131線段的垂直平分線(教案)

1、§1.3.1線段的垂直平分線（教案） 教學(xué)目標(biāo)(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)1經(jīng)歷探索、猜測(cè)過(guò)程，能夠運(yùn)用公理和所學(xué)過(guò)的定理證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理2能夠利用尺規(guī)作已知線段的垂直平分線(二)思維訓(xùn)練要求1經(jīng)歷探索、猜測(cè)、證明的過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識(shí)和能力2體驗(yàn)解決問(wèn)題策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神3學(xué)會(huì)與人合作，并能與他人交流思維的過(guò)程和結(jié)果(三)情感與價(jià)值觀要求1能積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲2在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的意志，建立自信心教學(xué)重點(diǎn)1能夠證明線段的垂直平分線的性質(zhì)定理、判定定理及其相關(guān)結(jié)論2能夠利用尺規(guī)作已知線段的垂直平

2、分線教學(xué)難點(diǎn)寫(xiě)出線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆命題并證明它教具準(zhǔn)備多媒體演示、直尺、圓規(guī)教學(xué)過(guò)程創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情境，引入新課教師用多媒體演示：如圖，A、B表示兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)，要在A、B一側(cè)的河岸邊建造一個(gè)碼頭，使它到兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的距離相等，碼頭應(yīng)建在什么位置？ 生碼頭應(yīng)建在線段AB的垂直平分線與在A，B一側(cè)的河岸邊的交點(diǎn)上師同學(xué)們認(rèn)同他的看法嗎？生是的師認(rèn)為對(duì)的說(shuō)說(shuō)你的理由是什么呢？生（回憶定理）我們以前曾學(xué)過(guò)線段垂直平分線的一個(gè)性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等所以在這個(gè)問(wèn)題中，要求在“A、B一側(cè)的河岸邊建造一個(gè)碼頭，使它到兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的距離相等”利用此性質(zhì)就能完成師（邊說(shuō)邊用折紙的方法再現(xiàn)定理）

3、這位同學(xué)分析得很好，我們?cè)谄吣昙?jí)時(shí)研究過(guò)線段的性質(zhì)，線段是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，其中線段的垂直平分線就是它的對(duì)稱軸我們?cè)?jīng)像這樣利用折紙的方法得到“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”這一簡(jiǎn)單事實(shí)，但是用這種觀察的方式是很難說(shuō)服別人的，你能用公理或?qū)W過(guò)的定理來(lái)證明這一結(jié)論嗎？教師演示線段垂直平分線的性質(zhì)：定理 線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等講述新課第一部分 線段垂直平分線的性質(zhì)定理師我們從折紙的過(guò)程中得到了線段垂直平分線的性質(zhì)定理，大家知道這是不夠的，還必須利用公理及已學(xué)過(guò)的定理推理、證明它那么如何證明呢？師（引導(dǎo)）問(wèn)題一：要證“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”

4、，可線段垂直平分線上的點(diǎn)有無(wú)數(shù)多個(gè)，需一個(gè)一個(gè)依次證明嗎？（強(qiáng)調(diào)）我們只需在線段垂直平分線上任取一點(diǎn)代表即可，因?yàn)榫€段垂直平分線上的點(diǎn)都具有相同的性質(zhì)（開(kāi)始讓學(xué)生有這樣的數(shù)學(xué)思想）你能根據(jù)定理畫(huà)圖并寫(xiě)出已知和求證嗎？誰(shuí)能幫老師分析一下證明思路？生（思考回答） 師生共析已知：如圖，直線MNAB，垂足是C，且ACBC，P是MN上的點(diǎn)求證：PAPB分析：要想證明PAPB，可以考慮包含這兩條線段的兩個(gè)三角形是否全等證明：MNAB，PCAPCB90°ACBC，PCPC，PCAPCB(SAS)PAPB(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)第二部分 線段垂直平分線的判定定理教師用多媒體完整演示證明過(guò)程同時(shí)，用

5、多媒體呈現(xiàn)：想一想你能寫(xiě)出上面這個(gè)定理的逆命題嗎？它是真命題嗎？師（引導(dǎo)、并提問(wèn)兩學(xué)生）問(wèn)題二：這個(gè)命題是否屬于“如果那么”的形式？你能分析原命題的條件和結(jié)論，將原命題寫(xiě)成“如果那么”的形式嗎？最后再把它的逆命題寫(xiě)出來(lái)生A（思考分析）原命題的條件是“有一個(gè)點(diǎn)是線段垂直平分線上的點(diǎn)”結(jié)論是“這個(gè)點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”師有了這位同學(xué)的精彩分析，逆命題就很容易寫(xiě)出來(lái)生B如果有一個(gè)點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上師很好，能否把它描述得更簡(jiǎn)捷呢？生B到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上師good!當(dāng)我們寫(xiě)出逆命題時(shí)，就想到判斷它的真假如果真，則需證明它

6、；如果假，則需用反例說(shuō)明請(qǐng)同學(xué)們類比原命題自己獨(dú)立寫(xiě)出已知、求證（給學(xué)生思考空間）已知：線段AB，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)且PAPB求證：P點(diǎn)在AB的垂直平分線上（分組討論，鼓勵(lì)學(xué)生多想證明方法，并派代表上黑板寫(xiě)寫(xiě)本組的證明過(guò)程）師看學(xué)生的具體情況，做適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)證法一：證明：過(guò)點(diǎn)P作已知線段AB的垂線PCPAPB，PCPC，RtPACRtPBC(HL定理)ACBC，即P點(diǎn)在AB的垂直平分線上證法二：證明：取AB的中點(diǎn)C，過(guò)PC作直線APBP，PCPC，ACCB，APCBPC(SSS)PCAPCB(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)又PCAPCB180°，PCAPCB90°，即PCABP點(diǎn)在A

7、B的垂直平分線上證法三：證明：過(guò)P點(diǎn)作APB的角平分線APBP，12，PCPC，APCBPC(SAS)ACDC，PCAPCB(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等)又PCAPCB180°，PCAPCB90°P點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上師先肯定學(xué)生的思考，再對(duì)證明過(guò)程嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男〗M加以表?yè)P(yáng)，不足的加以點(diǎn)評(píng)和糾正。師從同學(xué)們的推理證明過(guò)程可知線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆命題是真命題，我們把它稱做線段垂直平分線的判定定理到現(xiàn)在我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了線段垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理，下面小試牛刀教師多媒體演示：P26隨堂練習(xí)（搶答）：如圖：已知AB是線段CD的垂直平分線，E是AB上的一點(diǎn)，如果

8、EC=7cm，那么ED=_cm，如果ECD60°,那么EDC_°（讓學(xué)生說(shuō)出理由）第三部分 用尺規(guī)作線段垂直平分線答對(duì)了上面的題，咱們來(lái)輕松一下，一起來(lái)欣賞一組美麗的數(shù)學(xué)圖。教師多媒體演示：做一做用尺規(guī)作線段的垂直平分線師（邊演示圖邊講講作圖有關(guān)的數(shù)學(xué)史）大家知道這些圖是用什么工具作出來(lái)的嗎？（資料：古希臘以來(lái)，平面幾何中的作圖工具習(xí)慣上限用直尺和圓規(guī)兩種.其中，直尺假定直而且長(zhǎng)，但上面無(wú)任何刻度，圓規(guī)則假定其兩腿足夠長(zhǎng)并能開(kāi)閉自如.作圖工具的這種限制，最先大概是恩諾皮德斯(Oenopides，約公元前465年)提出的，以后又經(jīng)過(guò)柏拉圖(Plato，公元前427347)大力

9、提倡.柏拉圖非常重視數(shù)學(xué)，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)幾何對(duì)訓(xùn)練邏輯思維能力的特殊作用，主張對(duì)作圖工具要有限制，反對(duì)使用其他機(jī)械工具作圖.之后，歐幾里得(Euclid，約公元前330275)又把它總結(jié)在幾何原本一書(shū)中。于是，限用尺規(guī)進(jìn)行作圖就成為古希臘幾何學(xué)的金科玉律。）師其實(shí)同學(xué)們也能用圓規(guī)、直尺畫(huà)出優(yōu)美的圖形，下面咱們就一起來(lái)學(xué)用尺規(guī)作線段的垂直平分線。（分析：要作出線段的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的判定定理，到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上，那么我們必須找到兩個(gè)到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，這樣才能確定已知線段的垂直平分線）類似于證明題要寫(xiě)出已知、求證和證明，作圖題也要根據(jù)條件寫(xiě)出已知、求作和作法，下面我們一同來(lái)寫(xiě)出已知、求作、作法，體會(huì)作法中每一步的依據(jù)教師示范，請(qǐng)學(xué)生同時(shí)練習(xí)已知：線段AB(如圖)求作：線段AB的垂直平分線作法：1分別以點(diǎn)A和B為圓心，以大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)C和D2作直線CD直線CD就是線段AB的垂直平分線師根據(jù)上面作法中的步驟，請(qǐng)你說(shuō)明CD為什么是AB的垂直平分線嗎？請(qǐng)與同伴進(jìn)行交流生從作法的第一步可知ACBC，ADBDC、D都在AB的垂直平分線上(線段垂直平分線的判定定理)CD就是線段AB的垂直平分線(兩點(diǎn)確定一條直線)師我們?cè)每潭瘸哒揖€段的中點(diǎn)，當(dāng)我們學(xué)習(xí)了線段垂直平分線的作法時(shí)，一旦垂直平分線作出，線段與線段垂直平分線的交點(diǎn)就是