脈沖響應不變法及雙線性換法

1、概念講解    利用模擬濾波器理論設計數(shù)字濾波器，也就是使數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波器的特性，這種模仿可從不同的角度出發(fā)。脈沖響應不變法是從濾波器的脈沖響應出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應序列h(n) 模仿模擬濾波器的沖擊響應ha(t), 使h(n)正好等于ha(t)的采樣值，即h(n)=ha(nT)T為采樣周期。如以Ha(s)及H（z）分別表示ha(t)的拉氏變換及h(n)的z變換，即Ha(s)=Lha(t)H(z)=Zh(n) 則根據(jù)采樣序列z變換與模擬信號拉氏變換的關系，得:     上式表明，采用脈沖響應不變法將模擬濾

2、波器變換為數(shù)字濾波器時，它所完成的S平面到Z平面的變換，正是以前討論的拉氏變換到Z變換的標準變換關系，即首先對Ha(s)作周期延拓，然后再經(jīng)過z=est的映射關系映射到Z平面上。    z=est的映射關系表明，S平面上每一條寬為2/T的橫帶部分，都將重疊地映射到Z平面的整個全部平面上。每一橫帶的左半部分映射到Z平面單位圓以內(nèi)，每一橫帶的右半部分映射到Z平面單位圓以外，j軸映射在單位圓上，但j軸上的每一段2/T都對應于繞單位圓一周，如下圖所示：圖 脈沖響應不變法的映射關系    應當指出，Z=est的映射關系反映的是Ha(s)的周期延

3、拓與H（z）的關系，而不是Ha(s)本身與H（z）的關系，因此，使用脈沖響應不變法時，從Ha(s)到H(z)并沒有一個由S平面到Z平面的簡單代數(shù)映射關系，即沒有一個s=f(z)的代數(shù)關系式。另外，數(shù)字濾波器的頻響也不是簡單的重現(xiàn)模擬濾波器的頻響，而是模擬濾波器頻響的周期延拓，周期為S=2/T=2fs，即正如第一章采樣定理中所討論的，如果模擬濾波器的頻響帶限于折疊頻率S/2以內(nèi)，即Ha(j)=0 |/T這時數(shù)字濾波器的頻響才能不失真地重現(xiàn)模擬濾波器的頻響（在折疊頻率以內(nèi)） |     但任何一個實際的模擬濾波器，其頻響都不可能是真正帶限的，因此不可避免地存在頻譜的交

4、疊，即混淆，這時，數(shù)字濾波器的頻響將不同于原模擬濾波器的頻響而帶有一定的失真。模擬濾波器頻響在折疊頻率以上衰減越大，失真則越小，這時，采用脈沖響應不變法設計的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。     脈沖響應不變法特別適用于用部分分式表達的傳遞函數(shù)，模擬濾波器的傳遞函數(shù)若只有單階極點，且分母的階數(shù)高于分子階數(shù)NM，則可表達為部分分式形式： 其拉氏反變換為： 其中u(t)為單位階躍函數(shù)。對ha(t)采樣就得到數(shù)字濾波器的單位脈沖響應序列再對h(n)取Z變換，得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)：第二個求和為等比級數(shù)之和， ，要收斂的話，必有 ，所以有 比較部分分式形式的Ha(s)

5、和上式H(z)可以看到，S平面上的極點s=si,變換到Z平面上是極點 ,而Ha(s)與H(z)中部分分式所對應的系數(shù)不變。如果模擬濾波器是穩(wěn)定的，則所有極點si都在S左半平面，即Resi0,那么變換后H(z)的極點 也都在單位圓以內(nèi)，即| |= 1，因此數(shù)字濾波器保持穩(wěn)定。值得注意的是，這種Ha(s)到H(z)的對應變換關系，只有將Ha(s)表達為部分分式形式才成立。 雖然脈沖響應不變法能保證S平面與Z平面的極點位置有一一對應的代數(shù)關系，但這并不是說整個S平面與Z平面就存在這種一一對應的關系，特別是數(shù)字濾波器的零點位置與S平面上的零點就沒有一一對應關系，而是隨著Ha(s)的極點si與系數(shù)Ai的

6、不同而不同。H(ej) 是Ha(j)的周期延拓（周期為fs），因Ha(j)并不是帶限，即在超過fs頻率部分并不為0，所以就產(chǎn)生了混迭。當為低通或帶通濾波器時，fs越大，則Ha(j)的下一周期相隔越遠，混迭也就越小。當為帶阻或高通濾波器時，Ha(j)在超過fs/2頻率部分全為通帶，這樣就不滿足抽樣定理，發(fā)生了完全的混迭，所以脈沖響應不變法不能設計帶阻或高通濾波器。 小結· 在要求時域脈沖響應能模仿模擬濾波器的場合，一般使用脈沖響應不變法。 · 脈沖響應不變法的一個重要特點是頻率坐標的變換是線性的，與是線性關系。因此如果模擬濾波的頻響帶限于折疊頻率以內(nèi)的話，通過變換后濾波器的頻

7、響可不失真地反映原響應與頻率的關系。      例如線性相位的貝塞爾低通濾波器，通過脈沖響應不變法得到的仍是線性相位的低通數(shù)      字濾波器。 · 如果Ha(s)是穩(wěn)定的，即其極點在S左半平面，映射到H(Z)也是穩(wěn)定的。 · 脈沖響應不變法的最大缺點：有頻譜周期延拓效應，因此只能用于帶限的頻響特性，如衰減特性很好的低通或帶通。而高頻衰減越大，頻響的混淆效應越小，至于高通和帶限濾波器,由于它們在高頻部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應中。所以用脈沖響應不變法實現(xiàn)高通和帶限濾波器時，應

8、增加一保護濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻帶，然后再用脈沖響應不變法轉換為數(shù)字濾波器，這會增加設計的復雜性和濾波器的階數(shù)，只有在一定需要頻率線性關系或保持網(wǎng)絡瞬態(tài)響應時才采用。概念講解    脈沖響應不變法的主要缺點是頻譜交疊產(chǎn)生的混淆，這是從S平面到Z平面的標準變換zesT的多值對應關系導致的,為了克服這一缺點，設想變換分為兩步： 第一步：將整個S平面壓縮到S1平面的一條橫帶里； 第二步：通過標準變換關系將此橫帶變換到整個Z平面上去。 由此建立S平面與Z平面一一對應的單值關系，消除多值性，也就消除了混淆現(xiàn)象。圖 雙線性變換的映射關系  

9、60; 為了將s平面的j軸壓縮到s1平面j軸上的- 一段上，可通過以下的正切變換實現(xiàn)： 這里C是待定常數(shù)，下面會講到用不同的方法確定C，可使模擬濾波器的頻率特性與數(shù)字濾波器的頻率特性在不同頻率點有對應關系。     經(jīng)過這樣的頻率變換，當1由 時                          由 即映射了整個j軸。

10、     將這一關系解析延拓至整個s平面，則得到s平面 平面的映射關系： 再將s1平面通過標準變換關系映射到z平面，即令 通常取C=2/T 最后得S平面與Z平面的單值映射關系：    現(xiàn)在我們再來看一看常數(shù)C的取值方法：    雙線性換法的主要優(yōu)點是S平面與Z平面一一單值對應，S平面的虛軸(整個j)對應于Z平面單位圓的一周，S平面的=0處對應于Z平面的=0處， 對應 即數(shù)字濾波器的頻率響應終 止于折迭頻率處，所以雙線性變換不存在混迭效應。     上面講到，用不同的方法確定待

11、定常數(shù)C，可以使模擬濾波器的頻率特性與數(shù)字濾波器的頻率特性在不同頻率點有對應關系。也就是說，常數(shù)C可以調(diào)節(jié)頻帶間的對應關系。確定C的常用方法有兩種：    保證模擬濾波器的低頻特性逼近數(shù)字濾波器的低頻特性。此時兩者在低頻處有確切的對應關系，即因為和都比較小，所以有另外，根據(jù)歸一化數(shù)字頻率與模擬頻率的關系， ，所以有=cT/2，所以，c=2/T    保證數(shù)字濾波器的某一特定頻率，如截止頻率 ，與模擬濾波器的某一待定頻率c嚴格對應，即當截止頻率較低時，有 ，所以一般取 。     現(xiàn)在我們看看，這一變換是否

12、符合我們一開始所提出的由模擬濾波器設計數(shù)字濾波器時，從S平面到Z平面映射變換的二個基本要求： 當 時，代入即S的虛軸映射到Z平面正好是單位圓。 代入z表達式，得當 時，z<1; 時，z>1 ，即s左半平面映射在單位圓內(nèi)，s右半平面映射在單位圓外，因此穩(wěn)定的模擬濾波器通過雙線性變換后，所得到的數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的?？辞懊骐p線性變換的映射關系圖。小結： · 與脈沖響應不變法相比，雙線性變換的主要優(yōu)點：靠頻率的嚴重非線性關系得到S平面與Z平面的單值一一對應關系，整個j軸單值對應于單位圓一周，這個關系就是式 所表示的，其中和為非線性關系。如圖圖中看到，在零頻率附近，接近于線性關系

13、，進一步增加時，增長變得緩慢， (終止于折疊頻率處)，所以雙線性變換不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象。圖 雙線性變換的頻率非線性關系· 雙線性變換法的缺點：與的非線性關系，導致數(shù)字濾波器的幅頻響應相對于模擬濾波器的幅頻響應有畸變，(使數(shù)字濾波器與模擬濾波器在響應與頻率的對應關系上發(fā)生畸變)。例如，一個模擬微分器，它的幅度與頻率是線性關系，但通過雙線性變換后，就不可能得到數(shù)字微分器。若 則  · 另外，一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后，濾波器就不再有線性相位特性。雖然雙線性變換有這樣的缺點，但它目前仍是使用得最普遍、最有成效的一種設計工具。這是因為大多數(shù)濾波器都具有分段常數(shù)的頻響特性，如低通、高通、帶通和帶阻等，它們在通帶內(nèi)要求逼近一個衰減為零的常數(shù)特性，在阻帶部分要求逼近一個衰減為的常數(shù)特性，這種特性的濾波器通過雙線性變換后，雖然頻率發(fā)生了非線性變化，但其幅頻特性仍保持分段常數(shù)的特性。 · 雙線性變換比脈沖響應法的設計計算更直接和簡單。由于s與z之間的簡單代數(shù)關系，所以從模擬傳遞函數(shù)可直接通過代數(shù)置換得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)。置換過程頻響： 這些都比脈沖響應不變法的部分分式分解便捷得多，一般，當著眼于濾波器的時域瞬態(tài)響應時，采用脈沖響應不變法較好，而其他情況下，對于IIR的