西安交大西工大 考研備考期末復(fù)習(xí) 線(xiàn)性代數(shù)第4章向量習(xí)題課

1、 )(21n,a,aa . 若若 = (a1 , a2 , , an), = (b1 , b2 , , bn), 則則 + (a1 + b1 , a2 + b2 , , an + bn) ; (a1 , a2 , , an ) , 其中其中 R . : + = + ; ( + ) + = + ( + ) ; + 0 = ; + (- - ) = 0 ; 1 = ; ( ) = () ; ( + ) = + ; ( + ) = + ,其中其中 , , 為為 n 維向量維向量 , , R. 設(shè)有設(shè)有 n 維向量組維向量組 A: 1, 2 , , m , B: 1 , 2 , , s , 對(duì)于向量對(duì)

2、于向量 , 如果有一組數(shù)如果有一組數(shù) 1 , 2 , ,m ,使使 ,則稱(chēng)向量則稱(chēng)向量 是向量組是向量組 A 的的, 或稱(chēng)或稱(chēng) 可由可由 A . 如果存在一組不全為零的數(shù)如果存在一組不全為零的數(shù) k1 , k2 , , km , 使使 ,則稱(chēng)向量組則稱(chēng)向量組 A , 否則稱(chēng)否則稱(chēng) A . 如果向量組如果向量組 A 中的每一個(gè)向量都能由向量組中的每一個(gè)向量都能由向量組B 中的向量線(xiàn)性表示中的向量線(xiàn)性表示 , 則稱(chēng)則稱(chēng) .如果如果 A 能由能由 B 線(xiàn)性表示線(xiàn)性表示 , 且且 B 也能也能由由 A 線(xiàn)性表示線(xiàn)性表示 , 則稱(chēng)則稱(chēng) A 與與 B . 向量組之間的等價(jià)關(guān)系具有向量組之間的等價(jià)關(guān)系具有.

3、 向量組向量組 1, 2 , , m (m2) 線(xiàn)性線(xiàn)性相關(guān)的充要條件是該向量組中至少有一個(gè)向量相關(guān)的充要條件是該向量組中至少有一個(gè)向量可由其余可由其余 m - - 1 個(gè)向量線(xiàn)性表示個(gè)向量線(xiàn)性表示. 設(shè)設(shè) 1, 2 , , m 線(xiàn)性無(wú)關(guān)線(xiàn)性無(wú)關(guān), 而而 1, 2 , , m , 線(xiàn)性相關(guān)線(xiàn)性相關(guān), 則則 能由能由 1, 2 , , m 線(xiàn)性表示線(xiàn)性表示, 且表示式是唯一的且表示式是唯一的. 若若 1, 2 , , r 線(xiàn)性相關(guān)線(xiàn)性相關(guān), 則則 1, 2 , , r , r+1, , m 也線(xiàn)性相關(guān)也線(xiàn)性相關(guān). r 維向量組的每個(gè)向量添上維向量組的每個(gè)向量添上 n - - r 個(gè)個(gè)分量分量,成

4、為成為 n 維向量組維向量組,若若 r 維向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)維向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān),則則 n 維向量組也線(xiàn)性無(wú)關(guān)維向量組也線(xiàn)性無(wú)關(guān). 反言之反言之, 若若 n 維向量組維向量組線(xiàn)性相關(guān)線(xiàn)性相關(guān), 則則 r 維向量組亦線(xiàn)性相關(guān)維向量組亦線(xiàn)性相關(guān). m 個(gè)個(gè) n 維向量組成的向量組維向量組成的向量組, 當(dāng)維當(dāng)維數(shù)數(shù) n 小于向量個(gè)數(shù)小于向量個(gè)數(shù) m 時(shí)一定線(xiàn)性相關(guān)時(shí)一定線(xiàn)性相關(guān). 設(shè)有向量組設(shè)有向量組 T , 如果如果 (i) 在在 T 中有中有 r 個(gè)向量個(gè)向量 1, 2 , , r 線(xiàn)性無(wú)關(guān)線(xiàn)性無(wú)關(guān); (ii) T 中任意中任意 r+1 個(gè)向量個(gè)向量(如果如果 T 中有中有 r+1 個(gè)個(gè)向量的話(huà)向量的話(huà)

5、)都線(xiàn)性相關(guān)都線(xiàn)性相關(guān), 那么稱(chēng)那么稱(chēng) 1, 2 , , r 是向是向量組量組 T 的一個(gè)的一個(gè), 簡(jiǎn)稱(chēng)簡(jiǎn)稱(chēng); 數(shù)數(shù) r 稱(chēng)為向量組稱(chēng)為向量組 T 的的. 并規(guī)定并規(guī)定: 只含零向只含零向量的向量組的秩為量的向量組的秩為 0. 向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充要條件是它所向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充要條件是它所含向量個(gè)數(shù)等于它的秩含向量個(gè)數(shù)等于它的秩. 設(shè)矩陣設(shè)矩陣 A 的某個(gè)的某個(gè) r 階子式階子式 D 是是 A 的的最高階非零子式最高階非零子式, 則則 D 所在的所在的 r 個(gè)行向量即是矩個(gè)行向量即是矩陣陣A的行向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組的行向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組;D 所在的所在的 r 個(gè)個(gè)列向量即是矩陣列向量即是矩

6、陣 A 的列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)的列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組組. R(A) = A 的行秩的行秩 = A 的列秩的列秩. 設(shè)向量組設(shè)向量組 A: 1, 2 , , r 是向量是向量組組 T 的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組, 則向量組則向量組 A 與向量組與向量組 T 等價(jià)等價(jià). 設(shè)有兩個(gè)向量組設(shè)有兩個(gè)向量組: A: 1, 2 , , r , B: 1 , 2 , , s ,如果如果 A 組能由組能由 B 組線(xiàn)性表示組線(xiàn)性表示, 且且 A 組線(xiàn)性無(wú)關(guān)組線(xiàn)性無(wú)關(guān), 則則A 組所含向量個(gè)數(shù)組所含向量個(gè)數(shù) r 不大于不大于 B 組所含向量個(gè)數(shù)組所含向量個(gè)數(shù) s, 即即 r s . 設(shè)向量組設(shè)向量組 A

7、 的秩為的秩為 r1,向量組向量組 B 的秩的秩為為 r2 , 若若 A 組能由組能由 B 組線(xiàn)性表示組線(xiàn)性表示, 則則 r1 r2 . 等價(jià)的向量組有相同的秩等價(jià)的向量組有相同的秩. 設(shè)設(shè) V 為為 n 維向量的集合維向量的集合, 如果集合如果集合 V 非空非空 且集合且集合 V 對(duì)于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉對(duì)于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉,那么就稱(chēng)那么就稱(chēng)集合集合 V 為為. 所謂所謂, 是指對(duì)是指對(duì) V , V 及及 k R,有有 + V , k V . 由向量組由向量組 1, 2 , , m 所生成的向量空所生成的向量空間為間為 設(shè)有向量空間設(shè)有向量空間 V1 及及 V2 , 若若 V1 V2

8、 , 就稱(chēng)就稱(chēng)V1 是是 V2 的子空間的子空間. 設(shè)設(shè) V 為向量空間為向量空間, 如果如果 r 個(gè)向量個(gè)向量 1, 2 , , r V , 且滿(mǎn)足且滿(mǎn)足 (i) 1, 2 , , r 線(xiàn)性無(wú)關(guān)線(xiàn)性無(wú)關(guān); (ii) V 中任一向量都可由中任一向量都可由 1, 2 , , r 線(xiàn)性線(xiàn)性表表示示. 那么那么, 向量組向量組 1, 2 , , r 就稱(chēng)為向量空就稱(chēng)為向量空間間V的一個(gè)的一個(gè), r 稱(chēng)為向量空間稱(chēng)為向量空間 V 的維數(shù)的維數(shù), 并稱(chēng)并稱(chēng) V 為為 r 維維. 掌握掌握 n 維向量的概念維向量的概念, 能熟練地進(jìn)行向量能熟練地進(jìn)行向量的線(xiàn)性運(yùn)算的線(xiàn)性運(yùn)算. 掌握線(xiàn)性組合、線(xiàn)性表示、線(xiàn)性

9、相關(guān)、線(xiàn)掌握線(xiàn)性組合、線(xiàn)性表示、線(xiàn)性相關(guān)、線(xiàn)性無(wú)關(guān)、最大無(wú)關(guān)組等概念性無(wú)關(guān)、最大無(wú)關(guān)組等概念. 能熟練地判斷向量能熟練地判斷向量組的線(xiàn)性相關(guān)性組的線(xiàn)性相關(guān)性, 求出其最大無(wú)關(guān)組求出其最大無(wú)關(guān)組. 掌握向量組的秩、掌握向量組的秩、 矩陣的秩、矩陣的等價(jià)矩陣的秩、矩陣的等價(jià)等概念等概念, 會(huì)求向量組的秩和矩陣的秩會(huì)求向量組的秩和矩陣的秩. 掌握線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)掌握線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu),會(huì)求方程組的會(huì)求方程組的解解. 線(xiàn)性相關(guān)、線(xiàn)性無(wú)關(guān)、最大無(wú)關(guān)組、線(xiàn)性相關(guān)、線(xiàn)性無(wú)關(guān)、最大無(wú)關(guān)組、秩等概念秩等概念; 判斷線(xiàn)性相關(guān)性及求秩的方法判斷線(xiàn)性相關(guān)性及求秩的方法. 線(xiàn)性相關(guān)、線(xiàn)性無(wú)關(guān)的概念及其判定線(xiàn)性相關(guān)、線(xiàn)

10、性無(wú)關(guān)的概念及其判定法法.一、向量組線(xiàn)性關(guān)系的判定一、向量組線(xiàn)性關(guān)系的判定二、求向量組的秩二、求向量組的秩三、向量空間的判定三、向量空間的判定四、基礎(chǔ)解系的求法四、基礎(chǔ)解系的求法五、解向量的證法五、解向量的證法典型例題典型例題一、向量組線(xiàn)性關(guān)系的判定一、向量組線(xiàn)性關(guān)系的判定方法方法1 1從定義出發(fā)從定義出發(fā) 000, 0212222121121112211aaakaaakaaakkkkmnmmmnnmm 令令整理得線(xiàn)性方程組整理得線(xiàn)性方程組)(, 0, 0, 0221122221121221111 kakakakakakakakakammnnnmmmm.,)(.,)(2121線(xiàn)線(xiàn)性性相相關(guān)關(guān)則

11、則有有非非零零解解若若線(xiàn)線(xiàn)性性方方程程組組線(xiàn)線(xiàn)性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)則則只只有有唯唯一一零零解解若若線(xiàn)線(xiàn)性性方方程程組組 mm 方法利用矩陣的秩與向量組的秩之間關(guān)方法利用矩陣的秩與向量組的秩之間關(guān)系判定系判定.,)(,)().(),(,21212121線(xiàn)線(xiàn)性性相相關(guān)關(guān)則則若若線(xiàn)線(xiàn)性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)則則若若首首先先求求出出相相應(yīng)應(yīng)的的矩矩陣陣就就得得到到一一個(gè)個(gè)維維向向量量給給出出一一組組 mmmmmARmARARAn 例例研究下列向量組的線(xiàn)性相關(guān)性研究下列向量組的線(xiàn)性相關(guān)性.201,520,321321 解一解一 000201520321, 0321332211kkkkkk即即令令 整理得到整理得到)(. 0

12、253, 022, 03212131 kkkkkkk.,)(, 0253022101)(321線(xiàn)線(xiàn)性性相相關(guān)關(guān)從從而而必必有有非非零零解解線(xiàn)線(xiàn)性性方方程程組組的的系系數(shù)數(shù)行行列列式式線(xiàn)線(xiàn)性性方方程程組組 解二解二,201,520,321321 ,253022101),(321 A矩陣矩陣 000220101253022101初等行變換初等行變換A., 32)(321線(xiàn)線(xiàn)性性相相關(guān)關(guān)故故向向量量組組 AR.)2(, ,:,22112121線(xiàn)線(xiàn)性性相相關(guān)關(guān)都都有有使使對(duì)對(duì)任任何何向向量量為為零零的的數(shù)數(shù)存存在在不不全全證證明明線(xiàn)線(xiàn)性性相相關(guān)關(guān)設(shè)設(shè) rttttttrrrr 例例2 2分析分析考考察察

13、向向量量方方程程我我們們從從定定義義出出發(fā)發(fā) ,0)(22112211 tktktkkkkrrrr即即向向量量方方程程0)()()(222111 tktktkrrr.,21因因此此可可得得如如下下證證明明恒恒有有非非零零解解每每個(gè)個(gè)而而使使得得對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)是是否否有有某某組組不不全全為為零零的的 kkkr證明證明0,22112121 rrrrkkkkkk使使為為零零的的數(shù)數(shù)所所以以存存在在不不全全線(xiàn)線(xiàn)性性相相關(guān)關(guān)因因?yàn)闉?2211 xkxkxkrr考考慮慮線(xiàn)線(xiàn)性性方方程程都都有有則則對(duì)對(duì)任任意意向向量量零零解解為為任任一一非非設(shè)設(shè)它它必必有有非非零零解解因因?yàn)闉?),(, 221 tttrr 0)

14、(22112211 tktktkkkkrrrr0)()()(222111 tktktkrrr即即., :,221121線(xiàn)線(xiàn)性性相相關(guān)關(guān)不不全全為為零零得得知知由由 tttkkkrrr .,:,2121一個(gè)最大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組一個(gè)最大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組成它的成它的個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量均構(gòu)個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量均構(gòu)中任意中任意證明證明的秩是的秩是已知向量組已知向量組rrss 例3例3證明向量組的一個(gè)部分組構(gòu)成最大線(xiàn)性無(wú)證明向量組的一個(gè)部分組構(gòu)成最大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組的基本方法就是：關(guān)組的基本方法就是：分析分析根據(jù)最大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組的定義來(lái)證，它往往還根據(jù)最大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組的定義來(lái)證，它往往還與向量組的秩相聯(lián)系與向量組的秩相聯(lián)系證明證明.

15、,), 2 , 1(,212121rskrkiiiksiiirr否否則則這這向向量量組組的的秩秩大大于于相相關(guān)關(guān)線(xiàn)線(xiàn)性性向向量量組組的的于于是是對(duì)對(duì)于于任任意意個(gè)個(gè)線(xiàn)線(xiàn)性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的向向量量中中的的任任意意是是設(shè)設(shè)不不失失一一般般性性 ., 2121線(xiàn)線(xiàn)性性表表出出以以由由可可所所以以線(xiàn)線(xiàn)性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)又又向向量量組組 iiikiiirr., 2121的的一一個(gè)個(gè)最最大大線(xiàn)線(xiàn)性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組是是這這就就證證明明了了由由定定義義 siiir二、求向量組的秩二、求向量組的秩.)1, 4, 6, 2(),1, 2, 3, 1( ),1, 1, 1, 0(),1, 1, 2, 1( ),0, 0, 1

16、, 1(54321的秩的秩求向量組求向量組 TTTTT例4例4解解( () )為階梯形為階梯形化化行變換行變換作初等作初等對(duì)對(duì)作矩陣作矩陣AAA,54321 ( () ) 1111042110631212101154321 A 1111042110421102101112rr 530000000042110210112423)1(rrrr 0000053000421102101134rr( () ).54321U 記作記作, 3)( ARA的的列列秩秩. 3,54321的的秩秩為為故故向向量量組組 00000530004211021011 ) (54321 U, 421無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組線(xiàn)線(xiàn)性性的的

17、列列向向量量組組的的一一個(gè)個(gè)最最大大是是又又U ., 421線(xiàn)線(xiàn)性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組的的列列向向量量組組的的一一個(gè)個(gè)最最大大也也是是所所以以A .)1 , 0 , 0(3向向量量空空間間所所組組成成的的集集合合是是否否構(gòu)構(gòu)成成不不平平行行的的全全體體向向量量中中與與向向量量判判斷斷R例例5 5解解.)1 , 0 , 0(3間間成成的的集集合合不不構(gòu)構(gòu)成成向向量量空空不不平平行行的的全全體體向向量量所所組組中中與與向向量量R三、向量空間的判定三、向量空間的判定),0)(1 , 0(),0 , 0( 21 kkk 對(duì)對(duì)向向量量),1 , 0 , 0(,21均均不不平平行行于于 ).1 , 0 , 0(

18、21 .)1 , 0 , 0( 3封封閉閉所所組組成成的的集集合合對(duì)對(duì)加加法法不不不不平平行行的的全全體體向向量量中中與與向向量量因因此此R但但.向向量量空空間間故故所所給給向向量量集集合合不不構(gòu)構(gòu)成成例例6 6 求解方程組求解方程組 .2132, 13, 0432143214321xxxxxxxxxxxx解解:施行初等行變換施行初等行變換對(duì)增廣矩陣對(duì)增廣矩陣B 2132111311101111B,00000212100211011 四、基礎(chǔ)解系的證法四、基礎(chǔ)解系的證法并有并有故方程組有解故方程組有解可見(jiàn)可見(jiàn), 2)()( BRAR .212,2143421xxxxx , 042 xx取取,2

19、131 xx則則即得方程組的一個(gè)解即得方程組的一個(gè)解.021021 取取中中組組在對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程在對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程,2,43421 xxxxx ,100142 及及xx,210131 及及則則xx程組的基礎(chǔ)解系程組的基礎(chǔ)解系即得對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方即得對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方,1201,001121 于是所求通解為于是所求通解為).,( ,0210211201001121214321Rccccxxxx 例例7證明與基礎(chǔ)解系等價(jià)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量組證明與基礎(chǔ)解系等價(jià)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量組也是基礎(chǔ)解系也是基礎(chǔ)解系分析分析(3)方程組的任一解均可由該向量組線(xiàn)性表示方程組的任一解均可由該向量組線(xiàn)性表示(1)該組向

20、量都是方程組的解；該組向量都是方程組的解；(2)該組向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)；該組向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)；要證明某一向量組是方程組的基礎(chǔ)解要證明某一向量組是方程組的基礎(chǔ)解系，需要證明三個(gè)結(jié)論系，需要證明三個(gè)結(jié)論:0 AX證明證明.,0,212121ntaaaAXtnt 即即向向量量個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)相相等等所所以以這這兩兩個(gè)個(gè)向向量量組組所所含含數(shù)數(shù)是是相相同同的的向向量量組組所所含含向向量量個(gè)個(gè)因因?yàn)闉榈鹊葍r(jià)價(jià)的的線(xiàn)線(xiàn)性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的向向量量組組等等價(jià)價(jià)的的線(xiàn)線(xiàn)性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的是是與與系系的的一一個(gè)個(gè)基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解是是方方程程組組設(shè)設(shè) .0 ,), 2 , 1(,2121的的解解都都是是故故合合仍仍然然是是原原方方程程組組的

21、的解解而而解解的的線(xiàn)線(xiàn)性性組組的的線(xiàn)線(xiàn)性性組組合合可可以以表表示示成成知知由由向向量量組組的的等等價(jià)價(jià)關(guān)關(guān)系系易易 AXaaatiatti .,21線(xiàn)線(xiàn)性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)由由題題設(shè)設(shè)知知aaat.,021212121線(xiàn)線(xiàn)性性表表示示也也可可由由故故線(xiàn)線(xiàn)性性表表示示均均可可由由由由向向量量組組的的等等價(jià)價(jià)性性線(xiàn)線(xiàn)性性表表示示可可由由則則的的任任一一解解為為方方程程組組設(shè)設(shè)aaaaaaAXtttt .0,21的的一一個(gè)個(gè)基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系也也是是方方程程組組故故由由定定義義知知 AXaaat注注 當(dāng)線(xiàn)性方程組有非零解時(shí)，基礎(chǔ)解系的取當(dāng)線(xiàn)性方程組有非零解時(shí)，基礎(chǔ)解系的取法不唯一，且不同的基礎(chǔ)解系之間是等價(jià)的

22、法不唯一，且不同的基礎(chǔ)解系之間是等價(jià)的. 1,1,)3(.1,)2(;,)1(:. ,111而且組合系數(shù)之和為而且組合系數(shù)之和為個(gè)解的線(xiàn)性組合個(gè)解的線(xiàn)性組合都可以表示為這都可以表示為這的任一解的任一解方程組方程組個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解的的是方程組是方程組線(xiàn)性無(wú)關(guān)線(xiàn)性無(wú)關(guān)證明證明解系解系是其導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)是其導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)的一個(gè)解的一個(gè)解是非齊次線(xiàn)性方程組是非齊次線(xiàn)性方程組設(shè)設(shè) rnXBAXrnBAXBAXrnrnrn 例8例8五、解向量的證法五、解向量的證法. 0)(, 0)1(0110 kkkkrnrn其中必有其中必有令令 證明證明. 0,0,0,0210101 kBAXAXAXk

23、kkkrnrnrn所以所以矛盾矛盾的解的解齊次方程組齊次方程組是非是非而等式左邊而等式左邊的解的解必是必是其線(xiàn)性組合其線(xiàn)性組合故等式右邊為故等式右邊為的解的解是齊次方程組是齊次方程組由于由于有有否則否則 , 0,)(022110 rnrnkkkk則有則有式式代入代入將將., 0,0,21212121線(xiàn)性無(wú)關(guān)線(xiàn)性無(wú)關(guān)于是于是故有故有線(xiàn)性無(wú)關(guān)線(xiàn)性無(wú)關(guān)所以所以的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系是是因?yàn)橐驗(yàn)?rnrnrnrnkkkAX .,), 2 , 1()2(再證它們線(xiàn)性無(wú)關(guān)再證它們線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解的解都是都是知知由線(xiàn)性方程組解的性質(zhì)由線(xiàn)性方程組解的性質(zhì)BAXrnii 所以所以線(xiàn)性無(wú)關(guān)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的證明知的證明知由由則

24、則令令,)1(, 0)(, 0)()(211110110 rnrnrnrnrnrnkkkkkkkk , 0, 0, 0, 021210kkkkkkkrnrn., 0,21210線(xiàn)性無(wú)關(guān)線(xiàn)性無(wú)關(guān)故故得得解之解之 rnrnkkkk 可表為可表為則則的任一解的任一解為方程組為方程組設(shè)設(shè)XBAXX,)3( rnrntttX 2211)()(11 rnrntt)()()1(111 rnrnrntttt , 1,11001 ttttttrnrn則則令令都都可可以以表表示示為為的的任任一一解解故故XBAX . 1),()( 10110 ttttttXrnrnrn且且 注意注意(1)本例是對(duì)非齊次線(xiàn)性方程組的

25、解本例是對(duì)非齊次線(xiàn)性方程組的解的結(jié)構(gòu)作進(jìn)一步的分析和討論，即非齊次線(xiàn)性方的結(jié)構(gòu)作進(jìn)一步的分析和討論，即非齊次線(xiàn)性方程組一定存在著個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解，題中程組一定存在著個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解，題中(2)的證明表明了它的存在性的證明表明了它的存在性BAX 1 rn(3)對(duì)非齊次線(xiàn)性方程組，有時(shí)也把對(duì)非齊次線(xiàn)性方程組，有時(shí)也把如題中所給的個(gè)解稱(chēng)為的基礎(chǔ)如題中所給的個(gè)解稱(chēng)為的基礎(chǔ)解系，所不同的是它的線(xiàn)性組合只有當(dāng)線(xiàn)性組合解系，所不同的是它的線(xiàn)性組合只有當(dāng)線(xiàn)性組合系數(shù)之和為系數(shù)之和為1時(shí)，才是方程組的解時(shí)，才是方程組的解BAX BAX 1 rn(2)對(duì)齊次線(xiàn)性方程組，當(dāng)時(shí)，對(duì)齊次線(xiàn)性方程組，當(dāng)時(shí)，有無(wú)窮多組解，其中

26、任一解可由其基礎(chǔ)解系線(xiàn)性有無(wú)窮多組解，其中任一解可由其基礎(chǔ)解系線(xiàn)性表示表示nrAR )(. 00002130102110416273111A六、其它六、其它023,022,0,0223454321421543215321xxxxxxxxxxxxxxxxx方程組的增廣矩陣方程組的增廣矩陣 B 為為011123002012011111020234B.000000000000024210013101 , 2)(BR所以因此方程組的基礎(chǔ)解系由因此方程組的基礎(chǔ)解系由325)(BRn個(gè)向量構(gòu)成個(gè)向量構(gòu)成. 下面再來(lái)求矩陣下面再來(lái)求矩陣 A 的列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組的列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組.故矩陣故矩陣

27、 A 的四個(gè)列向量的四個(gè)列向量NoYes在不構(gòu)成基礎(chǔ)解系時(shí)是在不構(gòu)成基礎(chǔ)解系時(shí)是NoYes00002130102110416273111A.0000000000003/23/1103/13/201由此可知矩陣由此可知矩陣 A 的秩的秩 ,2)(AR所以矩陣所以矩陣A的列向量組的最大無(wú)關(guān)組由的列向量組的最大無(wú)關(guān)組由2個(gè)向量構(gòu)成個(gè)向量構(gòu)成, 令令,021107,01043,0321611,001214321則向量組則向量組則則31,線(xiàn)性無(wú)關(guān)線(xiàn)性無(wú)關(guān),但方程組的基礎(chǔ)解系由但方程組的基礎(chǔ)解系由個(gè)向量構(gòu)成個(gè)向量構(gòu)成,因此還需補(bǔ)充一個(gè)解向量因此還需補(bǔ)充一個(gè)解向量,這個(gè)解這個(gè)解向量加到向量組向量加到向量組3

28、1,后所得向量組應(yīng)線(xiàn)性無(wú)后所得向量組應(yīng)線(xiàn)性無(wú)令令,100215531,線(xiàn)性無(wú)關(guān)線(xiàn)性無(wú)關(guān), 且都是解向量且都是解向量, 故故3關(guān)關(guān).它即為所求的基礎(chǔ)解系它即為所求的基礎(chǔ)解系. .2,2,222kzyxkzyxzyx22111212112kkB.2000223301212kkkk,21 時(shí)或當(dāng)k所以原方程組無(wú)解所以原方程組無(wú)解;因?yàn)橄禂?shù)矩陣因?yàn)橄禂?shù)矩陣 A 的秩的秩, 32)(AR且與且與 k 無(wú)關(guān)無(wú)關(guān),所以原方程組無(wú)唯一解所以原方程組無(wú)唯一解;,21, 時(shí)當(dāng)k因?yàn)橐驗(yàn)? 3)(, 2)(BRAR),()(BRAR即有無(wú)窮多解有無(wú)窮多解. 當(dāng)方程組有無(wú)窮多解時(shí)當(dāng)方程組有無(wú)窮多解時(shí),其通解分別求解如

29、下其通解分別求解如下:原方程組變?yōu)樵匠探M變?yōu)?12,12,22zyxzyxzyx解之得通解為解之得通解為,0011111czyx為任意常數(shù)為任意常數(shù).,1 時(shí)當(dāng)k1c,42,22,22zyxzyxzyx解之得通解為解之得通解為,0221112czyx為任意常數(shù)為任意常數(shù).原方程組變?yōu)樵匠探M變?yōu)?2 時(shí)當(dāng)k2c其通解為其通解為: 原方程組原方程組 無(wú)唯一解無(wú)唯一解;,21, 時(shí)當(dāng)k無(wú)解無(wú)解;,21 時(shí)或當(dāng)k有無(wú)窮多解有無(wú)窮多解;,1 時(shí)當(dāng)k其通解為其通解為,0011111czyx為任意常數(shù)為任意常數(shù);1c,2時(shí)當(dāng) k,0221112czyx為任意常數(shù)為任意常數(shù).2c 001121201321

30、x,x,x 1.),()( bARAR且所以它對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組所以它對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組 Ax=0 的基礎(chǔ)解系由的基礎(chǔ)解系由解與齊次方程組解的關(guān)系解與齊次方程組解的關(guān)系: 由已知知方程組由已知知方程組 Ax = b 是含有是含有3個(gè)個(gè)變量的方程變量的方程, 即即3,n且系數(shù)行列式且系數(shù)行列式 A 的秩的秩1,)(AR213)(ARn個(gè)向量構(gòu)成個(gè)向量構(gòu)成. 故可令故可令由非齊次方程組的由非齊次方程組的,xx322121201211則則 1 , 2 為方程組為方程組 Ax = 0 的解的解,且且 1 , 2 線(xiàn)性無(wú)線(xiàn)性無(wú),xx200001201312關(guān)關(guān), 所以所以 1 , 2 即為方程組即為

31、方程組 Ax = 0 的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系.則可得方程組則可得方程組,2,2dadcbadca 方程組方程組 Ax = b 的通解為的通解為.,2112211為任意常數(shù)ccxccx因?yàn)橐驗(yàn)?,)(AR所以滿(mǎn)足條件的方程組所以滿(mǎn)足條件的方程組Ax = b 的保留方程組只有的保留方程組只有1個(gè)方程個(gè)方程, 設(shè)為設(shè)為,dczbyax解之得解之得0,cdbdad 為任意常數(shù)為任意常數(shù).故所求方程為故所求方程為, 1 yx .0311112111112321 tt,t,t,t設(shè)設(shè) k1 1 + k2 2 + k3 3 則可得關(guān)于則可得關(guān)于 .)31 (,)21 (,0)1 (2321321321tktk

32、ktkktkkkktk1 , k2 , k3 的線(xiàn)性方程組的線(xiàn)性方程組 則本題的三個(gè)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為以下的三個(gè)等價(jià)問(wèn)題則本題的三個(gè)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為以下的三個(gè)等價(jià)問(wèn)題: t 取何值時(shí)取何值時(shí), 方程組有唯一解方程組有唯一解; t 取何值時(shí)取何值時(shí), 方程組有無(wú)窮多解方程組有無(wú)窮多解; t 取何值時(shí)取何值時(shí), 方程組無(wú)解方程組無(wú)解.,3111121101112tttttB方程組的增廣矩陣方程組的增廣矩陣 B 為為 對(duì)增廣矩陣對(duì)增廣矩陣 B 進(jìn)行初等行變換得進(jìn)行初等行變換得2311112110111tttttB.321160032012112322ttttttttttt由此可知由此可知 當(dāng)當(dāng)6/11, 0t

33、t時(shí)時(shí), 該方程組有唯該方程組有唯一解一解, 即即 可由可由 1 , 2 , 3 線(xiàn)性表示線(xiàn)性表示, 且表達(dá)式唯且表達(dá)式唯這時(shí)方程組可化簡(jiǎn)為這時(shí)方程組可化簡(jiǎn)為一一. 132)116(,132,)21 (2332321ttkttkktkktk解之得解之得,11613211642116322321tttk,ttk,ttk.11613211642116323221ttttttt即即 當(dāng)當(dāng)0t時(shí)時(shí), 31)()(BRAR所以此時(shí)所以此時(shí)方程組有無(wú)窮多解方程組有無(wú)窮多解, 即即 可由可由 1 , 2 , 3 線(xiàn)性表線(xiàn)性表 當(dāng)當(dāng)6/11t時(shí)時(shí), 因?yàn)橐驗(yàn)? 2)(AR),()(, 3)(BRARBR則而無(wú)

34、解無(wú)解, 即即 不能由不能由 1 , 2 , 3 線(xiàn)性表示線(xiàn)性表示.所以此時(shí)方程組所以此時(shí)方程組示示, 但表達(dá)式不唯一但表達(dá)式不唯一.于是于是 R(A) + R(B) n . 個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量. 由于由于 AB = O , 故故 B 的所有列向的所有列向量都是量都是 Ax = 0 的解向量的解向量,因此因此 B 的列向量中線(xiàn)性的列向量中線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量個(gè)數(shù)不會(huì)超過(guò)無(wú)關(guān)的向量個(gè)數(shù)不會(huì)超過(guò) n - - R(A), 此即此即R(B) n - - R(A), 方程組方程組 Ax=0 的基礎(chǔ)解系中恰有的基礎(chǔ)解系中恰有 n - - R(A)表出表出,設(shè)設(shè) R(A) = r , R(B) =

35、s , 則則A 有有 r 個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的行向量個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的行向量, 設(shè)為設(shè)為 1 , 2 , , r ; B 有有 s 個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的行向量個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的行向量, 設(shè)為設(shè)為 1 , 2 , , s ; 且且 A 的任一行向量均可由的任一行向量均可由 1 , 2 , , r 線(xiàn)性表線(xiàn)性表出出, B 的任一行向量也均可由的任一行向量也均可由 1 , 2 , , s 線(xiàn)性線(xiàn)性 例例 所以所以 R(A + B) R(C), 而而 R(C) r + s = R(A) + R(B) , 即即 R(A + B) R(A) + R(B) . 因此因此 A + B 的任一行向量可由向量組的任一行向量可由向量組C :

36、1 , 2 , , r , 1 , 2 , , s 線(xiàn)性表出線(xiàn)性表出, R(A) + R(A - - E) n.又又 R(A) + R(A - - E) = R(A) + R(E - - A) R(A + E - - A)因?yàn)橐驗(yàn)?A(A - - E) = A2 - - A = O,故由故由知知綜合此兩個(gè)不等式便得綜合此兩個(gè)不等式便得 R(A) + R(A - - E) = n.= R(E) = n . 證證證證方程組方程組 Ax=0 的基礎(chǔ)解系中恰有的基礎(chǔ)解系中恰有 n - - R(A)個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量. 由于由于 AB = 0 , 故故 B 的所有列向的所有列向量都是量都是

37、 Ax = 0 的解向量的解向量, 因此因此 B 的列向量中線(xiàn)性的列向量中線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量個(gè)數(shù)不會(huì)超過(guò)無(wú)關(guān)的向量個(gè)數(shù)不會(huì)超過(guò) n - - R(A), 此即此即R(B) n - - R(A),于是于是R(A) + R(B) n . 證畢證畢證畢證畢設(shè)設(shè)設(shè)設(shè) A A、B B 均是均是均是均是 m m n n 矩陣矩陣矩陣矩陣, , 證明證明證明證明: :R R( (A A + + B B) ) R R( (A A) + ) + R R( (B B) .) . n - - R(AB) , 故故 若若 x 是方程是方程 Bx = 0 的解的解, 則它也必則它也必是方程是方程 ABx = 0 的解的解,所

38、以所以 Bx = 0 的解空間是的解空間是ABx = 0 的解空間的子空間的解空間的子空間. 而而 Bx = 0 的解空間的解空間的維數(shù)為的維數(shù)為 n - - R(B) , ABx = 0 的解空間的維數(shù)為的解空間的維數(shù)為 例例 n - - R(AB) n - - R(B) ,于是得于是得 R(AB) R(B).又又 R(AB) = R(AB)T = R(BTAT) R(AT) = R(A),所以所以 R(AB) min R(A) , R(B) . 第四章測(cè)試題第四章測(cè)試題一、填空題一、填空題( (每小題每小題5 5分，共分，共4040分分) )( () )( () )( () )( () )

39、.,1 , 2 , 0 , 1, 1 , 0 , 10 , 3 , 2, 4,5 , 0 , 1, 2 . 14321線(xiàn)性相關(guān)線(xiàn)性相關(guān)時(shí)時(shí)則則設(shè)設(shè) kk ( () )( () )( () )( () ).,0 , 3 , 1,4 , 3 , 5, 0,2, 0 , 2 , 1,0 , 3 , 1, 2 . 24321線(xiàn)性無(wú)關(guān)線(xiàn)性無(wú)關(guān)時(shí)時(shí)則則設(shè)設(shè) tt ( () )( () )( () )( () )則則該該向向量量組組的的秩秩是是已已知知向向量量組組,7 , 6 , 5 , 4,6 , 5 , 4 , 3,5 , 4 , 3 , 2,4 , 3 , 2 , 1 . 34321 則向量個(gè)數(shù)則向量