量子力學復習

1、思考題1、以下說法是否正確：（1）量子力學適用于微觀體系，而經(jīng)典力學適用于宏觀體系；（2）量子力學適用于h不能忽略的體系，而經(jīng)典力學適用于h可以忽略的體系。答：（1）量子力學是比經(jīng)典力學更為普遍的理論體系，它可以包容整個經(jīng)典力學體系。（2）對于宏觀體系或h可以忽略的體系，并非量子力學不能適用，而是量子力學實際上已經(jīng)過渡到經(jīng)典力學，二者相吻合了。2、微觀粒子的狀態(tài)用波函數(shù)完全描述，這里“完全”的含義是什么？答：按照波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，波函數(shù)統(tǒng)計性的描述了體系的量子態(tài)。如已知單粒子（不考慮自旋）波函數(shù)y(r)，則不僅可以確定粒子的位置概率分布，而且如粒子的動量、能量等其他力學量的概率分布也均可通過y

2、(r)而完全確定。由于量子理論和經(jīng)典理論不同，它一般只能預言測量的統(tǒng)計結果，而只要已知體系的波函數(shù)，便可由它獲得該體系的一切可能物理信息。從這個意義上說，有關體系的全部信息顯然已包含在波函數(shù)中，所以說微觀粒子的狀態(tài)用波函數(shù)完全描述，并把波函數(shù)稱為態(tài)函數(shù)。4vv3、以微觀粒子的雙縫干涉實驗為例，說明態(tài)的疊加原理。答：設y1和y2是分別打開左邊和右邊狹縫時的波函數(shù)，當兩個縫同時打開時，實驗說明到達屏上粒子的波函數(shù)由y1和y2的線性疊加y=c1y1+c2y2來表示。可見態(tài)的疊加不是概率相加，而是波函數(shù)的疊加，屏上粒子位置的概率分布由2=c+c222Rec*1y12y2確定，中出現(xiàn)有y1和y2的干涉項

3、1c2y*1y2，對相位對概率分布具有重要作用。6c1和c2的模對相4、（1）波函數(shù)y與ky、eiay是否描述同一態(tài)？（2）下列波函數(shù)在什么情況下才是描述同一態(tài)？y1+y2;c1y1+c2y2;c1eiay1+c2eiay2 12這里c1,c2是復常數(shù)，a1,a2是實常數(shù)。答：（1）y與ky、eiay描述的相對概率分布完全相同，如對空間x1和x2兩點的相對概率(x1)(x2)22=ky(x1)ky(x2)22=ey(x1)eiay(x2)ia2ia，故y與ky、ey均描述同一態(tài)。 2（2）由于任意復數(shù)c=ceiq， 以及 * c1y1±c2y2=c1y1+c2y2±c1c2

4、y1y2+c1c2y1*y2 222顯然，只有當復數(shù)c1=c2=c，即c1=c2=c，且eia=eia=eia時， 12 y1+y2,c1y1+c2y2=c(y1+y2),c1eia1y1+c2eia2y2=c(y1+y2)eia均描述同一態(tài)。 85、量子力學為什么要用算符表示力學量？表示力學量的算符為什么必須是線性厄密的？答：用算符表示力學量，是量子體系所固有的波粒二象性所要求的，這正是量子力學處理方法上的基本特點之一。我們知道，表示量子態(tài)的波函數(shù)是一種概率波，因此，即是在一確定的量子態(tài)中，也并非各力學量都有完全確定值，而是一般的表現(xiàn)為不同數(shù)值的統(tǒng)計分布，這就注定了經(jīng)典力學量的表示方法（可由

5、運動狀態(tài)完全決定）不再使用，因此需要尋求新的表示方法。下面從力學量的平均值的表示式出發(fā)，說明引入算符的必要性。 如果體系處于y(x)中，則它的位置平均值為x=ò(x)xdx類似地，它的動量的平均值也可表示為p=ò(x)pdx若要求出上述積分，必須將p表示為x的函數(shù)，然而這是做不到的，因為按不確定關系p(x)的表示是無意義的，因此不能直接在坐標表象中用上式求動量平均值。我們可先在動量表象中求出動量平均值，然后再轉(zhuǎn)換到坐標表象中去。 p=òj(p)pdp利用j(p)=1y(x)e-ipx/hdx有 1/2ò(2ph)222p=作代換pe-ipx/h=ih1i

6、px¢/h*-ipx/h¢ey(x)py(x)edx¢dxdp 2phòòò¶-ipx/h，并對p,x¢積分得（推廣到三維） e¶xvv p=òy*(r)(-ihÑ)y(r)dt可見，要在坐標表象中計算動量平均值，那么動量矢量恰與算符-ihÑ相當。實際上，任何一個力學量在非自身表象中計算平均值時，都與相應的算符相當，自然會引入算符表示力學量的概念。用算符表示力學量問題還可以從另一個角度來說明。我們知道，在量子力學中，力學量之間的關系從其數(shù)值是否能同時確定來考慮，有相互對易與不

7、對易兩種，而經(jīng)典力學量之間都是對易的，因此經(jīng)典力學量的表示方法不能適用于量子力學，然而數(shù)學運算中算符與算符之間一般并不滿足交換律，也就是存在不對易情況，因此用算符表示力學量是適當?shù)?。力學量必須用線性厄密算符表示，這是由量子態(tài)疊加原理所要求的；任何力學量的實際測量值必須是實數(shù)，因此它的本征值也必為實數(shù)，這就決定了力學量必須由厄密算符來表示。6、力學量之間的對易關系有何物理意義？答：力學量之間的對易關系，是量子力學中極為重要的關系。它相當于舊量子論中的量子化條件，具有深刻的物理含義。對易關系表明，經(jīng)典因果性不是普遍成立的，并指出各類力學量能夠同時確定的條件（相互對易），體現(xiàn)了量子力學的基本特點。與

8、不確定原理一樣，力學量之間的對易關系也是來源于物質(zhì)的波粒二象性。 從純理論的角度說，它也可以作為量子力學的基本出發(fā)點。此外，對于有的力學量，對易關系反映了它的基本特征，如La,Lb=iheabgLg，就可作為角動量的定義。7、什么是力學量的完全集？它有何特征？答：設有一組彼此獨立而又相互對易的力學量（F1,F2,L），它們的共同本征函數(shù)系為(jn,jn,L)，如果給定一組量子數(shù)(n1,n2,L)就可以確定體系的一個可能態(tài)，那么，12就稱（F1,F2,L）為體系的一個力學量完全集。它的特點是：（1）力學量完全集的共同本征函數(shù)系構成一個希爾伯特空間；（2）力學量完全集所包含力學量的數(shù)目等于量子數(shù)組

9、(n1,n2,L)所包含的量子數(shù)數(shù)目，即體系的自由度數(shù)；（3）力學量完全集中所有力學量是可以同時測量的。8、何謂定態(tài)? 它有何特征？答：定態(tài)就是概率密度和概率流密度不隨時間而變化的狀態(tài)。若勢場恒定則體系可以處于定態(tài)。定態(tài)具有以下特征:（1）定態(tài)波函數(shù)時空坐標可以分離，y(r,t)=y(r)e-iEt/h，其中y(r)是哈密頓量H的本征函數(shù)，而E為相應的本征值；（2）不顯含時間t的任何力學量，對于定態(tài)的平均值不隨時間而變化，各種可能值出現(xiàn)的概率分布也不隨時間而變化。注意，通常用y(r)表示定態(tài)只是一種簡寫，定態(tài)是含時態(tài)，任何描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)都是含時的。17¶V=0，¶tv

10、vvv9、不確定關系如何體現(xiàn)微觀粒子的普遍本質(zhì)波粒二象性？答：對于微觀粒子使用“波粒二象性”的術語，這本身既反映了經(jīng)典物理概念的局限性，又反映了我們語言的局限性。我們可以認為，物質(zhì)兼具粒子性和波動性，但確切地說，它們既不是經(jīng)典波，也不是經(jīng)典粒子，經(jīng)典物理中粒子和波的概念只有經(jīng)過修正才能被量子理論借用，不確定性關系就反映了這種修正，它給出了這兩個概念能夠被有效借用的限度，如Dx×Dp³給出了用粒子圖像描述物質(zhì)的局限性。19h210、如何用矩陣表示量子態(tài)與力學量，并說明理由。答: 矩陣表示一般用于本征值為分立譜的表象（相應希爾伯特空間的維數(shù)是可數(shù)的）。具體說，如果力學量A的本征

11、函數(shù)為j1,j2,Ljn，相應本征值為A1,A2,LAn。任意態(tài)矢y可展開為y=åanynn態(tài)矢y在A表象的表示為展開系數(shù)an組成的一列矩陣æa1öç÷a2÷ y=ççM÷ç÷ça÷ènø其意義是：在y態(tài)中，力學量A取值An的幾率為an，與坐標表象波函數(shù)的意義相類似。力學量用厄密矩陣表示æA11çA21 A=ççMççAèn1A12LA1nö÷A22LA2n

12、÷ Aij=(ji,Ajj) ÷MMM÷An2LAnn÷ø2可見列矩陣與方陣維數(shù)與希爾伯特空間維數(shù)相同。用矩陣表示力學量，理由如下：（1）可以反映力學量作用一個量子態(tài)而得到另一個量子態(tài)的事實。設j(x)=Ay(x)，則æb1öæA11ç÷çb2÷çA21 ççM÷=çMç÷ççb÷çAènøèn1A12LA1nöæa1

13、ö÷ç÷A22LA2n÷ça2÷ 簡記為b=Aa； ç÷÷MMMM÷ç÷ç÷An2LAnn÷øèanø（2）矩陣乘法一般不滿足交換律，這恰好能滿足兩個力學量一般不對易的要求；（3）厄密矩陣的性質(zhì)能體現(xiàn)力學量算符的厄密性。11、算符（力學量）在其自身表象中如何表示？其本征矢是什么?答：力學量本征值是分立譜時，它在其自身表象中的表示是對角化的，對角元素就是它的本征值本征矢為單一元素列矩陣23æ

14、1;A1 A=ç0ççMçè0æç1ö=ç0÷ç÷1 çM÷ç÷è0÷ø0L0öA2L0÷÷MMM÷ 0LA÷n÷øæç0ö÷ j2=ç1ç÷M÷ ççè0÷÷ø j12、狄拉克符號中，引入了右矢&g

15、t;，為什么又引入左矢<，右矢和左矢能夠相加嗎？答：在量子力學中，態(tài)空間是具有內(nèi)積的矢量空間，類似于希爾伯特空間波函數(shù)j和y的內(nèi)積(j,y)=òj*ydt，|j>和|y>的內(nèi)積記為<j|y>，<j|是對應于|j>的左矢，屬于伴隨空間的一個矢量。由于左矢和右矢是分屬于25不同空間的矢量，它們不能相加。13、（1）(AB|y>)=<y|BA +ÙÙÙ+Ù+（2）|ly>=l|y>（3）如>是F的本征矢，則<y|F=F¢<y|（4）算符Pn=|n>&l

16、t;n|的物理意義是什么？公式å|n.<n|=1成立的條件是什么？nÙÙ答：算符Pn=|n><n|的物理意義在于，它作用于任何態(tài)矢上得到該態(tài)矢在基矢|n>方向的投影矢量，Pn|A>=|n><n|A>=An|n>；且Pn2=|n><n|n><n|=|n><n|=Pn，故Pn=|n><n|稱為投影算符，An=<n|A>是投影數(shù)值。 公式å|n.<n|=1成立的條件是基矢集|n>組成正交、歸一、完備系，任意態(tài)n矢均可按|n>唯一展

17、開|A>=åAn|n>=å|n><n|A>，由于|A>為任意態(tài)矢，故得nn到åPn=å|n><n|=1，此式可作為完全集的定義式，稱為封閉性關系。 nn14、簡述定態(tài)微擾論的基本思想。答：量子力學體系的哈密頓算符H不是時間的顯函數(shù)時，通過求解定態(tài)薛定諤方程，討論定態(tài)波函數(shù)。除少數(shù)特例外，定態(tài)薛定諤方程一般很難嚴格求解。求解定態(tài)薛定諤方程Hy=Ey時，若可以把不顯函時間的H分為大、小兩部分H=HÙÙÙÙÙÙ(0)+H¢ Ù|H(0

18、)|>>|H¢|，其中 HÙÙ(0)y(0)n=Ey(0)n(0)n，即HÙ(0)的本征值En(0)和本征函數(shù)yn(0)是可以精確求解的，或已有確定的結果。，將微擾寫成 lH¢， 滿足上述條件的基礎上，常引入一個很小參數(shù)l（0<l<1）以逐步近似的精神求解薛定諤方程。將能級和波函數(shù)以l的冪級數(shù)展開(0)(1)(2)ìEn=En+lEn+l2En+L í (0)(1)2(2)=+LyylylynnnînÙE(0)n與y稱為零級近似能量和零級近似波函數(shù)，是未受微擾時H(0)nÙ

19、;(0)的本征能量和本征函數(shù)，也是我們求解微擾問題的必備基本條件，后面各項按l的冪次稱為一級修正、二級修正、。15、非簡并定態(tài)微擾論的適用條件是什么？答：(0)(0)¢|<<|En 非簡并定態(tài)微擾論的適用條件為|Hmn一是要求微擾本身應很小，-Em|，(0)|較大。 二是要求能級間隔|En(0)-Em16、簡并態(tài)微擾與非簡并態(tài)微擾的主要區(qū)別是什么？什么條件下，簡并能級情況可用非簡并態(tài)微擾處理？答：簡并態(tài)微擾與非簡并態(tài)微擾的主要區(qū)別是零級近似能量給定后，對應的零級近似波函數(shù)一般說來是不能完全確定的。0) 對于f度簡并能級Ek(0),如選擇的f個獨立的yk(a已使H¢

20、;對角化，即)0)0)0)¢¢dab，此時Ek(1對應的零級近似波函數(shù)為yk(a，雖然能級Ek(0)<yk(a>=Hab|H¢|yk(ba=Haa，是簡并的，仍可用非簡并定態(tài)微擾論處理一級近似問題。17、自旋可在坐標空間中表示嗎？它與軌道角動量性質(zhì)上有何差異？答：（1）自旋是內(nèi)稟角動量，它不能在坐標空間中表示出來。（2）軌道角動量是微觀粒子的外部空間角動量，它可在坐標表象中表示出來，量子數(shù)為整數(shù)，本征態(tài)為球諧函數(shù)；自旋是內(nèi)稟角動量，量子數(shù)為整數(shù)或半奇整數(shù)，自旋函數(shù)需用多分量波函數(shù)表示。此外，二者的旋磁比不同。18、電子Sz的本征態(tài)常被寫為a=ç÷，b=ç÷；它們的含義是什么？ ç0÷ç1