高中立體幾何證明方法及例題

1、 1. 空間角與空間距離在高考的立體幾何試題中，求角與距離是必考查的問題，其中最主要的是求線線角、線面角、面面角、點(diǎn)到面的距離，求角或距離的步驟是“一作、二證、三算”，即在添置必要的輔助線或輔助面后，通過推理論證某個(gè)角或線段就是所求空間角或空間距離的相關(guān)量，最后再計(jì)算。 2. 立體幾體的探索性問題立體幾何的探索性問題在近年高考命題中經(jīng)常出現(xiàn)，這種題型有利于考查學(xué)生歸納、判斷等方面的能力，也有利于創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)。近幾年立體幾何探索題考查的類型主要有：（1）探索條件，即探索能使結(jié)論成立的條件是什么？（2）探索結(jié)論，即在給定的條件下命題的結(jié)論是什么。對(duì)命題條件的探索常采用以下三種方法：（1）先觀察，

2、嘗試給出條件再證明；（2）先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性；（3）把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，探索出命題成立的條件。對(duì)命題結(jié)論的探索，常從條件出發(fā)，再根據(jù)所學(xué)知識(shí)，探索出要求的結(jié)論是什么，另外還有探索結(jié)論是否存在，常假設(shè)結(jié)論存在，再尋找與條件相容還是矛盾。（一）平行與垂直關(guān)系的論證 由判定定理和性質(zhì)定理構(gòu)成一套完整的定理體系，在應(yīng)用中：低一級(jí)位置關(guān)系判定高一級(jí)位置關(guān)系；高一級(jí)位置關(guān)系推出低一級(jí)位置關(guān)系，前者是判定定理，后者是性質(zhì)定理。 1. 線線、線面、面面平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化： 2. 線線、線面、面面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化： 3. 平行與垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化： 4. 應(yīng)用以上“轉(zhuǎn)化”的基

3、本思路“由求證想判定，由已知想性質(zhì)?！?5. 唯一性結(jié)論： 1. 三類角的定義： （1）異面直線所成的角：090 （2）直線與平面所成的角：090 （3）二面角：二面角的平面角，0180 2. 三類角的求法：轉(zhuǎn)化為平面角“一找、二作、三算”即：（1）找出或作出有關(guān)的角； （2）證明其符合定義； （3）指出所求作的角； （4）計(jì)算大小。（三）空間距離：求點(diǎn)到直線的距離，經(jīng)常應(yīng)用三垂線定理作出點(diǎn)到直線的垂線，然后在相關(guān)三角形中求解。求點(diǎn)到面的距離，一般找出（或作出）過此點(diǎn)與已知平面垂直的平面利用面面垂直的性質(zhì)求之也可以利用“三棱錐體積法”直接求距離，直線與平面的距離，面面距離都可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離

4、。【典型例題】（一）與角有關(guān)的問題 例1. （1）如圖，E、F分別為三棱錐PABC的棱AP、BC的中點(diǎn)，PC10，AB6，EF7，則異面直線AB與PC所成的角為（ ）A. 60B. 45C. 30D. 120解：取AC中點(diǎn)G，連結(jié)EG、FG，則EGF為AB與PC所成的角在EGF中，由余弦定理，AB與PC所成的角為18012060選A（2）已知正四棱錐以棱長為1的正方體的某個(gè)面為底面，且與該正方體有相同的全面積，則這一正四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角的余弦值為（ ）解：選A點(diǎn)P到平面QEF的距離為定值；直線PQ與平面PEF所成的角為定值；二面角PEFQ的大小為定值；三棱錐PQEF的體積為定值其中正確

5、命題的序號(hào)是_。解：對(duì)，錯(cuò)值，對(duì)綜上，正確。 例2. 圖是一個(gè)正方體的表面展開圖，MN和PQ是兩條面對(duì)角線，請(qǐng)?jiān)趫D（2）的正方體中將MN，PQ畫出來，并就這個(gè)正方體解答下列各題：（1）求MN和PQ所成角的大?。唬?）求四面體MNPQ的體積與正方體的體積之比；（3）求二面角MNQP的大小。解：（1）如圖，作出MN、PQPQNC，又MNC為正三角形MNC60PQ與MN成角為60 即四面體MNPQ的體積與正方體的體積之比為1：6（3）連結(jié)MA交PQ于O點(diǎn)，則MOPQ又NP面PAQM，NPMO，則MO面PNQ過O作OENQ，連結(jié)ME，則MENQMEO為二面角MNQP的平面角在RtNMQ中，MENQMN

6、MQ設(shè)正方體的棱長為aMEO60即二面角MNQP的大小為60。 例3. 如圖，已知四棱錐PABCD，PBAD，側(cè)面PAD為邊長等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角為120。（1）求點(diǎn)P到平面ABCD的距離；（2）求面APB與面CPB所成二面角的大小。解：（1）作PO平面ABCD，垂足為O，連結(jié)OB、OA、OD，OB與AD交于點(diǎn)E，連結(jié)PEADPB，ADOB（根據(jù)_）PAPD，OAOD于是OB平分AD，點(diǎn)E為AD中點(diǎn)PEADPEB為面PAD與面ABCD所成二面角的平面角PEB120，PEO60即為P點(diǎn)到面ABCD的距離。（2）由已知ABCD為菱形，及PAD為

7、邊長為2的正三角形PAAB2，又易證PBBC故取PB中點(diǎn)G，PC中點(diǎn)F則AGPB，GFBC又BCPB，GFPBAGF為面APB與面CPB所成的平面角GFBCAD，AGFGAE連結(jié)GE，易證AE平面POB（2）解法2：如圖建立直角坐標(biāo)系，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸平行于DA（二）與距離有關(guān)的問題 例4. （1）已知在ABC中，AB9，AC15，BAC120，它所在平面外一點(diǎn)P到ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離都是14，那么點(diǎn)P到平面ABC的距離是（ ）A. 13B. 11C. 9D. 7 解：設(shè)點(diǎn)P在ABC所在平面上的射影為OPAPBPC，O為ABC的外心ABC中，AB9，AC15，BAC120長度為_。解：（

8、采用展開圖的方法）點(diǎn)評(píng)：此類試題，求沿表面運(yùn)動(dòng)最短路徑，應(yīng)展開表面為同一平面內(nèi)，則線段最短。但必須注意的是，應(yīng)比較其各種不同展開形式中的不同的路徑，取其最小的一個(gè)。（3）在北緯45圈上有甲、乙兩地，它們的經(jīng)度分別是東經(jīng)140與西經(jīng)130，設(shè)地球半徑為R，則甲、乙兩地的球面距離是（ ）解：（O1為小圓圓心）AOB為正三角形（O為球心）選D 例5. 如圖，四棱錐PABCD，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，E、F分別是AB、PD中點(diǎn)。（1）求證：AF平面PEC；距離。解：G為PC中點(diǎn)，連結(jié)FG、EG又F為PD中點(diǎn)四邊形AEGF為平行四邊形AF平面PEC（2）CDAD，又PA面ABCDAD為PD

9、在面ABCD上射影CDPDPDA為二面角PCDB的平面角，且PDA45則PAD為等腰直角三角形AFPD，又CD平面PADCDAFAF面PCD作FHPC于H，則AFFH又EGAF，EGFHFH面PEC，F(xiàn)H為F到面PEC的距離在RtPEG中，F(xiàn)HPGPFFG方法2：（體積法）AF面PEC，故只要求點(diǎn)A到面PEC的距離d易證AF面PCD，EG面PCDEGPC （三）對(duì)命題條件的探索 例6. （1）如圖已知矩形ABCD中，AB3，BCa，若PA平面ABCD，在BC邊上取點(diǎn)E，使PEDE，則滿足條件E點(diǎn)有兩個(gè)時(shí)，a的取值范圍是（ ）解：PA面ABCD，PEDE由三垂線定理的逆定理知PE的射影AEBE所

10、以滿足條件的點(diǎn)E是以AD為直徑的圓與BC的交點(diǎn)，要有兩個(gè)交點(diǎn)，則AD2AB6選A（2）如圖，在三棱柱ABCABC中，點(diǎn)E、F、H、K分別為AC、CB、AB、BC的中點(diǎn)，G為ABC的重心，從K、H、G、B中取一點(diǎn)作為P，使得該棱柱恰有2條棱與平面PEF平行，則P為（ ）A. KB. HC. GD. B分析：從題目中的“中點(diǎn)”條件，聯(lián)想到“中位線”。而平面PEF中，EF為定直線，連BC則F為BC中點(diǎn)考慮到若P為K點(diǎn)，則還有AA、BB、CC都平行于FK即它們也都平行于平面PEF，不合題意。同理P也不能為H點(diǎn)，若P為B點(diǎn)時(shí)，EF與BA共面也不符合題意（這時(shí)只有一條棱平行于平面PEF），可見只能取G點(diǎn)。

11、故選C 例7. 置；若不存在，說明理由。置；解：（1）（用反證法）不存在點(diǎn)P滿足題目條件（2）過B作BHAP于H，連CH即BHC是二面角CAPB的平面角BAH30下面求Q點(diǎn)的位置。（四）對(duì)命題結(jié)論的探索 例8. 并且總保持APBD1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（ ）分析：從條件APBD1出發(fā)，可知AP必在過A點(diǎn)且與BD1垂直的平面B1AC上點(diǎn)P必在B1C上選A（2）如圖，斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，則C1在底面ABC上的射影H必在（ ）A. 直線AB上B. 直線BC上C. 直線CA上D. ABC內(nèi)部解：連結(jié)AC1ACAB，又ACBC1AC面ABC1則C在面ABC上的射影必在交線

12、AB上選A 例9. 在四面體ABCD中，ABBC，ABBD，BCCD，且ABBC1。（1）求證：平面CBD平面ABD；（2）是否存在這樣的四面體，使二面角CADB的平面角為30？如果存在，求出CD的長；如果不存在，請(qǐng)找出一個(gè)角，使得存在這樣的四面體，使二面角CADB的平面角為。解：（1）ABBC，ABBD面ABD面CBD（2）設(shè)CDx，在面CBD內(nèi)作CEBD于E由（1）知平面ABD面BCD，且BD為交線CE平面ABD作EFAD于F，連結(jié)CF，則CFADCFE為“二面角”CADB的平面角，且CFE30又在RtBCD中，CEBDCBCD又CDBC，又BC為AC在面BCD上射影CDAC則在RtACD

13、中，CFADACCD故不存在這樣的四面體，使二面角CADB的平面角為30故可以取4590之間的任意角。點(diǎn)評(píng)：本題是一道存在性的探索問題。常常假定結(jié)論成立，再判斷它與已知條件是否符合?！灸M試題】一. 選擇題。 1. PA、PB、PC是從P引出的三條射線，兩兩成60，則PC與平面PAB所成角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 2. 在邊長為1的菱形ABCD中，ABC60，將菱形沿對(duì)角線AC折起，使折起后BD1，則二面角BACD的余弦值為（ ）A. B. C. D. 3. 三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，底面上一點(diǎn)到三個(gè)側(cè)面的距離分別是2，3，6，則這個(gè)點(diǎn)到三棱錐頂點(diǎn)的距離是（ ）A. B. C.

14、7D. 4. 已知A、B、C是球面上的三點(diǎn)，且AB6，BC8，AC10，球 心O到平面ABC的距離為，則球的表面積為（ ）A. B. C. D. 5. ABC邊上的高線為AD，且，將ABC沿AD折成大小為的二面角BADC，若，則三棱錐ABCD的側(cè)面ABC是（ ）A. 銳角三角形B. 鈍角三角形C. 直角三角形D. 形狀與a，b的值有關(guān)的三角形 6. 有一塔形幾何體由若干個(gè)正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體的下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn)，已知最底層正方體的棱長為2，且該塔形的表面積（含最底層正方體的底面積）超過39，則該塔中正方體的個(gè)數(shù)至少是（ ）A. 4B. 5C. 6D

15、. 7二. 填空題。 7. 如圖，在三棱錐PABC中，且，則PA與底面ABC所成角的大小為_。 8. 如圖，矩形ABCD中，沿AC把DAC折起，當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，直線AD與平面ABG所成角的正弦值是_。 9. 如圖，正方體棱長為1，M、N分別為中點(diǎn)，則點(diǎn)C到截面MNDB的距離是_。三. 解答題。 10. 如圖，正三角形ABC的邊長為3，過其中心G作BC邊的平行線，分別交AB、AC于，將沿折起到的位置，使點(diǎn)在平面上的射影恰是線段BC的中點(diǎn)M，求：（1）二面角的大?。唬?）異面直線與所成角的大小。（用反三角函數(shù)表示） 11. 如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AF1，M

16、是線段EF的中點(diǎn)。（1）求證：AM平面BDE；（2）求二面角ADFB的大小；（3）試在線段AC上確定一點(diǎn)P，使得PF與BC所成的角是60。【試題答案】一. 選擇題。 1. C2. A3. C4. C5. C 6. C提示：假設(shè)有n個(gè)正方體構(gòu)成，其表面積由二部分組成：（1）俯視圖、表面只有一個(gè)正方形，其邊長為2。（2）側(cè)面則由4n個(gè)正方形構(gòu)成，且各層（從下往上看）正方形面積構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為4，公比為的等比數(shù)列。表面積n的最小值為6二. 填空題。 7. 提示：由題意，P點(diǎn)在面ABC上的射影H是ABC外心，H為BC中點(diǎn)） 8. 9. 提示：，即三. 解答題。 10. （1）連結(jié)AM，ABC為正三角形，

17、M為BC邊中點(diǎn)A、G、M三點(diǎn)共線，AMBC即是二面角的平面角點(diǎn)在平面上的射影為M在中，由得即二面角的大小是60（2）過作交BC于P，則為異面直線與所成的角由是平行四邊形得：于M在中，在中，在中，由余弦定理異面直線與所成的角為 11. 解：（1）記AC與BD交于點(diǎn)O，連結(jié)OEO、M分別是AC、EF的中點(diǎn)，ACEF是矩形四邊形AOEM是平行四邊形AMOE，平面BDE，平面BEDAM平面BDE（2）ABAF，ABAD，AB平面ADF，作ASDF于S，連BS由三垂線定理，得BSDFBSA是二面角ADFB的平面角在RtASB中，二面角ADFB的大小為60（3）設(shè)，作PQAB于Q，則PQADPQAB，PQAF，PQ面ABFPQQF在RtPQF中，F(xiàn)PQ60，PF2PQPAQ為等腰直角三角形又PAF為直角三角形或（舍）即點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)【勵(lì)志故事】機(jī)會(huì)的意義一個(gè)人在海上遇難，漂流到了一個(gè)小島上，他建了個(gè)小木房，還儲(chǔ)存了一些食物在里面。每天他想盡辦法尋找生機(jī)，一大早就要登上高處張望?？梢粋€(gè)星期過去了，一只木船的影子也沒看見。 這天，他正在岸邊張望，突然狂風(fēng)大作，雷電轟鳴。一回頭，他看見自己的木棚方向升起濃煙，他急忙跑回去，原來雷電點(diǎn)燃