必修四培優(yōu)講義-教師版

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第一章 三角函數(shù)1任意角：2角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角第一象限角的集合為；第二象限角的集合為；第三象限角的集合為；第四象限角的集合為；終邊在軸上的角的集合為；終邊在軸上的角的集合為；終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為.3.由角所在象限判斷所在象限：、4與角終邊相同的角的集合為5長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做弧度6半徑為的圓的圓心角所對(duì)弧的長(zhǎng)為，則角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是7弧度制與角度制的換算公式：，8若扇形的圓心角為，半徑為，弧長(zhǎng)為，周長(zhǎng)為，面積為，則(1)弧長(zhǎng)公式：=(為圓心角的角度數(shù))；(2) 扇形的周長(zhǎng)：；(3)扇

2、形的面積公式：9.特殊角的三角函數(shù)值：度弧度0010-1010-10101不存在-10不存在010.設(shè)是一個(gè)任意大小的角，的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是，它與原點(diǎn)的距離是，則，； ；. Pvx y A O M T 11.三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正記憶口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 12三角函數(shù)線：，正弦線：MP; 余弦線：OM; 正切線： AT.13.三角函數(shù)間的基本關(guān)系：(1)平方關(guān)系： (2)商數(shù)關(guān)系： (3)乘積關(guān)系: 14.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：公式一公式八：記憶口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限1、公式一公式四：記憶口訣：函

3、數(shù)名稱不變，符號(hào)看象限誘導(dǎo)公式一： ，誘導(dǎo)公式二：，誘導(dǎo)公式三：，誘導(dǎo)公式四：，2、公式五公式八：記憶口訣：正弦與余弦互換，符號(hào)看象限誘導(dǎo)公式五：，誘導(dǎo)公式六：，誘導(dǎo)公式七： ，.誘導(dǎo)公式八： ，.15(1)的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象(2)函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有

4、點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象16函數(shù)的性質(zhì)：振幅：；周期：；頻率：；相位：；初相：函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為 ；當(dāng)時(shí)，取得最大值為，則，17正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)性質(zhì) 圖象定義域值域最值當(dāng)時(shí)，；當(dāng) 時(shí)，當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，既無最大值也無最小值周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)對(duì)稱性對(duì)稱中心對(duì)稱軸對(duì)稱中心對(duì)稱軸對(duì)稱中心無對(duì)稱軸第二章 平面向量18向量：既有大小，又有方向的量 數(shù)量：只有大小，沒有方向的量有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度 零向量：長(zhǎng)度為的向量單位向量：長(zhǎng)度等于個(gè)單

5、位的向量平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量零向量與任一向量平行相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量19向量加法運(yùn)算：三角形法則的特點(diǎn)：首尾相連，首尾連平行四邊形法則的特點(diǎn)：作平移，共起點(diǎn)，連對(duì)角 三角形不等式：運(yùn)算性質(zhì)：交換律：；結(jié)合律：；坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則20向量減法運(yùn)算：三角形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則21向量數(shù)乘運(yùn)算：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量的運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)運(yùn)算律：；坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則22向量共線定理：向量與共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一 一個(gè)實(shí)數(shù)，使設(shè)，其中，則當(dāng)且

6、僅當(dāng)時(shí)，向量、共線23.平面向量基本定理：如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè) 不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使（不共線的向量、作為這一平面內(nèi)所有向量的一組基底）24.(1)定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，、的坐標(biāo)分別是，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是（當(dāng)時(shí)，就是中點(diǎn)坐標(biāo)公式）(2)中點(diǎn)坐標(biāo)公式：，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.25.重心坐標(biāo)公式設(shè)，則ABC的重心坐標(biāo).26.平面向量的數(shù)量積：零向量與任一向量的數(shù)量積為性質(zhì)：設(shè)和都是非零向量，則當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，；或運(yùn)算律：；坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)兩個(gè)非零向量，則若，則，或 設(shè)，則設(shè)、都是非零向量，是與的夾角，則第三章 三角恒等變換27. 兩角和或差

7、的公式：(1)；(2)；(3) （）；(4) （）（5）cot(A+B) = cot(A-B) =28.兩角的和差化積和積化和差公式（1）和差化積公式：（2）積化和差公式：29.二倍角公式： 升冪公式:降冪公式:， （4）三倍角公式 1. sin3A = 3sinA-4(sinA)3 2.cos3A = 4(cosA)3-3cosA3.tan3a = tana·tan(+a)·tan(-a)30.萬(wàn)能公式：; ; tana=31.半角公式：;. （后兩個(gè)不用判斷符號(hào)，更加好用）32.輔助角公式：，asinbcoscos（）其中 (合一變形把兩個(gè)三角函數(shù)的和或差化為“一個(gè)三角

8、函數(shù)，一個(gè)角，一次方”的 形式.)33. 解三角形1.正弦定理：及其變形公式有：（1）；（2）；（3）等2.余弦定理： 及其變形：等；三角形面積公式：第一講 任意象限角與弧度制典型例題【例1】角的終邊為射線，求2sin+cos的值?！纠?】已知一扇形的中心角是，所在圓的半徑是.（1）若，求角所對(duì)的扇形的弧長(zhǎng)及弧所在的弓形面積；（2）若扇形的周長(zhǎng)是一定值，當(dāng)為多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積？【例3】若為第三象限角，求、所在象限，并在平面直角坐標(biāo)系表示出來【例4】已知，證明。 隨堂練習(xí)題1、已知集合第一象限角，銳角，小于的角，則下列關(guān)系正確的是（ ） . 、已知角，在區(qū)間內(nèi)找出所有與角有相同終邊的角

9、_.3、的值( ) 小于 大于 等于 不存在4、若，則( ) D 5、若為第一象限角，那么能確定為正值的是( ) cos2 6、集合，則( ) 7、若、為第三象限角，且，則（ ）（A）（B）（C）（D）以上都不對(duì)8、函數(shù)的值域是_。9、角的終邊上有一點(diǎn)，實(shí)數(shù)，則的值是_。10、某一時(shí)鐘分針長(zhǎng)，將時(shí)間撥慢分鐘，分針掃過的圖形的面積為_。11、_。 12、若 角滿足，且，則為第_象限角。13、函數(shù)的定義域是_。14、已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_。15、已知集合，_。16、已知角的終邊上一點(diǎn)，且，則tan_。17、給出下列四個(gè)命題：（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則是第一或第二

10、象限角；（4）若是第一或第二象限角，則這四個(gè)命題中，錯(cuò)誤的命題有_。18、 已知，求的值及相應(yīng)的取值范圍。第二講三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及化簡(jiǎn)求值例1求下列三角函數(shù)值： （1）cos210º； (2)sin例2求下列各式的值： （1）sin()； (2)cos(60º)sin(210º)例3化簡(jiǎn) 例4已知cos(+)=，<<2，則sin(2)的值是（ ）(A)(B) (C)(D)±例5、求證： 例6 例7 隨堂練習(xí)題 1.在直角坐標(biāo)系中，若角與終邊互為反向延長(zhǎng)線，與之間的關(guān)系是（ ）A B C D2.圓內(nèi)一條弦的長(zhǎng)等于半徑，這條弦所對(duì)的圓心角是（ ）

11、A等于1弧度 B大于1弧度 C小于1弧度 D無法判斷3. 角的終邊上有一點(diǎn)P(a，a)，aR，且a0，則sin的值是()AB-C±D14. 是第二象限角，其終邊上一點(diǎn)P（x，），且cosx，則sin的值為（）ABCD5.設(shè)角是第二象限角，且|cos|cos，則角是（）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角6. 已知，則等于（）AB CD7. 函數(shù)的值域是（）A0，2 B2，0C2，0，2D2，28. 化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ）A、 B、 C、 D、9. 若，則等于（ ）A、1 B、2 C、-1 D、-210. 若A、B、C為ABC的三個(gè)內(nèi)角，則下列等式成立的是（ ）AB C D 1

12、1. 若，則的值是（ ）A、 B、 C、 D、12. 若、是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根，則值為（ ）A、 B、 C、 D、13. 定義在R上的函數(shù)f（x）既是偶函數(shù)又是周期函數(shù).若f（x）的最小正周期是，且當(dāng)x0，時(shí)，f（x）=sinx，則f（）的值為( ) A. B. C. D.14. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ( ) A BC D15. 下列說法不正確的是 ( ) A正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域是R，值域是-1，1；B余弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)x=2k( kZ) 時(shí)，取得最大值1； C余弦函數(shù)在2k+,2k+( kZ)上都是減函數(shù)； D余弦函數(shù)在2k-,2k( kZ)上都是減函數(shù)16. 若a=sin460,b=

13、cos460,c=tan360，則a、b、c的大小關(guān)系是( )A c> a > b B. a > b> c C. a >c> b D. b> c> a18. 若是第四象限角，則是 （ ）A 第一象限 B.第二象限 C. 第三象限期 D.第四象限19.若，則的值為 .20. sintan= _21.若是第二象限的角，則是第 象限的角。22.若角的終邊與角的終邊相同，則在上終邊與的角終邊相同的角為 ；23.終邊在軸上的角的集合為 ，終邊在軸上的角的集合為 ，終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為 。24. 已知，若，求的值。25. 已知，求的值.26. 已知：，

14、求和的值。27. 若cos ，是第四象限角，求第三講三角函數(shù)的定義域與值域二、典例講解【例題1】求下列函數(shù)的定義域（1）； （2）.【例題2】求下列函數(shù)的定義域（1）； （2）【例題3】求下列函數(shù)的值域（1）； （2）；（3）； （4）；【例題4】求下列函數(shù)的值域（1）； （2）.【例題5】求函數(shù)的值域.課堂練習(xí)題1、在坐標(biāo)系中，分別畫出滿足不等式的角x的區(qū)域，并寫出不等式的解集：（1）_. （2）_.（3）_. （4）_.2、（1）的定義域?yàn)開. （2）的定義域?yàn)開.3、4、的值域?yàn)開，的值域?yàn)開.5、當(dāng)從小到大排列為_.1、若所在的象限是（ ）A第二象限B第四象限C第二象限或第四象限 D第

15、一或第三象限2、若為銳角，則的取值范圍是（ ）ABCD3、在第三、四象限，的取值范圍是（ ）A（1，0）B（1,）C（1,）D（1，1）4、函數(shù)的值域是（ ）A2，2B1，1C0，2D0，15、（1）已知的定義域?yàn)開.（2）設(shè)的定義域?yàn)開.6、的值域?yàn)開，的值域?yàn)開， 的值域?yàn)開.7、求下列函數(shù)的定義域（1）（2）8、求下列函數(shù)的定義域（1）（2）9、求下列函數(shù)的值域 （1）（2）10、求下列函數(shù)的值域 （1）（2）11、求下列函數(shù)的值域 （1）（2）12、求1、若，求的取值范圍。2、 設(shè)、為銳角，且+，討論函數(shù)的最值。第四講 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)1函數(shù)最大值是，最小值是，周期是，頻率是，相位

16、是，初相是；其圖象的對(duì)稱軸是直線，凡是該圖象與直線的交點(diǎn)都是該圖象的對(duì)稱中心。2由ysinx的圖象變換出ysin(x)的圖象一般有兩個(gè)途徑，只有區(qū)別開這兩個(gè)途徑，才能靈活進(jìn)行圖象變換。3由yAsin(x)的圖象求其函數(shù)式： 4五點(diǎn)法作y=Asin（x+）的簡(jiǎn)圖：典例解析 例1（2013全國(guó)，5）函數(shù)yxcosx的部分圖象是（ ）例2試述如何由y=sin（2x+）的圖象得到y(tǒng)=sinx的圖象。例3（2009上海春，15）把曲線ycosx+2y1=0先沿x軸向右平移個(gè)單位，再沿y軸向下平移1個(gè)單位，得到的曲線方程是（ ）A（1y）sinx+2y3=0 B（y1）sinx+2y3=0 C（y+1）s

17、inx+2y+1=0 D(y+1)sinx+2y+1=0例4（2003上海春，18）已知函數(shù)f（x）=Asin（x+）（A>0，>0，xR）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，求直線y=與函數(shù)f（x）圖象的所有交點(diǎn)的坐標(biāo)。例5（1）已知f（x）的定義域?yàn)?，1，求f（cosx）的定義域；（2）求函數(shù)y=lgsin（cosx）的定義域；例6求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）y=sin（）；（2）y=sin（x+）。例7關(guān)于x的函數(shù)f（x）=sin（x+）有以下命題：對(duì)任意的，f（x）都是非奇非偶函數(shù)；不存在，使f（x）既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；存在，使f（x）是奇函數(shù)；對(duì)任意的，f（x）都不是偶函數(shù)

18、。其中一個(gè)假命題的序號(hào)是 . 例8設(shè)的周期，最大值，（1）求、的值；（2）。例9函數(shù)y的最大值是（ ）A1 B1 C1 D1隨堂練習(xí)題1、的最小正周期是 、對(duì)稱軸是 、單調(diào)遞增區(qū)間是 、單調(diào)遞減區(qū)間是；振幅是 、相位是 、初相是 。用五點(diǎn)法作出該函數(shù)的圖象。并說明該函數(shù)怎樣由變化而來。2、求的單調(diào)遞減區(qū)間。3、比較大小j；k4、求的最大值、最小值及對(duì)應(yīng)的x的取值范圍。5、求的最值及對(duì)應(yīng)的x的取值。6、若的最大值是，最小值是，求的值。7、為了得到的圖象，只須將的圖象向平移個(gè)單位。8、若，在其一個(gè)周期內(nèi)的圖象上有一個(gè)最高點(diǎn)和一個(gè)最低點(diǎn)，求這個(gè)函數(shù)的解析式。10、求的值域第五講 三角函數(shù)的圖像平移及

19、周期性例1、（北京）若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(1,-2),則tan 2的值為.例2、(天津)把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象所表示的函數(shù)是（ ）ABCD例3、（重慶理數(shù)）已知函數(shù)的部分圖象如題（6）圖所示，則（ ）A.=1 = B. =1 =- C. =2 = D. =2 = -例4、（福建理數(shù)）已知函數(shù)和的圖象的對(duì)稱軸完全相同。若，則的取值范圍是 例5、（廣東題）已知函數(shù) 的圖象在y軸上的截距為1，它在y軸右側(cè)的第一個(gè)最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)分別為，（）求函數(shù)的解析式；（）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間隨堂練習(xí)題1、若點(diǎn)P在的終邊上

20、，且OP=2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)（ ）ABDC2、（陜西理）對(duì)于函數(shù)，下列選項(xiàng)中正確的是 （ ） （A）f（x）在（，）上是遞增的 （B）的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 （C）的最小正周期為2 （D）的最大值為23、（全國(guó)卷2）為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像（ ） A.向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 B.向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位C.向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 D.向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位4、函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸方程是 （ ） AB C D 5、函數(shù)為增函數(shù)的區(qū)間是（ ）A B CD6、（海南寧夏卷）函數(shù)的最小值和最大值分別為（ ）A. 3，1B. 2，2C. 3，D. 2，7、函數(shù)以2為最小正周期，且能在時(shí)取得最大值，則的一個(gè)值是 （

21、 ）A B C D8、（全國(guó)卷理）若動(dòng)直線與函數(shù)和的圖像分別交于兩點(diǎn)，則的最大值為（ ） A1 BC D2 9、函數(shù)的部分圖象如圖，則 的值分別為 。10、（湖南卷理6）函數(shù)在區(qū)間上的最大值是 。 11、函數(shù)有意義，則x的取值范圍為 。12、函數(shù) （）以2為最小正周期，且能在時(shí)取得最大值，則的值是 。 13、（遼寧卷理16）已知，且在區(qū)間有最小值，無最大值，則_。 14、（陜西卷理17）已知函數(shù)（）求函數(shù)的最小正周期及最值；（）令，判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由。第六講 三角函數(shù)單調(diào)性及求最值問題一、 基礎(chǔ)知識(shí)：求三角函數(shù)最值的常用方法： 通過適當(dāng)?shù)娜亲儞Q，把所求的三角式化為的形式，再利用正弦

22、函數(shù)的有界性求其最值。 把所求的問題轉(zhuǎn)化為給定區(qū)間上的二次函數(shù)的最值問題。 對(duì)于某些分式型的含三角函數(shù)的式子的最值問題（如）可利用正弦函數(shù)的有界性 利用函數(shù)的單調(diào)性求。例1已知函數(shù)是以5為最小正周期的奇函數(shù)，且，則對(duì)銳角，當(dāng)時(shí)，_例1：例2已知?jiǎng)t的最大值是_例2： 2例3函數(shù)取最小值的的集合為_例3：例4函數(shù)的最大值和最小值的和為_.例4：例5函數(shù)的最大值為_例5：1例6函數(shù)的最大值是_例6：例7函數(shù)有最大值2，最小值，求的最小正周期。例7：例8已知函數(shù)的定義域是，值域是，求的值。例8：或例9已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，求的值。例9：例10已知是常數(shù)，且的最小正周期為2，并且當(dāng)時(shí)，取最大值為2

23、。 （1）求表達(dá)式； （2）在區(qū)間上是否存在的圖象的對(duì)稱軸？若存在，求出其方程；若不存在，說明理由。例10：（1） （2）的對(duì)方程為，由 故存在。例11已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求的值。例11：03高考天津卷例12已知定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖象關(guān)于直線xyo···-1對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，其圖象如圖所示.（1）求函數(shù)在的表達(dá)式；（2）求方程的解. 參考答案：例12：（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)隨堂訓(xùn)練：1有四個(gè)函數(shù)，其中周期為，且在上是增函數(shù)的函數(shù)個(gè)數(shù)是（ ） 2設(shè)函數(shù)（為實(shí)常數(shù)）在區(qū)間上的最小值是,則的值是（ ） 3的圖像中一條對(duì)稱

24、軸方程是（ ）4定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x) = f (x+2)，當(dāng)x3，4時(shí)，f(x) = x2，則（ ）Af (sin) < f (cos) Bf (sin) > f (cos) Cf (sin1) < f (cos1) Df (sin) > f (cos)5將函數(shù)y=f(x)sinx的圖象向右平移個(gè)單位后，再作關(guān)于x軸對(duì)稱的曲線，得到函數(shù) y=12sin2x, 則f(x)是 （ ） Acosx B2cosxCsinxD2sinx 6曲線和直線在y軸右側(cè)的交點(diǎn)按橫坐標(biāo)從小到大依 次記為P1，P2，P3，則|P2P4|等于 （ ） A B2 C3 D47設(shè)，

25、恒有成立，且，則實(shí)數(shù)m的值為 A B C1或3 D3或18使函數(shù)是奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)的的一個(gè)值是_9已知函數(shù)的最大值為，其最小正周期為。（）求實(shí)數(shù)a與的值。（）寫出曲線的對(duì)稱軸方程及其對(duì)稱中心的坐標(biāo)。強(qiáng)化練習(xí)：1 C 2 C 3 C 4 C 5 B 6. A 7. D 8. 9. （1） 。y的最小正周期T=。 =1。， a=1。（2）由（）知a=1，=1，。曲線y=f(x)的對(duì)稱軸方程為。對(duì)稱中心的坐標(biāo)為。高一年段數(shù)學(xué)培優(yōu)教材第五講 平面向量（1）二、 基礎(chǔ)知識(shí)：1向量的運(yùn)算： 加法：設(shè)則 減法：設(shè)則 實(shí)數(shù)與向量的積： 向量與的關(guān)系； 設(shè)則 向量的數(shù)量積： 是與的夾角）； 設(shè)則2向量的關(guān)

26、系： 不等關(guān)系： （注意等號(hào)的條件） 設(shè) 則 3平面向量的基本定理：如果是同一平面內(nèi)的不共線向量，那么對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使。 相關(guān)結(jié)論：如果是同一平面內(nèi)的不共線向量，且，則 點(diǎn)O、A、B、C在同一平面內(nèi)，A、B、C共線的充要條件是：4常用公式： 中，M為BC邊的中點(diǎn)，G為重心， 則三、 綜合應(yīng)用：例1：求證：三角形的三條中線交于一點(diǎn)。例2：設(shè)外心為O，取點(diǎn)M，使，求證M是的垂心，且此三角形的外心、垂心、重心在一條直線上。例3：在三角形ABC中，點(diǎn)M分所成的比為2，點(diǎn)N分所成的比為，設(shè)線段CM和BN交于點(diǎn)P，直線AP和BC的交點(diǎn)為Q，且，用表示例4：已知O為內(nèi)一點(diǎn)，設(shè)且

27、，試用表示。例5：（1）已知三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P，若，則點(diǎn)P在（ ）A 內(nèi)部 B 外部 C 在直線AB上 D 在直線AC上（2）O是平面上一 定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足 則P的軌跡一定通過ABC的（ ）A外心B內(nèi)心C重心D垂心（3）在四邊形ABCD中，設(shè)，若，則該四邊形一定是（ ） A 矩形 B 正方形 C 菱形 D等腰梯形三、強(qiáng)化訓(xùn)練：1 已知A、B、C三點(diǎn)在同一直線上，O在直線外，且存在實(shí)數(shù)，使成立，求點(diǎn)C分所成的比及的值。2 若P分有向線段所成的比為，則有。3 已知，當(dāng)為何值時(shí)：（1）與平行？平行時(shí)是否同向？（2）與垂直？4如圖，在平行四邊形ABCD中

28、,設(shè)以為基底表示5 設(shè)O為內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，求6中，M是AB的中點(diǎn)，E是CM的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AE交BC于F，作MHAF，求證：BH= HF =FC。7如圖，在平面斜坐標(biāo)系，平面上任一點(diǎn)P關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的：若，其中分別為與x軸y軸同方向的單位向量，則p點(diǎn)斜坐標(biāo)為.若p點(diǎn)斜坐標(biāo)為（2，2），求p到O的距離|PO|；8已知向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系用表示。（1）證明：對(duì)任意向量及常數(shù)，恒有成立； （2）設(shè)，求向量的 坐標(biāo)。 （3）求使為常數(shù))的向量的坐標(biāo)。參考答案：例1：略例2：三點(diǎn)共線。說明：外心為O，取點(diǎn)M，使成立的充要條件是 M為的垂心ABCO例3：例4： 如圖建立直角坐標(biāo)系： 設(shè) 例5：（1）

29、D （2）B （3）A 強(qiáng)化練習(xí)：1 2略3（1）反向          （2）45 367（2）     （3）高一年段數(shù)學(xué)培優(yōu)教材第六講 平面向量（2）例1：（1）點(diǎn)P是的外心，且，則角C的大小為_（2）在中，其中G為的重心，則的形狀是_（3）設(shè)的外心為O，H是它的垂心，求證：（4）已知O為所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，求證：點(diǎn)O是的垂心。（5）O為所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，則O為的垂心的充要條件是：例2：已知向量，且與之間有關(guān)系式：，其中k0 （1）證

30、明： ；（2）試用k表示 例3：已知平面上的三個(gè)向量的模均為，它們相互之間的夾角都是，（1） 求證：（2）若，求的取值范圍。例4：已知向量，存在實(shí)數(shù)，使得向量且，（1）試將表示為得函數(shù)；（2）求得最小值。例5已知向量 （1）向量是否共線？（2）求函數(shù)的最大值。例6：在RtABC中，已知， BC=a，若長(zhǎng)為2a的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn)，問的夾角取何值時(shí)的值最大？并求出這個(gè)最大值.強(qiáng)化訓(xùn)練：1已知滿足，則的形狀是（ ）A 等邊三角形 B 銳角三角形 C 直角三角形 D 鈍角三角形2已知為非零的平面向量. 甲：甲是乙的（ ）條件A充分條件但不是必要 B必要條件但不是充分 C充要條件 D既非充分也非必要

31、3已知平面上直線l的方向向量點(diǎn)O（0，0）和A（1，2）在l上的射影分別是和，則，其中= （ ）A BC2 D24已知是夾角為的兩個(gè)單位向量，則的夾角為_5如果向量與 的夾角為，那么我們稱為向量與的“向量積”，是一個(gè)向量，它的長(zhǎng)度，如果，則_6對(duì)于個(gè)向量，若存在個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)，使得成立，則稱向量是“線性相關(guān)”的。按此規(guī)定，能說明“線性相關(guān)”的實(shí)數(shù)的一組取值為_7設(shè)向量 _8已知向量，向量與的夾角為，且，則=_9在內(nèi)求一點(diǎn)P，使的值最小。10已知，是否存在實(shí)數(shù)，使與的夾角為銳角？說明你的理由。11 已知向量. （1）求的值； （2）若的值12 已知向量.（1）求函數(shù)的最小正周期； （2）求函數(shù)

32、的單調(diào)減區(qū)間；（3）畫出函數(shù)的圖象，由圖象研究并寫出的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心.參考答案例1：（1） （2） 等邊三角形 （3） 如圖，聯(lián)結(jié)BO并延長(zhǎng)交三角形外接圓于點(diǎn)D，則 為（4） 略 （5）略例2：（1） （2）例3：（2）例4：（1）  （2），當(dāng)時(shí)取最小值例5：（1）共線 ； （2）；例6：04湖北高考題，所以當(dāng)時(shí)，取最大值0強(qiáng)化練習(xí)：1 C 2 B 3 D 4 5 6 7 8 或9設(shè)，則所以當(dāng)時(shí)取最小，易證此時(shí)點(diǎn)P為三角形ABC的重心。1011（1） （2） 12解： （1）（2） x0y02020（3）從圖象上可以直觀看出，此函數(shù)有一個(gè)對(duì)稱中心（），無對(duì)稱軸第二章 平面向量|。

33、二、基礎(chǔ)例題【必會(huì)】1向量定義和運(yùn)算法則的運(yùn)用例1 設(shè)O是正n邊形A1A2An的中心，求證：【證明】 記，若，則將正n邊形繞中心O旋轉(zhuǎn)后與原正n邊形重合，所以不變，這不可能，所以例2 給定ABC，求證：G是ABC重心的充要條件是【證明】必要性。如圖所示，設(shè)各邊中點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，延長(zhǎng)AD至P，使DP=GD，則又因?yàn)锽C與GP互相平分，所以BPCG為平行四邊形，所以BGPC，所以所以充分性。若，延長(zhǎng)AG交BC于D，使GP=AG，連結(jié)CP，則因?yàn)椋瑒t，所以GBCP，所以AG平分BC。同理BG平分CA。所以G為重心。例3 在凸四邊形ABCD中，P和Q分別為對(duì)角線BD和AC的中點(diǎn)，求證：AB2+BC

34、2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2?！咀C明】 如圖所示，結(jié)結(jié)BQ，QD。因?yàn)椋?·= 又因?yàn)橥?， ， 由，可得。得證。 2證利用定理證明共線例4 ABC外心為O，垂心為H，重心為G。求證：O，G，H為共線，且OG：GH=1：【證明】 首先=其次設(shè)BO交外接圓于另一點(diǎn)E，則連結(jié)CE后得CE又AHBC，所以AH/CE。又EAAB，CHAB，所以AHCE為平行四邊形。所以所以，所以，所以與共線，所以O(shè)，G，H共線。所以O(shè)G：GH=1：2。3利用數(shù)量積證明垂直例5 給定非零向量a, b. 求證：|a+b|=|a-b|的充要條件是ab.【證明】|a+b|=|a-b|(a+b)

35、2=(a-b)2a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2a·b=0ab.例6 已知ABC內(nèi)接于O，AB=AC，D為AB中點(diǎn)，E為ACD重心。求證：OECD?！咀C明】 設(shè)，則，又，所以a·(b-c). （因?yàn)閨a|2=|b|2=|c|2=|OH|2）又因?yàn)锳B=AC，OB=OC，所以O(shè)A為BC的中垂線。所以a·(b-c)=0. 所以O(shè)ECD。4向量的坐標(biāo)運(yùn)算例7 已知四邊形ABCD是正方形，BE/AC，AC=CE，EC的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：AF=AE?！咀C明】 如圖所示，以CD所在的直線為x軸，以C為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊

36、長(zhǎng)為1，則A，B坐標(biāo)分別為（-1，1）和（0，1），設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)為（x, y），則=(x, y-1), ，因?yàn)椋?x-(y-1)=0.又因?yàn)?，所以x2+y2=2.由，解得所以設(shè)，則。由和共線得所以，即F，所以=4+，所以AF=AE。三、趨近高考【必懂】1.（2011.湖南卷14）在邊長(zhǎng)為1的正三角形中，設(shè)，則?！窘馕觥浚河深}，所以。2.（2011.江蘇卷10）已知是夾角為的兩個(gè)單位向量， 若，則k的值為【解析】：由得：k=23.（2011.廣東卷3）若向量滿足且，則A4 B3 C2 D0解析：依題意得，則 故選D4.（2011.四川卷4）如圖，正六邊形ABCDEF中，=(A)0 (B) (

37、C) (D)答案D【解析】：5.（成都市2010屆高三第三次診斷理科）已知向量a(3,2),b(2,1),則|a2 b|的值為( )(A)3(B)7 (C) (D)【答案】C【解析】因?yàn)閍2 b(1,4) 故|a2 b|6. (綿陽(yáng)市2010年4月高三三診理科試題)已知向量a、b不共線，若向量a+b與b+a的方向相反，則=（ C ）（A）1（B）0 （C）-1 （D）±1 7（雅安市2010屆高三第三次診斷性考試?yán)砜疲┮阎獮榉橇阆蛄?，函?shù)，則使的圖象為關(guān)于軸對(duì)稱的拋物線的一個(gè)必要不充分條件是( C ) w_w w. k#s5_u.c o*mABCD8（資陽(yáng)市20092010學(xué)年度高三

38、第三次高考模擬理）已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)A(1，1)，B(2，4)，C(1，3)，則 （ B ）（A）（B）（C）8（D）109（瀘州市2010屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量診斷性考試?yán)砜疲┤鐖D：正六邊形中，下列命題錯(cuò)誤的是（ C ）A B C D10.（四川省攀枝花市2010年4月高三第二次統(tǒng)考文科試題）已知，則向量與向量的夾角是（ C ）A. B. C. D. 11(成都市石室中學(xué)2010屆高三三診模擬理科)已知是非零向量且滿足，則的夾角是（ A ）w_w w. k#s5_u.c o*mABCD13.（眉山市2010年4月高三第二次診斷性考試?yán)砜疲┰O(shè)是平面內(nèi)的四個(gè)單位向量，其中與的夾角為，對(duì)這個(gè)平

39、面內(nèi)的任一個(gè)向量，規(guī)定經(jīng)過一次“斜二測(cè)變換”得到向量，設(shè)向量，則經(jīng)過一次“斜二測(cè)變換”得到向量的模是_.14（省瀘州市2010屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量診斷性考試?yán)砜疲┮阎蛄浚?，則 5 .11（瀘州市2010屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量診斷性考試文科）已知向量，若與垂直，則 2 .15.（四川省攀枝花市2010年4月高三第二次統(tǒng)考文科試題）已知點(diǎn)和向量，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為. 高一年段數(shù)學(xué)培優(yōu)教材第三講 三角恒等變換四、 基礎(chǔ)知識(shí)：1 三角的恒等變化：要注意公式間的內(nèi)在聯(lián)系和特點(diǎn)，審題時(shí)要善于觀察差異，尋找聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化；要熟悉公式的正用和、逆用和變形應(yīng)用?；?jiǎn)三角函數(shù)式可以采用“切化弦”來減少函數(shù)種類，采

40、用“配方法”和“降次公式”來逐步降低各項(xiàng)次數(shù)，并設(shè)法去分母、去根號(hào)、利用特殊值來向目標(biāo)靠攏。 2 常見的變形公式： 3 通過對(duì)角的變換推出萬(wàn)能公式和半角公式以及和差與積的互化公式。如常見的角的拆并有等五、 綜合應(yīng)用：例1：已知角的終邊上一點(diǎn)，則的弧度數(shù)為_ 已知，則_ 函數(shù)的最大值是_ 化簡(jiǎn)_例2：已知，求的取值范圍。例3：求的值。例4：已知其中是適合的常數(shù)，試問取何值時(shí)，的值恒為定值？例5：求值：例6：已知；（1）求證：；（2）求的最大值，并求當(dāng)取得最大值時(shí)的值。例7：已知，且，求證：例8：已知當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍。六、 強(qiáng)化練習(xí)：1.若角滿足條件，則在（ ）A 第一象限 B 第

41、二象限 C 第三象限 D 第四象限2.以下命題正確的是( )（A）都是第一象限角，若，則 （B）都是第二象限角，若，則 （C）都是第三象限角，若，則 （D）都是第四象限角，若，則3.若，則等于 （A） （B） （C） （D）4.在（0，）內(nèi)，使成立的的取值范圍是 （A）（，） （B）（，） （C）（，） （D）（，）5.設(shè)是一個(gè)鈍角三角形的兩個(gè)銳角，則下列四個(gè)不等式中不正確的是 （A） （B） （C） （D）6.已知，則的值為( ) A0 B1 C. D以上都不對(duì)7.在ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，則_8.已知點(diǎn)P(，tan)在第一象限，則在0，2)內(nèi)的取值范圍是_9.的值為 10.已知

42、，求的值。11.已知cos(-)=,sin(-)= ,0,求cos(+)之值.12.求值：13.是否存在銳角，使得；同時(shí)成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由。參考答案：例1：; ; ; 例2：法1：法2：例3：多種方法。（構(gòu)造對(duì)偶式）設(shè)例4：恒為定值，考慮到（提示：本題也可以用賦值法：令）例5：1 （本題要總結(jié)公式 例6：（2）例7：例8：令則，令則 故原不等式化為強(qiáng)化練習(xí)： 1. B 2. D 3. C 4. C 5. D 6. A 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 存在四、課后鞏固：1.【高考安徽文7】要得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)的圖象( )（A） 向左平移1個(gè)單位

43、（B） 向右平移1個(gè)單位（C） 向左平移 個(gè)單位 （D） 向右平移個(gè)單位2.【高考新課標(biāo)文9】已知>0，直線和是函數(shù)f(x)=sin(x+)圖像的兩條相鄰的對(duì)稱軸，則=( )（A） （B） （C） （D）3.高考山東文8】函數(shù)的最大值與最小值之和為( ) (A)(B)0(C)1(D)4.【高考全國(guó)文3】若函數(shù)是偶函數(shù)，則( )（A） （B） （C） （D）5.【高考全國(guó)文4】已知為第二象限角，則( )（A） （B） （C） （D） 6.【高考重慶文5】( )（A）（B）（C） （D）7.【高考遼寧文6】已知，(0，)，則=( )(A) 1 (B) (C) (D) 18.【高考江西文9】已知若a=f（lg5），則( )A.a+b=0 B.a-b=0 C.a+b=1 D.a-b=19.【高考全國(guó)文15】當(dāng)函數(shù)取得最大值時(shí)，_. 10.【高考江蘇11】設(shè)為銳角，若，則的值為