銷(xiāo)售額的回歸模型

1、銷(xiāo)售額回歸模型 20098511 袁少偉摘要公司銷(xiāo)售額是對(duì)公司綜合收益的一個(gè)重要表現(xiàn)，某公司希望通過(guò)公司與全行業(yè)銷(xiāo)售額進(jìn)行對(duì)比來(lái)對(duì)公司未來(lái)銷(xiāo)售額進(jìn)行預(yù)測(cè)。我們利用統(tǒng)計(jì)回歸的方法，建立了回歸模型，并利用MATLAB軟件進(jìn)行模型的求解與分析，再通過(guò)對(duì)模型進(jìn)行變換，建立了優(yōu)化后的回歸模型。針對(duì)問(wèn)題一:利用已知數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖并建立起來(lái)線性回歸模型，其擬合度是非常的好，看起來(lái)是合適的。針對(duì)問(wèn)題二：利用殘差作為隨機(jī)誤差的估計(jì)值，從的散點(diǎn)圖，能夠從直觀上定性的判斷隨機(jī)誤差存在自相關(guān)性；也可以用檢驗(yàn)法去定量判斷，對(duì)于本文中，由，隨機(jī)誤差存在自相關(guān)性。因此，模型是不可取的。針對(duì)問(wèn)題三：為了消除隨機(jī)誤差存在的自相

2、關(guān)性，我們對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化變換后得到新的模型：，再對(duì)此模型用檢驗(yàn)法進(jìn)行判定，由于 ，隨機(jī)誤差無(wú)自相關(guān)性，因此，這個(gè)模型就可以作為預(yù)測(cè)公司的銷(xiāo)售額的問(wèn)題的回歸模型。關(guān)鍵詞： 回歸模型 時(shí)間序列 擬合 自相關(guān)性 檢驗(yàn) 一、 問(wèn)題重述某公司想用全行業(yè)的銷(xiāo)售額作為自變量來(lái)預(yù)測(cè)公司的銷(xiāo)售額，附錄I給出了1977-1981年公司銷(xiāo)售額和行業(yè)銷(xiāo)售額的分季度數(shù)據(jù)（單位：百萬(wàn)元）。（1） 畫(huà)出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，觀察用線性回歸模型擬合是否合適。（2） 建立公司銷(xiāo)售額對(duì)全行業(yè)銷(xiāo)售額的回歸模型，并用DW檢驗(yàn)診斷隨機(jī)誤差項(xiàng)的自相關(guān)性。（3） 建立消除了隨機(jī)誤差項(xiàng)自相關(guān)性后的回歸模型。年季t公司銷(xiāo)售額y行業(yè)銷(xiāo)售額x年季t公司銷(xiāo)

3、售額y行業(yè)銷(xiāo)售額x19771978197912341234121234567891020.9621.4021.9621.5222.3922.7623.4823.6624.1024.01127.3130.0132.7129.4135.0137.1141.2142.8145.5145.319791980198134123412341112131415161718192024.5424.3025.0025.6426.3626.9827.5227.7828.2428.78148.3146.4150.2153.1157.3160.7164.2165.6168.7171.7表1 某公司的銷(xiāo)售額與全行業(yè)的銷(xiāo)

4、售額二、模型假設(shè)：公司的第t次季度銷(xiāo)售額：全行業(yè)的第t次季度銷(xiāo)售額:模型I中的常量與系數(shù)：由模型求得的公司的第t次季度銷(xiāo)售額：公司的第t次季度銷(xiāo)售額的殘差三、模型的建立與分析1. 繪制散點(diǎn)圖 利用已知表格（表1）繪制出散點(diǎn)圖，繪制方法及程序見(jiàn)附錄圖1 行業(yè)銷(xiāo)售額與公司銷(xiāo)售額數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖 根據(jù)圖1，可以看出行業(yè)銷(xiāo)售額增大，公司銷(xiāo)售額也增大，且具有一定的線性關(guān)系，初步判斷應(yīng)以一次線性曲線為擬合目標(biāo)，即選擇線性回歸模型，則目標(biāo)函數(shù)為：2. 模型分析 利用Matlab程序求解a，b。程序設(shè)計(jì)見(jiàn)附錄。得到回歸系數(shù)估計(jì)值；則擬合的線性回歸模型I為：參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間,0.1793=0.99879 F=

5、1488.8 p=0.007擬合系數(shù)和的95%的置信區(qū)間分別為：-1.9047 -1.0048和1.9047 0.1793r 中的數(shù)據(jù)表示模型擬合殘差向量；rint中的數(shù)據(jù)表示模型擬合殘差的95%的置信區(qū)間；在states 的數(shù)據(jù)中表示包含方差分析的F統(tǒng)計(jì)量方差分析的顯著性概率模型方差的估計(jì)值四、 自相關(guān)性診斷與處理從表面上看得到的基本模型I的擬合度非常之高（），應(yīng)該很滿意了。但是，這個(gè)模型并沒(méi)有考慮到我們的數(shù)據(jù)是一個(gè)時(shí)間序列（即將表1的年份序號(hào)打亂，不影響模型I的結(jié)果）。實(shí)際上，在對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)做回歸分析時(shí)，模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)有可能存在相關(guān)性，違背模型關(guān)于（對(duì)時(shí)間）相互獨(dú)立的假設(shè)。殘差可以作為

6、隨機(jī)誤差的估計(jì)值，畫(huà)出的散點(diǎn)圖（圖1），能夠從直觀上判斷的自相關(guān)性。模型I的殘差可以在計(jì)算中得到，如表2，數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖2，可以看到，大部分點(diǎn)子落在第1,3象限，表明存在正的自相關(guān)。為了對(duì)的自相關(guān)性作定量診斷，并在確診后得到新的結(jié)果，我們考慮如下模型：其中，是自相關(guān)系數(shù)， ，相互獨(dú)立且服從均值為零的正態(tài)分布，t123456-0.0261 -0.0620 0.02200.16380.04660.0464t7891011120.0436-0.0584-0.0944-0.1491-0.1480-0.0531t131415161718-0.02290.10590.08550.10610.02910.

7、0423t1920-0.0442-0.0330表2 模型I的殘差圖2 模型I 的散點(diǎn)圖根據(jù)模型I得到的殘差計(jì)算統(tǒng)計(jì)量如下：圖3 與值對(duì)應(yīng)的自相關(guān)狀態(tài)對(duì)于顯著性水平，查D-W分布表，得到檢驗(yàn)的臨界值和?，F(xiàn)在，由圖2可以認(rèn)為隨機(jī)誤差存在自相關(guān)。且正自相關(guān)系數(shù)的估計(jì)值對(duì)模型中的變量作變換：；.則模型I化為：；代入數(shù)據(jù)得到：將式中還原為原始變量得到結(jié)果即是模型II：；結(jié)果分析：根據(jù)模型II得到的殘差計(jì)算統(tǒng)計(jì)量如下：現(xiàn)在，由圖2可以認(rèn)為隨機(jī)誤差無(wú)自相關(guān)，從機(jī)理上看，對(duì)于帶滯后性的經(jīng)濟(jì)規(guī)律作用下的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，加入自相關(guān)的模型II更為合理，而且在本題當(dāng)中，衡量與實(shí)際數(shù)據(jù)擬合程度的指標(biāo)剩余標(biāo)準(zhǔn)差從模型I的0

8、.36514減小到0.28329 。我們將模型II、模型I的計(jì)算值與實(shí)際數(shù)據(jù)的比較，以及兩個(gè)模型的殘差表示在表3中，可以看出模型II更合適一些。表3 模型I、模型II的計(jì)算值與殘差五、模型評(píng)價(jià)與預(yù)測(cè) 通過(guò)對(duì)本文的分析，對(duì)于數(shù)據(jù)為時(shí)間序列的回歸模型的建立后，必須檢驗(yàn)隨機(jī)誤差是否存在自相關(guān)性。如果無(wú)自相關(guān)性，則可以用此模型進(jìn)行預(yù)測(cè)：如果存在自相關(guān)性，則必須對(duì)模型進(jìn)行變換，得到新的模型后重復(fù)上述步驟，直到無(wú)自相關(guān)性后，模型才可以進(jìn)行預(yù)測(cè)。 用模型II對(duì)未來(lái)的公司的銷(xiāo)售額進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，需先估計(jì)未來(lái)的全行業(yè)一季度的銷(xiāo)售額比如,設(shè)時(shí)，容易由模型II得到六、參考文獻(xiàn)1何曉群，劉文卿.應(yīng)用回歸分析，北京：中國(guó)人

9、民大學(xué)出版社，20012姜啟源等 編著，數(shù)學(xué)模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003.83劉勇，白林 著 基于MATLAB的回歸分析模型在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)分析中的應(yīng)用 成都理工大學(xué)七、附錄.由原始數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖在EXCEL中建立輸入數(shù)據(jù)，并根據(jù)數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖，選擇合適的坐標(biāo)軸。. 模型分析在MATLAB中輸入：% 構(gòu)造資本論觀測(cè)值矩陣mx=ones(20,1) ,x;alpha=0.05;% 線性回歸計(jì)算b,bint,r,rint,states=regress(y,mx,alpha)輸出結(jié)果：b = -1.4548 0.1763 bint = -1.9047 -1.0048 ； 0.1732 0

10、.1793r = -0.0261 -0.0620 0.0220 0.1638 0.0466 0.0464 0.0436 -0.0584 -0.0944 -0.1491 -0.1480 -0.0531 -0.0229 0.1059 0.0855 0.1061 0.0291 0.0423 -0.0442 -0.0330rint = -0.1954 0.1433 ; -0.2319 0.1078 ; -0.1529 0.1969 ; 0.0132 0.3143 ; -0.1288 0.2220 ; -0.1304 0.2231 ; -0.1352 0.2225 ; -0.2367 0.1198 ;

11、-0.2691 0.0803 ; -0.3136 0.0153 ; -0.3129 0.0169 ; -0.2323 0.1262 ; -0.2037 0.1578 ; -0.0664 0.2781 ; -0.0879 0.2589 ; -0.0621 0.2743 ; -0.1440 0.2023 ; -0.1287 0.2134 ; -0.2116 0.1233 ; -0.1972 0.1311rint = -0.1954 0.1433 ; -0.2319 0.1078 ; -0.1529 0.1969 ; 0.0132 0.3143 ; -0.1288 0.2220 ; -0.1304 0.2231 ; -0.1352 0.2225 ; -0.2367 0.1198 ; -0.2691 0.0803 ; -0.3136 0.0153 ; -0.3129 0.0169 ; -0.2323 0.126