運(yùn)動學(xué)典型問題及解決方法

1、物理學(xué)科培訓(xùn)師輔導(dǎo)講義課 題運(yùn)動學(xué)典型問題及解決方法教學(xué)目標(biāo)相遇、追及與避碰問題重點(diǎn)、難點(diǎn)相遇、追及與避碰問題考點(diǎn)及考試要求相遇、追及與避碰問題教學(xué)內(nèi)容第5課運(yùn)動學(xué)典型問題及解決方法基礎(chǔ)知識 一、相遇、追及與避碰問題對于追及問題的處理，要通過兩質(zhì)點(diǎn)的速度比較進(jìn)行分析，找到隱含條件（即速度相同時，而質(zhì)點(diǎn)距離最大或最?。?。再結(jié)合兩個運(yùn)動的時間關(guān)系、位移關(guān)系建立相應(yīng)的方程求解，必要時可借助兩質(zhì)點(diǎn)的速度圖象進(jìn)行分析。 二、追擊類問題的提示 1勻加速運(yùn)動追擊勻速運(yùn)動，當(dāng)二者速度相同時相距最遠(yuǎn) 2勻速運(yùn)動追擊勻加速運(yùn)動，當(dāng)二者速度相同時追不上以后就永遠(yuǎn)追不上了此時二者相距最近 3勻減速直線運(yùn)動追勻速運(yùn)動，

2、當(dāng)二者速度相同時相距最近，此時假設(shè)追不上，以后就永遠(yuǎn)追不上了 4勻速運(yùn)動追勻減速直線運(yùn)動，當(dāng)二者速度相同時相距最遠(yuǎn) 5勻加速直線運(yùn)動追勻加速直線運(yùn)動，應(yīng)當(dāng)以一個運(yùn)動當(dāng)參照物，找出相對速度、相對加速度、相對位移規(guī)律方法 1、追及問題的分析思路（1)根據(jù)追趕和被追趕的兩個物體的運(yùn)動性質(zhì)，列出兩個物體的位移方程，并注意兩物體運(yùn)動時間之間的關(guān)系（2)通過對運(yùn)動過程的分析，畫出簡單的圖示，找出兩物體的運(yùn)動位移間的關(guān)系式追及的主要條件是兩個物體在追上時位置坐標(biāo)相同 (3)尋找問題中隱含的臨界條件，例如速度小者加速追趕速度大者，在兩物體速度相等時有最大距離；速度大者減速追趕速度小者，在兩物體速度相等時有最小

3、距離，等等利用這些臨界條件常能簡化解題過程（4)求解此類問題的方法，除了以上所述根據(jù)追及的主要條件和臨界條件解聯(lián)立方程外，還有利用二次函數(shù)求極值，及應(yīng)用圖象法和相對運(yùn)動知識求解【例1】羚羊從靜止開始奔跑，經(jīng)過50m能加速到最大速度25m/s，并能維持一段較長的時間；獵豹從靜止開始奔跑，經(jīng)過60 m的距離能加速到最大速度30m/s，以后只能維持此速度4.0 s.設(shè)獵豹距離羚羊xm時開時攻擊，羚羊則在獵豹開始攻擊后1.0 s才開始奔跑，假定羚羊和獵豹在加速階段分別做勻加速運(yùn)動，且均沿同一直線奔跑，求：獵豹要在從最大速度減速前追到羚羊，x值應(yīng)在什么范圍？解析：先分析羚羊和獵豹各自從靜止勻加速達(dá)到最大

4、速度所用的時間，再分析獵豹追上羚羊前，兩者所發(fā)生的位移之差的最大值，即可求x的范圍。設(shè)獵豹從靜止開始勻加速奔跑60m達(dá)到最大速度用時間t2，則，羚羊從靜止開始勻加速奔跑50m達(dá)到最大速度用時間t1，則，獵豹要在從最大速度減速前追到羚羊，則獵豹減速前的勻速運(yùn)動時間最多4s，而羚羊最多勻速3s而被追上，此x值為最大值，即x=S豹S羊=（60304）（50253）=55m，所以應(yīng)取x55m。【例2】一輛小車在軌道MN上行駛的速度v1可達(dá)到50km/h，在軌道外的平地上行駛速度v2可達(dá)到40km/h，與軌道的垂直距離為30km的B處有一基地，如圖所示，問小車從基地B出發(fā)到離D點(diǎn)100km的A處的過程中

5、最短需要多長時間（設(shè)小車在不同路面上的運(yùn)動都是勻速運(yùn)動，啟動時的加速時間可忽略不計(jì)）？【解析】建構(gòu)合理的知識體系，巧用類比，觸發(fā)頓悟性聯(lián)想。顯然，用常規(guī)解法是相當(dāng)繁瑣的。我們知道，光在傳播過程中“走”的是時間最短的路徑?？梢?，我們可以把小車的運(yùn)動類比為光的全反射現(xiàn)象的臨界狀態(tài)（如圖所示），根據(jù)臨界角知識得：sinC=v2/v14/5，由圖得：sinCx/，小車運(yùn)動時間：t=（100 x）/vl/v2由以上幾式可得： c40km， t 245h?！纠?】高為h的電梯正以加速度a勻加速上升，忽然天花板上一顆螺釘脫落螺釘落到電梯底板上所用的時間是多少？ 解析：此題為追及類問題，依題意畫出反映這一過程

6、的示意圖，如圖2 27所示這樣至少不會誤認(rèn)為螺釘作自由落體運(yùn)動，實(shí)際上螺釘作豎直上拋運(yùn)動從示意圖還可以看出，電梯與螺釘?shù)奈灰脐P(guān)系： S梯一S釘= h 式中S梯vt十a(chǎn)t2，S釘vtgt2可得t=錯誤：學(xué)生把相遇過程示意圖畫成如下圖，則會出現(xiàn)S梯S釘= h 式中S梯v0t十a(chǎn)t2，S釘v0tgt2這樣得到v0t十a(chǎn)t2v0tgt2=h，即（ag）t22v0th=0由于未知v0，無法解得結(jié)果。判別方法是對上述方程分析，應(yīng)該是對任何時間t，都能相遇，即上式中的4v022（ag）h0也就是v0，這就對a與g關(guān)系有了限制，而事實(shí)上不應(yīng)有這樣的限制的。 點(diǎn)評：對追及類問題分析的關(guān)鍵是分析兩物體運(yùn)動的運(yùn)動過

7、程及轉(zhuǎn)折點(diǎn)的條件可見，在追趕過程中，速度相等是一個轉(zhuǎn)折點(diǎn)，要熟記這一條件在諸多的物理問題中存在“隱蔽條件”，這類問題往往是難題，于是，如何分析出“隱蔽條件”成為一個很重要的問題，一般是根據(jù)物理過程確定該題中“隱蔽條件”就是當(dāng)兩車速度相同時距離最大解析后，問題就迎刃而解2、相遇問題的分析思路相遇問題分為追及相遇和相向運(yùn)動相遇兩種情形，其主要條件是兩物體在相遇處的位置坐標(biāo)相同 (1)列出兩物體運(yùn)動的位移方程，注意兩個物體運(yùn)動時間之間的關(guān)系 (2)利用兩物體相遇時必處在同一位置，尋找兩物體位移間的關(guān)系（3)尋找問題中隱含的臨界條件（4)與追及中的解題方法相同【例4】在某鐵路與公路交叉的道口外安裝的自

8、動攔木裝置如圖所示，當(dāng)高速列車到達(dá)A 點(diǎn)時，道口公路上應(yīng)顯示紅燈，警告來越過停 車線的汽車迅速制動，而且超過停車線的汽車能在列車到達(dá)道口前安全通過道口。已知高速列車的速度V1=120km/h，汽車過道口的速度V2=5km/h，汽車駛至停車線時立即制動后滑行的距離是S05m，道口寬度s26m，汽車長l=15m。若欄木關(guān)閉時間tl16s，為保障安全需多加時間t2=20s。問：列車從A點(diǎn) 到道口的距離L應(yīng)為多少才能確保行車安全？解析：由題意知，關(guān)閉道口時間為16s，為安全保障再加20s，即關(guān)閉道口的實(shí)際時間為t0=20+16=36s，汽車必須在關(guān)閉道口前已通過道口，汽車從停車線到通過道口實(shí)際行程為S

9、=26+5+15=46m，需用時，由此亮起紅燈的時間為T=t0+t2，故A點(diǎn)離道口的距離應(yīng)為：L=V1T=2304m【例5】火車以速度Vl勻速行駛，司機(jī)發(fā)現(xiàn)前方同軌道上相距S處有另一火車沿同方向以速度V2（對地、且V1V2）做勻速運(yùn)動司機(jī)立即以加速度a緊急剎車要使兩車不相撞，a應(yīng)滿足什么條件？解法一：后車剎車后雖做勻減速運(yùn)動，但在其速度減小至和V2相等之前，兩車的距離仍將逐漸減小；當(dāng)后車速度減小至小于前車速度，兩車距離將逐漸增大可見，當(dāng)兩車速度相等時，兩車距離最近若后車減速的加速度過小，則會出現(xiàn)后車速度減為和前車速度相等之前即追上前車，發(fā)生撞車事故；若后車加速度過大，則會出現(xiàn)后車速度減為和前車

10、速度相等時仍未過上前車，根本不可能發(fā)生撞車事故；若后車加速度大小為某值時，恰能使兩車在速度相等時后車追上前車這正是兩車恰不相撞的臨界狀態(tài)，此時對應(yīng)的加速度即為兩車不相撞的最小加速度綜上分析可知，兩車恰不相撞時應(yīng)滿足下列兩方程：V1ta0t2/2V2tS V1a0t=V2 解之可得：a0=所以當(dāng)a時，兩車即不會相撞解法二：要使兩車不相撞，其位移關(guān)系應(yīng)為 V1tat2/2 SV2t即at2/2（V2V1）tS0對任一時間t，不等式都成立的條件為 （V2V1）22as0 由此得a解法三：以前車為參照物，剎車后后車相對前車做初速度V0= V1V2，加速度為a的勻減速直線運(yùn)動當(dāng)后車相對前車的速度成為零時

11、，若相對位移S/S，則不會相撞故由 S/= V02/2a= （V1V2）2/2aS，得a點(diǎn)評：三種解法中，解法一注重對運(yùn)動過程的分析，抓住兩車間距有極值時速度應(yīng)相等這一關(guān)鍵條件來求解；解法二中由位移關(guān)系得到一元二次方程然后利用根的判別式來確定方程中各系數(shù)間的關(guān)系，這也是中學(xué)物理中常用的數(shù)學(xué)方法；解法三通過巧妙地選取參照物，使兩車運(yùn)動的關(guān)系變得簡明說明：本題還可以有多種問法，如“以多大的加速度剎車就可以不相碰？”，“兩車距多少米就可以不相碰？”，“貨車的速度為多少就可以不相碰？”等，但不管哪一種問法，都離不開“兩車速度相等”這個條件【例6】甲、乙兩車相距S，同時同向運(yùn)動，乙在前面做加速度為a1、

12、初速度為零的勻加速運(yùn)動，甲在后面做加速度為a2、初速度為v0的勻加速運(yùn)動，試討論兩車在運(yùn)動過程中相遇次數(shù)與加速度的關(guān)系。【分析】由于兩車同時同向運(yùn)動，故有v甲=v0a2t，v乙=a1t。 當(dāng)ala2時，alta2t，可得兩車在運(yùn)動過程中始終有，V甲V乙。由于原來甲在后，乙在前，所以甲、乙兩車的距離在不斷縮短，經(jīng)過一段時間后甲車必然超過乙車，且甲超過乙后相距越來越大，因此甲、乙兩車只能相遇一次。 當(dāng) al=a2時，alta2t，可得v甲=v0v乙，同樣有v甲v乙，因此甲、乙兩車也只能相遇一次。 當(dāng)ala2時，alta2t，v甲和v乙的大小關(guān)系會隨著運(yùn)動時間的增加而發(fā)生變化。剛開始，alt和a2t

13、相差不大且甲有初速v0，所以v甲v乙；隨著時間的推移，alt和a2t相差越來越大；當(dāng)alta2tv0時，v甲=v乙，接下來alta2tv0，則有v甲v乙，若在v甲=v乙之前，甲車還沒有超過乙車，隨后由于v甲v乙，甲車就沒有機(jī)會超過乙車，即兩車不相遇；若在v甲=v乙時，兩車剛好相遇，隨后v甲v乙，甲車又要落后乙車，這樣兩車只能相遇一次；若在v甲=v乙前，甲車已超過乙車，即已相通過一次，隨后由于v甲v乙，甲、乙距離又縮短，直到乙車后反超甲車時，再相遇一次，則兩車能相遇兩次。【解】由于 S甲=v0 ta2t2，S乙=a1t2，相遇時有S甲S乙s，則v0 ta2t2a1t2S，（a1一a2）t2一v0

14、 tS0 當(dāng)a1a2時，式；只有一個正解，則相遇一次。當(dāng)a1a2時 S甲一 S乙=v0 ta2t2a1t2=v0 t=S， t=S/v0 t只有一個解，則相遇一次。當(dāng) ala2時，若v2（ala2）s，式無解，即不相遇。若v02=2（ala2）s，式t只有一個解，即相遇一次。若 v022（ala2）s，式t有兩個正解，即相遇兩次。 解法2：利用v一t圖象求解。當(dāng) ala2時，甲、乙車的運(yùn)動圖線分別為如圖，其中劃斜線部分的面積表示t時間內(nèi)甲車比乙車多發(fā)生的位移，著此而積為S，則t時刻甲車追上乙車而相遇，以后在相等時間內(nèi)甲車發(fā)生的位移都比乙車多，所以只能相遇一次。當(dāng)al=a2時，甲、乙兩車的運(yùn)動圖

15、線分別如圖，討論方法同，所以兩車也只能相遇一次。當(dāng)ala2 時，甲、乙兩車的運(yùn)動圖線分別為如圖的1和11，其中劃實(shí)斜線部分面積表示用車比乙車多發(fā)生的位移，劃虛斜線部分的面積表示乙車比甲車多發(fā)生的位移。若劃線部分的面積小于S，說明甲追不上乙車，則不能相遇；若劃實(shí)斜線部分的面積等于S，說明甲車剛追上乙車又被反超，則相遇一次；若劃實(shí)斜線部分的面積大于S，說明tl內(nèi)劃實(shí)線部分的面積為S，說明t1時刻甲車追上乙車，以后在t1t時間內(nèi)，甲車超前乙車的位移為tlt時間內(nèi)劃實(shí)線部分的面積，隨后在tt2時間內(nèi)，乙車比甲車多發(fā)生劃應(yīng)線部分的面積，如果兩者相等，則t2時刻乙車反超甲車，故兩車先后相遇兩次。【例7】在

16、空中足夠高的某處，以初速度v豎直上拋一小球，t s后在同一地點(diǎn)以初速度v/豎直下拋另一個小球，若使兩個小球在運(yùn)動中能夠相遇，試就下述兩種情況討論t的取值范圍：（l）0v/v，（2）v/v【解析】若兩小球在運(yùn)動中能夠在空中相遇，必須是下拋小球剛拋出時，上拋小球已進(jìn)入下降階段，且速度大的小球在后，追趕前面速度小的球，（1） 如圖甲所示上拋小球速度方向變?yōu)橄蛳?，大小達(dá)v/時所經(jīng)歷的時間為t0，則 t0= 當(dāng)tt0時，上拋小球的即時速度vtv/，上拋小球能夠追上下拋小球，但是，若上拋小球已越過拋出點(diǎn)，再向下拋出另一個小球時，兩球就不會相遇，而上拋球回到拋出點(diǎn)的時間t1為：t1= 即：當(dāng)t時兩球能夠在運(yùn)

17、動中相遇（2）如圖乙所示，上拋小球速度方向變?yōu)橄蛳?，大小達(dá)v/時所經(jīng)歷時間為t0/，則： t0/= 當(dāng)tt0/時，上拋時即時速度vtv/，但若使上拋球在前，t還大于t1=2v/g才行，因此，兩球在運(yùn)動中相遇的條件為：t例8在同一水平面上，一輛小車從靜止開始以的加速度前進(jìn)。有一人在車后與車相距處，同時開始以的速度勻速追車，人與車前進(jìn)方向相同，則人能否追上車？若追不上，求人與車的最小距離。人車人、車圖1解析：如圖1所示解法一：判別式法。假設(shè)人能追上車，則人與車的位置坐標(biāo)相等，即： 即： 整理得，人與車能夠相遇的條件是：0 而 0故方程無解，即人追不上小車。解法二：當(dāng)人與車相距最近時，即人與車速度相

18、等時，所需時間： 車的位置坐標(biāo)：人的位置坐標(biāo)： 人追不上小車二者相距的最小距離：拓展：若使人能夠追上小車，則人與車開始時相距的距離的最大值為多少？設(shè)此最大值為S 若使人能夠追上小車，0 S例9客車以的速度行駛，突然發(fā)現(xiàn)同軌道的前方120m處有一列貨車正以6m/s的速度同向行駛，于是客車緊急剎車，以的加速度作勻減速運(yùn)動，問兩車能否相碰？120m客車貨車客、貨圖2解析：如圖2所示。解法一：判別式法。由圖示可知，即： 則，0 方程有解，即兩車能夠相碰。解法二：兩車應(yīng)該相距最遠(yuǎn)時，即二者速度相等時，所需時間：此時，客車的位置坐標(biāo)：貨車的位置坐標(biāo)： 兩車能夠相碰。解法三：相對運(yùn)動。 以貨車為參照物，在初

19、始狀態(tài)，客車相對貨車的初速度V相對=206=14m/s，客車相對貨車做的是初速度為V相對的勻減速直線運(yùn)動，最后相對貨車靜止。相對位移： 兩車會相碰。拓展：要使兩者不會相碰，則最初的距離至少為多少？（）例題10一輛汽車在十字路口等候綠燈，當(dāng)綠燈亮?xí)r汽車以m/s的加速度開始行駛，恰好此時一輛自行車以m/s速度駛來，從后邊超越汽車試求： 汽車從路口開動后，追上自行車之前經(jīng)過多長時間兩車相距最遠(yuǎn)？最遠(yuǎn)距離是多少？ 經(jīng)過多長時間汽車追上自行車，此時汽車的速度是多少？解一：速度關(guān)系，位移關(guān)系 t=2s 解二：極值法(1) 由二次函數(shù)的極值條件可知： 時，最大(2)汽車追上自行車時，二車位移相等 解三：用相

20、對運(yùn)動求解vV自V汽6t ttv選勻速運(yùn)動的自行車位參照物，則從運(yùn)動開始到相距最遠(yuǎn),這段時間內(nèi),起初相對此參照物的各個物理量為初速：；末速： 加速度 相距最遠(yuǎn) (負(fù)號表示汽車落后)解四：圖象求解(1) (2) 例11公共汽車從車站開出以4m/s的速度沿平直公路行駛，2s后一輛摩托車從同一車站開出勻加速追趕，加速度為2m/s2。試問（1）摩托車出發(fā)后，經(jīng)多少時間追上汽車？（2）摩托車追上汽車時，離出發(fā)點(diǎn)多遠(yuǎn)？（3）摩托車追上汽車前，兩者最大距離是多少？解：開始一段時間內(nèi)汽車的速度大，摩托車的速度小，汽車和摩托車的距離逐漸增大，當(dāng)摩托車的速度大于汽車的速度后，汽車和摩托車的距離逐漸減小，直到追上，

21、顯然，在上述過程中，摩托車的速度等于汽車速度時，它們間的距離最大。（1）摩托車追上汽車時，兩者位移相等，即v(t+2)=at2 解得摩托車追上汽車經(jīng)歷的時間為t=5.46s(2)摩托車追上汽車時通過的位移為 s=at2=29.9m(3)摩托車追上汽車前，兩車速度相等時相距最遠(yuǎn)，即v=at/ t/=2s最大距離為s=v(t/+2)- at/2=12m小結(jié)：求解追及問題要注意明確三個關(guān)系：時間關(guān)系、位移關(guān)系、速度關(guān)系，這是我們求解列方程的依據(jù)，涉及臨界問題時要抓住臨界條件。 例12、火車以速度v1勻速行駛，司機(jī)發(fā)現(xiàn)前方同軌道上相距s處有另一火車沿同方向以速度v2做勻速運(yùn)動，已知v1v2司機(jī)立即以加

22、速度a緊急剎車，要使兩車不相撞，加速度a的大小應(yīng)滿足什么條件？解法一：由分析運(yùn)動過程入手后車剎車后雖做勻減速運(yùn)動，但在速度減小到和v2相等之前，兩車的距離將逐漸減?。划?dāng)后車速度減小到小于前車速度，兩車距離將逐漸增大?？梢?，當(dāng)兩車速度相等時，兩車距離最近。若后車減速的加速度過小，則會出現(xiàn)后車速度減為和前車速度相等即追上前車，發(fā)生撞車事故；若后車加速度過大，則會出現(xiàn)后車速度減為和前車速度相等時仍為追上前車，若后車加速度大小為某一值時，恰能使兩車速度相等時后車追上前車，這是兩車不相撞的臨界條件，其實(shí)對應(yīng)的加速度即為兩車不相撞的臨界最小加速度。綜合以上分析可知，兩車恰不相撞時應(yīng)滿足下列方程：v1t-a0t2= v2t+s vt-a0t=v2聯(lián)立上式可解得：a0= 所以不 a 時時兩車即不會相撞。解法二：要使兩車不相撞，其位移關(guān)系應(yīng)為v1t-at2s+ v2t 即at2+(v2-v1)t+s0對于位移s和時間t,上面不等式都成立的條件為=(v2-v1)2-2as0 由此得a解法三：以前車為參考系，剎車后后車相對于前車做初速度v0=v1-v2、加速度為a的勻減速直線運(yùn)動，當(dāng)后