無(wú)限沖激響應(yīng)濾波器的頻率變換設(shè)計(jì)法

1、無(wú)限沖激響應(yīng)濾波器的頻率變換設(shè)計(jì)法無(wú)限沖激響應(yīng)濾波器的頻率變換設(shè)計(jì)法1 1、方法、方法 對(duì)于模擬濾波器對(duì)于模擬濾波器, ,已經(jīng)形成了許多成熟的設(shè)計(jì)方案，如巴特沃什濾波器已經(jīng)形成了許多成熟的設(shè)計(jì)方案，如巴特沃什濾波器, ,切比雪切比雪夫?yàn)V波器夫?yàn)V波器, ,橢圓濾波器橢圓濾波器, ,每種濾波器都有自己的一套準(zhǔn)確的計(jì)算公式，同時(shí)，也已制每種濾波器都有自己的一套準(zhǔn)確的計(jì)算公式，同時(shí)，也已制備了大量歸一化的設(shè)計(jì)表格和曲線(xiàn)，為濾波器的設(shè)計(jì)和計(jì)算提供了許多方便，因此備了大量歸一化的設(shè)計(jì)表格和曲線(xiàn)，為濾波器的設(shè)計(jì)和計(jì)算提供了許多方便，因此在模擬濾波器的設(shè)計(jì)中，只要掌握原型變換，就可以通過(guò)歸一化低通原型的參數(shù)，

2、在模擬濾波器的設(shè)計(jì)中，只要掌握原型變換，就可以通過(guò)歸一化低通原型的參數(shù)，去設(shè)計(jì)各種實(shí)際的低通、高通、帶通或帶阻濾波器。這一套成熟、有效的設(shè)計(jì)方法去設(shè)計(jì)各種實(shí)際的低通、高通、帶通或帶阻濾波器。這一套成熟、有效的設(shè)計(jì)方法，也可通過(guò)前面所討論的各種變換應(yīng)用于數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，具體過(guò)程如下：，也可通過(guò)前面所討論的各種變換應(yīng)用于數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，具體過(guò)程如下： 原型變換原型變換 映射變換映射變換 原型變換原型變換 在設(shè)計(jì)在設(shè)計(jì)HPHP和和BSBS時(shí)，不能用脈沖響應(yīng)不變法。時(shí)，不能用脈沖響應(yīng)不變法。模擬原型模擬低通、高通帶通、帶阻數(shù)字低通、高通帶通、帶阻模擬原型數(shù)字低通數(shù)字低通、高通帶通、帶阻也可把前兩步

3、合并成一步，直接從模擬低通歸一化原型通過(guò)一定的頻率變換也可把前兩步合并成一步，直接從模擬低通歸一化原型通過(guò)一定的頻率變換關(guān)系，完成各類(lèi)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)關(guān)系，完成各類(lèi)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)、數(shù)字頻率變換、數(shù)字頻率變換 為便于區(qū)分變換前后兩個(gè)不同的為便于區(qū)分變換前后兩個(gè)不同的Z Z平面，我們把平面，我們把變換前的變換前的 Z Z平面定義為平面定義為u u平面，并將這一映射關(guān)系用平面，并將這一映射關(guān)系用一個(gè)函數(shù)一個(gè)函數(shù)g g表示：表示：)(11zgu平面平面zuZHzHzgup)()()(11于是，于是，DFDF的原型變換可表為：的原型變換可表為：)(11)()(zgupuHzH)(1zg)(1zg1z)

4、(1zgjjee 和2 2）希望變換以后的傳遞函數(shù)保持穩(wěn)定性不變，因此要求）希望變換以后的傳遞函數(shù)保持穩(wěn)定性不變，因此要求 u u的單位圓內(nèi)部必須對(duì)應(yīng)于的單位圓內(nèi)部必須對(duì)應(yīng)于z z的單位圓內(nèi)部。的單位圓內(nèi)部。3 3） 必須是全通函數(shù)。必須是全通函數(shù)。 為使兩個(gè)函數(shù)的頻響滿(mǎn)足一定的變換要求，為使兩個(gè)函數(shù)的頻響滿(mǎn)足一定的變換要求，Z Z的單位的單位圓應(yīng)映射到圓應(yīng)映射到u u的單位圓上，若以的單位圓上，若以 分別表示分別表示u u平面平面和和Z Z平面的單位圓，則平面的單位圓，則函數(shù)函數(shù) 的特性：的特性：1) 1) 是是 的有理函數(shù)。的有理函數(shù)。)(jjjjeegege )(jeg1jeg 且必有且

5、必有 ，其中，其中 是是 的相位函數(shù)，的相位函數(shù)， 即函數(shù)在單位圓上的幅度必須恒為即函數(shù)在單位圓上的幅度必須恒為1 1，稱(chēng)為全通函數(shù)。，稱(chēng)為全通函數(shù)。全通函數(shù)的基本特性：全通函數(shù)的基本特性：Niiizzzg11*111)(任何全通函數(shù)都可以表示為：任何全通函數(shù)都可以表示為：為了使系統(tǒng)穩(wěn)定，式中為了使系統(tǒng)穩(wěn)定，式中|a|ai i|1| HP 。)( zH b. 高通變換高通變換）（21jjjeee或或, 00LP-HP變換把變換把cc如圖如圖2（a），）， 在上述在上述LP-LP 變換中，將變換中，將 Z代以代以Z , 得得 LP - HP變換關(guān)系：變換關(guān)系：）（11111111zzzzu 原型

6、低通的截止頻率原型低通的截止頻率 對(duì)應(yīng)于高通的邊界頻率對(duì)應(yīng)于高通的邊界頻率 ，欲將，欲將 變換到變換到 ，由（，由（2）式，）式， 有：有： （2） 式的式的 頻率關(guān)系，如圖頻率關(guān)系，如圖2(b)2(b)中的曲線(xiàn)中的曲線(xiàn)（實(shí)線(xiàn)）（實(shí)線(xiàn)） cccccccccccjjjjjjeeeeee1,12cos2coscccc:確定 LP - Hp變換變換圖圖2 (a) LP Hp變換變換cc00 LP-BP LP-BP變換把帶通的中心頻率變換把帶通的中心頻率 故故 N=2。 由以上分析得變換關(guān)系：由以上分析得變換關(guān)系： 或或 00c2c1) 1 (1)(1122211211zrzrrzrzzgu) 2(1

7、122212jjjjjererreree00000,0時(shí)，如圖3(a), 1)1(,0g，時(shí)全通函數(shù)取負(fù)號(hào)。LP-BP變換變換圖圖3 (a) LP-BP變換變換102cc00 1122221111122212122212jjjjjjjjjjererrereeererrereecc把變換關(guān)系把變換關(guān)系 代入（代入（2 2）式得）式得 ：消去消去 r1，得：，得：令令cc21,)()()()(1212121222111122)()(2jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjeeeeeeeeeeeeeeeeeeeercccccc2)2(12ctgtgk確定確定r1, r2 ：可證明，可證明， 其中其

8、中 r1,r2代入（代入（2）式，則可確定頻率變換關(guān)系，如圖）式，則可確定頻率變換關(guān)系，如圖3（b）。）。112kkr121kkr)2cos()2cos(1212LP-BP頻率關(guān)系頻率關(guān)系 LPBS 如圖如圖4(a), LPBS變換把帶阻的中心頻率變換把帶阻的中心頻率 的變化范圍為的變化范圍為 ,故故 N=2, 又又 g(1)=1, 所以，全通函數(shù)取正號(hào)所以，全通函數(shù)取正號(hào)。由以上分析得變換關(guān)系：。由以上分析得變換關(guān)系： （1） 或或 （2）0000000，21)(1122211211zrzrrzrzzgu1122212jjjjjererrereeLP-BS變換變換圖圖4 (a) LP-BS變

9、換變換201cc)(jeH00確定確定r1, r2 ： 把變換關(guān)系把變換關(guān)系 代入（代入（2 2）式得）式得 ： 其中其中 ， r1, r2代入（代入（2）式，得圖）式，得圖4（b）,此頻率變換關(guān)系與前面的分析相吻合。此頻率變換關(guān)系與前面的分析相吻合。2212ctgtgk121krkkr1122cos2cos1212cc21,LP-B S頻率變換關(guān)系頻率變換關(guān)系 LP-BS變換的又一種實(shí)現(xiàn)方法變換的又一種實(shí)現(xiàn)方法: 由低通到帶阻的變換同樣可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換由低通到帶阻的變換同樣可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換來(lái)完成來(lái)完成,但變換的次序與模擬低通到數(shù)字帶阻的次但變換的次序與模擬低通到數(shù)字帶阻的次序不同序不同,是先由低通到高通是先由低通到高通(低阻低阻),再利用再利用3.4.3的方的方式由低阻到帶阻式由低阻到帶阻,即即 其中其中 的求取可利用低通到高通公式的求