高中數(shù)學(xué)競賽00試題分類匯總——立體幾何

1、專題六 立體幾何一、 選擇題（每小題6分）1 （01全國）命題1 長方體中，必存在到各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)；命題2 長方體中，必存在到各棱離相等的點(diǎn)； 命題1 長方體中，必存在到各面離相等的點(diǎn)；以上三個(gè)命題中正確的有 ( )A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)解：由于長方體的中心到各頂點(diǎn)的距離相等，所以命題1正確對(duì)于命題2和命題3，一般的長方體（除正方體外）中不存在到各條棱距離相等的點(diǎn)，也不存在到各個(gè)面距離相等的點(diǎn)因此，本題只有命題1正確，選2 （03全國）在四面體ABCD中，設(shè)AB1，CD，直線AB與CD的距離為2，夾角為，則四面體ABCD的體積等于 （ ）A B C D解：如圖，過C作CEA

2、B且CEAB，以CDE為底面，BC為側(cè)棱作棱柱ABFECD，則所求四面體的體積V1等于上述棱柱體積V2的而CDE的面積SCECDsinECD，AB與CD的公垂線MN就是棱柱ABFECD)的高，故，因此，故選(B)3 （06全國）在直三棱柱中，. 已知與分別為和的中點(diǎn)，與分別為線段和上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)）. 若，則線段的長度的取值范圍為 （ ）A. B. C. D. 【答】 （ A ）【解】建立直角坐標(biāo)系，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，則（），（）。所以，。因?yàn)椋?，由此推?。又，從而有 。4 （04全國）頂點(diǎn)為P的圓錐的軸截面是等腰直角三角形，A是底面圓周上的點(diǎn)，B是底面圓內(nèi)的點(diǎn)，O為底

3、面圓的圓心，垂足為B，垂足為H，且PA=4，C為PA的中點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐OHPC的體積最大時(shí)，OB的長是 （ ）A. B. C. D. 解：。C是PA中點(diǎn)，最大，也即最大。此時(shí)，故選D。5 （05全國）如圖，為正方體。任作平面與對(duì)角線垂直，使得與正方體的每個(gè)面都有公共點(diǎn)，記這樣得到的截面多邊形的面積為S，周長為.則 （ ）AS為定值，不為定值 BS不為定值，為定值CS與均為定值 DS與均不為定值解：將正方體切去兩個(gè)正三棱錐后，得到一個(gè)以平行平面為上、下底面的幾何體V，V的每個(gè)側(cè)面都是等腰直角三角形，截面多邊形W的每一條邊分別與V的底面上的一條邊平行，將V的側(cè)面沿棱剪開，展平在一張平面上，得到一個(gè)

4、 ，而多邊形W的周界展開后便成為一條與平行的線段（如圖中），顯然，故為定值。當(dāng)位于中點(diǎn)時(shí)，多邊形W為正六邊形，而當(dāng)移至處時(shí)，W為正三角形，易知周長為定值的正六邊形與正三角形面積分別為與，故S不為定值。選B。6 （04天津）正四棱錐中，側(cè)棱與底面所成的角為，側(cè)面與底面所成的角為，側(cè)面等腰三角形的底角為，相鄰兩側(cè)面所成的二面角為，則、的大小關(guān)系是（ A ）（A） （B） （C） （D）7 （04天津）若對(duì)任意的長方體，都存在一個(gè)與等高的長方體，使得與的側(cè)面積之比和體積之比都等于，則的取值范圍是 （ D ）（A）（B）（C） （D）8 （05天津）如圖1，已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F

5、分別為AB、AA1的中點(diǎn)則平面CEB1與平面D1FB1所成二面角的平面角的正弦值為 ( )(A) (B) (C) (D)1 解：C延長CE、D1F、DA交于一點(diǎn)G，設(shè)棱長為1，可知B1C，B1G，CG，故B1GB1C；同理，B1D1B1G，CB1D1即為所求二面角的平面角，易求CB1D160，其正弦值為9 （06天津）已知為四面體的側(cè)面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)與頂點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到底面的距離，那么在側(cè)面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某曲線的一部分，則該曲線一定是（A）圓或橢圓（B）橢圓或雙曲線 （C）雙曲線或拋物線 （D）拋物線或橢圓 （ D ）二、填空題（每小題9分）10 （05）如圖，四面體DABC的體積為，且

6、滿足則.解：即又等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，這時(shí)面ABC，.11 （00全國）一個(gè)球與正四面體六條棱都相切，若正四面體的棱長為a，則這個(gè)球的體積是 .12 （01全國）正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，則直線A1C1與BD1的距離是_6_.13 （03全國）將8個(gè)半徑都為1的球分兩層放置在一個(gè)圓柱內(nèi)，并使得每個(gè)球和其相鄰的四個(gè)球相切，且與圓柱的一個(gè)底面及側(cè)面都相切，則此圓柱的高等于_解：如圖，由已知，上下層四個(gè)球的球心A/，B/，C/，D/和A，B，C，D分別是上下兩個(gè)邊長為2的正方形的頂點(diǎn)，且以它們的外接圓O/和O為上下底面構(gòu)成圓柱，同時(shí)，A/在下底面的射影必是弧AB的中點(diǎn)M在A/AB中，A

7、/AA/BAB2設(shè)AB的中點(diǎn)為N，則A/N 又OMOA，ON1，MNA/M，故所求原來圓柱的高為14 （04）如圖、正方體中，二面角的度數(shù)是_。解：連結(jié)，垂足為E，延長CE交于F，則，連結(jié)AE，由對(duì)稱性知是二面角的平面角。連結(jié)AC，設(shè)AB=1，則中，在.的補(bǔ)角，。15 （06全國）底面半徑為1cm的圓柱形容器里放有四個(gè)半徑為cm的實(shí)心鐵球，四個(gè)球兩兩相切，其中底層兩球與容器底面相切. 現(xiàn)往容器里注水，使水面恰好浸沒所有鐵球，則需要注水cm3.【解】設(shè)四個(gè)實(shí)心鐵球的球心為，其中為下層兩球的球心，分別為四個(gè)球心在底面的射影。則ABCD是一個(gè)邊長為的正方形。所以注水高為。故應(yīng)注水。16 （04天津）連接正文體各個(gè)頂點(diǎn)的所有直線中，異面直線共有 174 對(duì)17 （06天津）在一個(gè)棱長為5的正方體封閉的盒內(nèi)，有一個(gè)半徑等于1的小球，若小球在盒內(nèi)任意地運(yùn)動(dòng)，則小球達(dá)不到的空間的體積的大小等于 18 （05天津）如圖2，菱形ABCD的邊長為1，AB