MATLAB改進歐拉法與四階龍格

1、姓名：樊元君學號：2012200902 日期：2012.11.06一、實驗目的掌握MATLA語言、C/C+語言編寫計算程序的方法、掌握改進歐拉法與四階 龍格-庫塔求解一階常微分方程的初值問題。掌握使用 MATLA程序求解常微分方 程問題的方法。二、實驗內(nèi)容1、分別寫出改進歐拉法與四階龍格-庫塔求解的算法，編寫程序上機調(diào)試出結(jié)果, 要求所編程序適用于任何一階常微分方程的數(shù)值解問題，即能解決這一類問題，而不是某一個冋題。實驗中以下列數(shù)據(jù)驗證程序的正確性。Jvf = -X）'2求-“，步長 h=0.25。2、實驗注意事項= -xyj2= 2（°H）的精確解為"吐1 +刊，

2、通過調(diào)整步長，觀察結(jié)果的精度的變化、程序流程圖:改進歐拉格式流程圖:開始譴入數(shù)掘歲長X初值 點CsO, yO） K歡值解 范fll （X、Y）xl=xO+h; yp-yOh*(xO*(yO) 2); yc=yO+h*(-xl*(yp)*2; yl=(yp+yc)/2a y=2/(l+x0-2)；%ii里是y的原曲數(shù)表達 式*輸出方便檢驗有效數(shù)字寫輸出 xl, ylByi=i + l;xO=xl; yO=ylri-n?=結(jié)束四階龍格庫塔流程圖:開始初值jfc (iO, yO); 裁值齋菟圍(I*Y)xl-xO+hj kl-f(xO,yO);k2=f(O+h/2,yO +h/2*kl)；k3=f

3、(jtO+h/2, yO+h/2*k2)；k4=f (il, yO+h*k3)； yl=y0+fi/6*(kl+2*k2+2*k3+k4).廿tt-Ji il Py !,y析的肆西截1t確AOi=n?i=i+l；xO-xl:yOyl四、源程序：改進后歐拉格式程序源代碼:fun cti on = GJOL(h,xO,yO,X,Y) format long h=i nput( 'h=');x0=i nput('x0=');y0=i nput('y0=');disp('輸入的范圍是：)；X=i nput('X=' );Y=i n

4、put( 'Y=');n=rou nd(Y-X)/h);i=1;x1=0;yp=0;yc=0; for i=1:1: n x1=x0+h;yp=yO+h*(-xO*(yOF2);yc=y0+h*(-x1*(ypf2);%yp=y0+h*(y0-2*x0/y0);%yc=y0+h*(yp-2*x1/yp);%y1=(yp+yc)/2;x0=x1;y0=y1;fprintf(end結(jié)果 =%.3f,%.8f,%.8fn',x1,y1,y);y=2/(1+x0A2);%y=sqrt(1+2*x0);% end 四階龍格庫塔程序源代碼：function = LGKT(h,x0,

5、y0,X,Y)format longh=input('h=' );x0=input('x0=');y0=input('y0=');disp( ' 輸入的范圍是： ' );X=input( 'X=' );Y=input( 'Y=');n=round(Y-X)/h);i=1;x1=0;k1=0;k2=0;k3=0;k4=0;for i=1:1:nx1=x0+h;k1=-x0*y0A2;%k1=y0-2*x0/y0;%k2=(-(x0+h/2)*(y0+h/2*k1)A2);%k2=(y0+h/2*k1)

6、-2*(x0+h/2)/(y0+h/2*k1);%k3=(-(x0+h/2)*(y0+h/2*k2)A2);%k3=(y0+h/2*k2)-2*(x0+h/2)/(y0+h/2*k2);%k4=(-(x1)*(y0+h*k3)A2);%k4=(y0+h*k3)-2*(x1)/(y0+h*k3);%y1=y0+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);%y1=y0+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);%x0=x1;y0=y1;y=2/(1+x0A2);%y=sqrt(1+2*x0);%fprintf( '結(jié)果=%.3f,%.7f,%.7fn',x1,y1,y);end

7、end五、運行結(jié)果:改進歐拉格式結(jié)果：» GJOLh=0.25yO=2輸入的范圉是：x=o¥=5結(jié)杲二0. 2501.07500000, 1. 83235294 結(jié)果=Q, 50Oj 1.59389108, L 60000000 結(jié)杲二0. 750. 1.28239008, 1. 28000000 i£R=l. OOOj 1.00962125, 1. 00000000 結(jié)果250.0. 79318809, 0. 78048780 結(jié)果=1.500.JJ. 52815123J 0. 5153S462 =1. 750, 0.50372954 0- 49230769 結(jié)

8、果二2 OOOj 0.40966655, CL 40000000 結(jié)果=2. 250, 0. 33786499, 0. 32989691 結(jié)果二2. 500, 0.28235748, 0. 27586207 結(jié)果=2 750j 0.23885673, 0. 23357664 結(jié)杲二3. 000.0.20429990, 0. 20000000 結(jié)杲=3. 25Oj 4.17548988, 0.17207297 結(jié)杲二N 500. 0. 15383629, 0. 15094340 錯卿貫QM 13517479| 0. 1327S008 結(jié)果二4. 0000.1196424X 0. 11764706

9、 結(jié)果二乳 250 0.106591S8, 0. 10491803 結(jié)果T. 500JL 0955302S, 0. 09411765 結(jié)果二4500.03608040, 0. &8488064 結(jié)果=5. 000. 0.07794807, 0. 0*652300四階龍格庫塔結(jié)果:0.25 和0.1 時,不同結(jié)果顯示驗證了步長減少、LGK1M.25sC=O 0 輸認的范IS是： 5=0 Y=50. 250, :.8023030,1.8823529 結(jié)S=QWO, 69觀師監(jiān)1$000000 結(jié)杲750, J. 2793478, 1. 2800040 蠟和00, L 000027b LOO

10、OOOOO 結(jié)果fISOjO, 7805556,0. 780487G 結(jié)果=1,500,0.6151594,0,6163846 1.750,4. W374% 0.4K3C77 結(jié)果=2.000,0. JOOOShX 0.40000-30 結(jié)果=臨2&Dj 0.亞9陽9®山329899 結(jié)果=2.500,0.2755952,0.27ES621 結(jié)果蘭 + 75D, 0. 233B02X (L 23J5756 結(jié)果£.加時 0. 2000200,0. 2000000 =3.250,0.129836,0. 7297J0 結(jié)果-3.500,11509553,0. L5Q94

11、34 ttlbX 750,0. 1327890. 1327831 結(jié)果M,000,0,1176550,03176471 結(jié)果-4.250,0. 104025,0.104918C 結(jié)果=4冷0抽倆41229. 0M1176 結(jié)果=4. 750,0. 0S4B8S0. 0. 0848：30« 結(jié)果=50如,Q. 076&267,0. 076B231步長分別為：» LGKIh=0. IxO=Oy&=2 輸入的范If是： 1=0Y=：5tt«K=O. 100,仁 9801978,1-9801980 結(jié)果=0.200,1.9230763, 1.9230769

12、 結(jié)果丸.300, 1. S348612.L 8348624 結(jié)果=Q* 400, 1. 7241364, 1. 7241379 結(jié)=0.500,1.5959984, 1. 6000000 錯果=0. 600, L 4705870, 1.4705882 結(jié)果丸.700. 1. 3422S12, 1. 3422819SOOj 1.219E132J L 21S6132 結(jié)果二Q. 900,1.1049731,1.1049724 $(*=!. 000, 1. 0000012, 1.0000000 結(jié)果二 1* 100, 0, 9049790,0. 9049774 結(jié)果=1.20 0.5136730.

13、0195721 結(jié)果二 1* 300,0. 7414963, 0. 7434944 結(jié)果=1.400,0. 756776,0. 6756757 結(jié)果?LBMU 0.61E386&, 0.61B384B 結(jié)科.600,0.5617996,0. 5617978 SS-L700, 0, 5141405, 0.5141388 結(jié)果=1,800,0.4716997,0. 4716981 結(jié)果二 1. 900, 0. 4338109, 0. ；338395 結(jié)杲弍* 000,0.4000013,0.4000000 結(jié)果2. 100, 0. 369S870, 0. 3696B5E 結(jié)果二去 200,

14、0.3424«6a,0.3424658結(jié)果三.劑0.3179S60, 0. 3179650 H»=2. 4DQ, 0. 295858 0. 2958580 結(jié)果500,0.3759629, 0.2758621 結(jié)果W. 600, 0. 2577327, 0, 2577320 結(jié)果£ 700,0.24125&3,0.2412545 結(jié)800,0. 2202449. 0.2262443 結(jié)果=：.9QQ, 3.2125404, 6 2125399 結(jié)=3. 000,0. 200(1006, 0.2000000 結(jié)果=3.100, D. 1885018. 0.1

15、S35014 結(jié)果=3.200,0.1775363, 0.1779359 結(jié)翼二3 JOOj 3.1632O8&, 0.1682036 結(jié)果=3. 4DO, 0. 1592360, 0. 1592357 #f=L 觀0.1503437, 0.1509434 結(jié)果二3 6QQ, 1 1432667,0.1432665 結(jié)果W. 700,0.1361473,0.1301470 結(jié)果刃.800,0. 129533&? 0. 1235337 結(jié)果=3, 900,】.1233808, 0.1233806 錯果4.000,5.1176472,0, UZ6471 結(jié)果二4.100,3.112

16、2365, 0.1122965 結(jié)果二劉Q D. 107«3J 0.10729S1 結(jié)果昌.300, 9.1026169,0.1C26197 結(jié)果=4.400,0.0985320,0.0932318 &1=4, 500,1 0941173, 0.0941176 結(jié)杲=4 600j 0902528,0.0902527 結(jié)杲=1. 7000. 0S6ei7LD. 0866176 結(jié)果斗.800, J. 0831M8, 0.0831947 結(jié)果7. 9曲打.0799681, 0.0739680 結(jié)果二5 000,3. 0769232, 0, 0769231對于精度的提高起到很大作用，有效數(shù)字位數(shù)明顯增加。六、實驗小結(jié)：通過這次實驗學習，首先第一點對改進歐拉格式和四階龍格庫塔的原理推導 有了深入的理解，改進歐拉格式采用(預報 +校正)模式得到較精確的原函數(shù)數(shù) 值解；而四階龍格庫塔則采用多預報幾個點的斜率值， 采