化，反之，不可以對(duì)角化（2）設(shè)是r重根，則A的屬于（=1，2,）的特征向量是矩陣列向量中的前r列例1判斷矩陣A=可否對(duì)角化，若可以，求可逆矩陣T，使得AT為對(duì)角矩陣解法一：=,所以特征值是2（二重）和-4解齊次線(xiàn)性方程組，得一基礎(chǔ)解系為和二重特征值2有2個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量則矩陣A可對(duì)角化解齊次線(xiàn)性方程組,得一基礎(chǔ)解系為取T=，則AT=說(shuō)明：這種方法相對(duì)來(lái)說(shuō)比較簡(jiǎn)單和基礎(chǔ)，也是常用方法解法二：，E=故A的特征值是2（二重）和-4D（2），P（2）=，得和是A屬于2的特征向量D

7、（-4），P（-4）=，得是A屬于-4的特征向量于是取T=，則AT=說(shuō)明：對(duì)，E做初等變換使化為D(),P()的過(guò)程中，收到了特征值和特征向量同步求解的效果，而且可逆矩陣T和對(duì)角矩陣的求解可以分別從最終的-矩陣P（）和D（）“讀”出來(lái)解法三：由上知2和-4是矩陣A的全部互異的特征值，我們可以計(jì)算得到，從而矩陣A可以對(duì)角化由于2是二重特征根，則矩陣A的屬于2的特征向量是矩陣A+4E列向量組的前2列；矩陣A的屬于-4的特征向量是矩陣A-2E列向量組的前一列由此可得到可逆矩陣T=,使得AT=說(shuō)明：相比起來(lái)這種方法在具體對(duì)角化的過(guò)程中運(yùn)算量沒(méi)有明顯減少，但因其步驟簡(jiǎn)單，可以作為數(shù)學(xué)軟件求解的理論依據(jù)例

8、如在Matlab中求解特征值和矩陣相乘只分別需要eig（A）和C=A*B一行簡(jiǎn)單的代碼即可完成上述三種方法各有利弊，在使用的時(shí)候須結(jié)合矩陣本身的特點(diǎn)加以區(qū)分對(duì)待，靈活把握4. 矩陣對(duì)角化的應(yīng)用本節(jié)探討矩陣對(duì)角化在以下幾個(gè)方面的應(yīng)用4.1在反求矩陣方面的應(yīng)用已知n級(jí)矩陣A的特征值和特征向量反求矩陣A時(shí)，若矩陣A可對(duì)角化，則有簡(jiǎn)單的方法事實(shí)上，當(dāng)n級(jí)矩陣A可對(duì)角化時(shí)，存在由矩陣A的n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量組成的可逆矩陣T，使得AT=B,其中B是由A的所有特征值組成的對(duì)角矩陣，則A=TB即為所求例2設(shè)3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的特征值為=-1，=1，=1對(duì)應(yīng)于的特征向量為=,求矩陣A分析：由矩陣可對(duì)角化的條件知

9、，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A是可對(duì)角化的，為了得到可逆矩陣P，還須求出對(duì)應(yīng)于=1，=1的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，這還要利用到實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交的這一性質(zhì)解：設(shè)對(duì)應(yīng)于=1，=1的特征向量為，它應(yīng)與特征向量正交，即0+=0。得到基礎(chǔ)解系為和，它們即是對(duì)應(yīng)于=1，=1的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量取P=(,)=,B=，則=B于是A=4.2 求方陣的高次冪求方陣的高次冪（k為正整數(shù)），若直接計(jì)算,按歸納法來(lái)尋求的規(guī)律有時(shí)是很困難的若矩陣A可對(duì)角化，計(jì)算矩陣A的高次冪就有簡(jiǎn)單的方法事實(shí)上，若有AT=B，其中B= =diag，k有A= TB則有= =，而=diag。則有=T例3設(shè)A=，求解：由=0得A得特征

10、值為對(duì)于特征值解方程組,得到兩個(gè)對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為對(duì)于，解方程組,得到對(duì)應(yīng)的特征向量為令則,故=4.3 求行列式的值對(duì)于具體給出的行列式，我們常利用行列式的性質(zhì)對(duì)行列式進(jìn)行初等變換，將其化為三角行列式直寫(xiě)出其值，或者化為含0較多的行列式，進(jìn)而按行（列）展開(kāi)降低行列式的階數(shù)求行列式的方法有很多，應(yīng)針對(duì)不同的行列式類(lèi)型采用最簡(jiǎn)便的方法而計(jì)算抽象方陣的行列式時(shí)，主要是利用行列式的性質(zhì)及行列式的計(jì)算公式若抽象方陣可對(duì)角化，求其行列式有簡(jiǎn)單的方法例4設(shè)A是n階方陣，是A的n個(gè)特征值E是一個(gè)n階單位方陣計(jì)算行列式的值解：已知n階方陣A有n個(gè)互異的特征值，而由矩陣可對(duì)角化的條件知，n階方陣A可對(duì)角化

11、的故存在可逆矩陣T使得AT=B=diag于是 =4.4求一些具有線(xiàn)性遞推關(guān)系組的數(shù)列的通項(xiàng)和極限對(duì)于一類(lèi)具有線(xiàn)性遞推關(guān)系組的數(shù)列，可利用矩陣來(lái)表示出遞推關(guān)系，然后利用矩陣對(duì)角化的方法，可得到數(shù)列的通項(xiàng).若數(shù)列有極限，進(jìn)而求出數(shù)列的極限例5已知。證明及存在且相等，并求出極限證明：將遞推關(guān)系化簡(jiǎn)為再改寫(xiě)為矩陣的形式：記A=由求得矩陣A的特征值為分別對(duì)應(yīng)的特征向量為,取則于是得到=故，于是=4.5 在二次曲面上的一些應(yīng)用設(shè)是n元實(shí)二次型，那么=1或=0表示什么樣的二次曲面呢？若把此二次曲面對(duì)應(yīng)的矩陣化為對(duì)角矩陣，即作直角坐標(biāo)變換使得這個(gè)二次曲面的方程在新坐標(biāo)下不含有交叉項(xiàng)，就可看出它是什么二次曲面例

12、6設(shè)二次曲面在直角坐標(biāo)系I的方程為試問(wèn)：這是什么二次曲面？解：令，則對(duì)應(yīng)的的矩陣A=。由得A的特征值,可求出對(duì)應(yīng)的特征向量為將其正交化得,;再單位化得，又對(duì)應(yīng)于的特征向量為，單位化得=故正交變換化二次曲面為，可知表示旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面參考文獻(xiàn)：1 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組編高等代數(shù)，第二版，北京：高等教育出版社，1988：278-323.2 李啟文，謝季堅(jiān)線(xiàn)性代數(shù)理論與解題方法，長(zhǎng)沙：湖南大學(xué)出版社，2001：318-328.3 徐仲線(xiàn)性代數(shù)典型題分析解集，第二版，西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2000：158-1.4馮莉. 矩陣對(duì)角化的若干方法J.赤峰學(xué)院學(xué)報(bào), 2011，27（9）：

13、9-11. 5 丘維聲高等代數(shù)(上冊(cè))，北京：高等教育出版社，1999：247-2526 羅雪梅, 孟艷雙, 鄭艷琳. 淺析矩陣的秩J. 高等數(shù)學(xué)研究, 2003,6（2）：33-35.7謝國(guó)瑞. 線(xiàn)性代數(shù)及其應(yīng)用M. 北京：高等教育出版社, 2000.8屠伯塤, 徐誠(chéng)浩, 王芬. 高等代數(shù)M. 上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社, 1987.9 李炯生, 查建國(guó), 王新茂. 線(xiàn)性代數(shù)M. 安徽：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社, 2010.10Ranson Myser & Boris Worm ,A special decomposition for symmetric matrix,Journal of Math Research & Exposition ,Vol.13,No.4,Nov,1993.Diagonalization of matrixes and its applicationAbstract:In this paper, we summary some conditions of diagonalization of mat