考研數(shù)學(xué)——微積分公式

1、第一講函數(shù)、極限與連續(xù)重要公式與結(jié)論一、函數(shù)的奇偶性、周期性與導(dǎo)數(shù)、積分的聯(lián)系1.設(shè)是可導(dǎo)的偶函數(shù)，則為奇函數(shù)，且；設(shè)是可導(dǎo)的奇函數(shù)，則為偶函數(shù)。2.設(shè)連續(xù)：如為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)；如為奇函數(shù)，則對(duì)任意的，為偶函數(shù)。3.設(shè)在上連續(xù)，則4.可導(dǎo)的周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)仍為同周期函數(shù)。5.設(shè)是以為周期的連續(xù)函數(shù)，則二、在自變量不同變化過程中的函數(shù)極限及其聯(lián)系1.2.3.4.設(shè)評(píng)注由結(jié)論3，4知可利用函數(shù)極限求數(shù)列極限。三、連續(xù)的隱含條件如題中給了連續(xù)條件，應(yīng)充分利用以下結(jié)論：1.設(shè)在處連續(xù)，則2.設(shè)在上連續(xù)，則在上可積，且可構(gòu)造的原函數(shù)，對(duì)在上可應(yīng)用最值、介值、零點(diǎn)定理。四、兩個(gè)重要極限的一般形式1.設(shè)

2、，則2.設(shè)，則（因?yàn)椋?。五、無窮小量與界變量之積為無窮小量特例：設(shè)六、極限存在準(zhǔn)則及性質(zhì)1.單調(diào)有界數(shù)列必有極限。2.夾逼準(zhǔn)則：設(shè)在的某空心鄰域內(nèi)（或當(dāng)時(shí)），有，且，則3. 極限的局部保號(hào)性與有界性：設(shè)，（1）則存在的某空心鄰域，使得在該鄰域內(nèi)有界；（2）如果（或），則存在的某空心鄰域，使得在此鄰域內(nèi)有（或）；（3）如果在的某空心鄰域內(nèi)有或（），則（或）；（4）無窮小量，使.七、無窮小量的等價(jià)替換1.若，則2. 常見的等價(jià)無窮?。涸O(shè)，則3.8、 常見的極限不存在的函數(shù)1. 無窮大量是極限不存在的一種形式。2. 設(shè)，則下列函數(shù)的極限不存在：，此時(shí)應(yīng)注意利用無窮小量乘有界變量仍為無窮小量以及左右極

3、限等進(jìn)行討論。九、幾個(gè)常用極限1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.第二講導(dǎo)數(shù)與微分重要公式與結(jié)論一、導(dǎo)數(shù)定義與極限的聯(lián)系1.設(shè)存在，如果，則如果，則2.設(shè)在處連續(xù)，則二、可導(dǎo)、可微、連續(xù)及極限的關(guān)系三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義切線方程：法線方程：特別地，如，切線方程為：；法線方程為：。 如，切線方程為：；法線方程為：。四、奇偶函數(shù)、周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)。特別地，設(shè)為偶函數(shù)，且存在，則。2.可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)。3.可導(dǎo)周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)仍為同周期函數(shù)。特別地，設(shè)存在，則五、六、含絕對(duì)值函數(shù)的可導(dǎo)性1.設(shè)存在，且有定義，則在處可導(dǎo)。2.設(shè)存在，則在處可導(dǎo)。七、高階導(dǎo)數(shù)公式

4、1.設(shè)函數(shù)，在點(diǎn)處有階導(dǎo)數(shù)，則（1） 2.基本初等函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)公式。（1），（2），（3）（4）第四講一元函數(shù)積分學(xué)重要公式與結(jié)論一、奇偶函數(shù)、周期函數(shù)的積分1.設(shè)連續(xù)， 如為偶（奇）函數(shù)，則為奇（偶）函數(shù)； 如為奇函數(shù)，則對(duì)任意，為偶函數(shù)。2.設(shè)在上連續(xù)，則3.設(shè)是以為周期的連續(xù)函數(shù)，則，。特別地有二、利用積分定義求項(xiàng)和的極限設(shè)連續(xù)，則，。三、定積分的不等式性質(zhì)1.設(shè)，在上連續(xù)，且，則2.設(shè)在上連續(xù)，則3.設(shè)，在上連續(xù)，則4.設(shè)在上連續(xù)，且，但不恒等于零，則注：以上不等式必須有條件，如，則不等號(hào)反向。四、積分中值定理1.設(shè)在上連續(xù)，則使注：可改為。2.設(shè)在上連續(xù)，在上可積且不變號(hào)，則，使五、

5、變限積分1.若在上連續(xù)，則可導(dǎo)，且2.若在上可積，則在上連續(xù)。3.若連續(xù)，可導(dǎo)，則對(duì)于一般情形，先把提到積分號(hào)外，再令，從而將積分化為被積函數(shù)不含變量的變限積分，最后再求導(dǎo)。第六講多元函數(shù)積分學(xué)重要公式與結(jié)論一、二重積分的性質(zhì)1.線性運(yùn)算性質(zhì)：2.積分可加性：，其中，而且與除邊界外沒有其他公共點(diǎn)。3.積分中值定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，表示的面積，則在上至少存二、二重積分的對(duì)稱性1.若關(guān)于軸對(duì)稱，則其中為的上半平面部分。2.若關(guān)于軸對(duì)稱，則其中為的右半平面部分。3. 輪換對(duì)換性：若互換后區(qū)域不變（即區(qū)域關(guān)于直線對(duì)稱），則第七講無窮級(jí)數(shù)重要公式與結(jié)論1. 對(duì)于級(jí)數(shù)，令表示其部分和數(shù)列，則（1）若

6、收斂，則，；（2）若，或該極限不存在，則發(fā)散。2.設(shè)都是非零常數(shù)，則有：（1）若與都收斂，則也收斂；（2）若和中一個(gè)收斂，另一個(gè)發(fā)散，則發(fā)散；（3）若與都發(fā)散，則的斂散性不確定。3.設(shè)（或）。如果，則，且和都發(fā)散。4.（1）若冪級(jí)數(shù)在處收斂，則對(duì)任何滿足的，絕對(duì)收斂；（2）若冪級(jí)數(shù)在處發(fā)散，則對(duì)任何滿足的，發(fā)散。5.冪級(jí)數(shù)的變換公式。（1）設(shè)的收斂域?yàn)椋浜秃瘮?shù)為，設(shè)是定義在上的一個(gè)已知函數(shù)，則的收斂域?yàn)?，且其和函?shù)為；（2）最常用的變換是，其中為某個(gè)正常數(shù)。6.對(duì)于任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，若發(fā)散，且是由比值或根值判別法判定的，則也發(fā)散。7.幾何級(jí)數(shù)在時(shí)收斂，且；當(dāng)時(shí)，發(fā)散。8.時(shí)發(fā)散。第九講經(jīng)濟(jì)應(yīng)用重要

7、公式與結(jié)論1.復(fù)利與連續(xù)復(fù)利公式。分期復(fù)利計(jì)息公式：，其中為年利率。連續(xù)復(fù)利計(jì)息公式：。例9.1設(shè)一筆本金存入銀行，年復(fù)利率為，在下列情況下，分別計(jì)算年后的本利和：（1）一年結(jié)算一次；（2）一年分期計(jì)息，每期利率按計(jì)算；（3）銀行連續(xù)不斷地向顧客付息利，即，此種計(jì)息方式稱為連續(xù)復(fù)昨。詳解（1）一年結(jié)算一次時(shí)，一年后的本利和為，第二年后的本利和為，依此遞推關(guān)系，年后的本利和為（2）一年結(jié)算次，年共結(jié)算次，每期利率為，則年后的本利和為（3）計(jì)算連續(xù)復(fù)利時(shí)，年后的本利和為（2）中結(jié)果在時(shí)的極限在上述問題中，相同的利率（稱為名義利率），由于復(fù)利種類不同，產(chǎn)生不同的利息，即產(chǎn)生不同的實(shí)際利率（也稱為有效收益率），用表示。設(shè)存期為年，年名義復(fù)利率為，每年結(jié)算次，相應(yīng)的實(shí)際年復(fù)利率為，則若以相同的年名義利率計(jì)算連續(xù)復(fù)利，則2. 貼現(xiàn)公式。以元存入銀行，年復(fù)利率為年后變?yōu)樵?。稱為本金的終值；反之，若要年后有元，現(xiàn)在只需存入銀行元，即年后的元只相當(dāng)于現(xiàn)在的元，稱為年后資金的現(xiàn)值，此時(shí)，也稱為貼現(xiàn)率。若一年計(jì)算復(fù)利次，則本金在年后的終值為；年后的資金的現(xiàn)值為若計(jì)算連續(xù)復(fù)利，則本金在年后的終值為；年后的資金的現(xiàn)值為3.系列收付款項(xiàng)的現(xiàn)值與終值公式。系列收付款項(xiàng)是指期內(nèi)多次發(fā)生的收付款業(yè)務(wù)，設(shè)從期初開始，第期末發(fā)生的款