尺規(guī)作圖五點(diǎn)定橢圓的方法

1、尺規(guī)作圖五點(diǎn)定橢圓的方法徐文平（東南大學(xué) 南京210096）摘要：已知橢圓上五點(diǎn)，通過確定橢圓圓心、橢圓主軸方向和橢圓長(zhǎng)軸短軸位置等三個(gè)步驟，尺規(guī)作圖完成橢圓作圖。橢圓在開普勒行星運(yùn)行三定律中扮演了重要角色，在機(jī)械制圖和土木工程領(lǐng)域中也有重要運(yùn)用。利用幾何畫板和cad軟件，依據(jù)任意五個(gè)點(diǎn)的橢圓尺規(guī)作圖，具有重要意義。一、引言在幾何畫板和cad軟件中， 任意五個(gè)點(diǎn)作橢圓，具有意義。五點(diǎn)定橢圓在衛(wèi)星軌道，機(jī)械制圖和土木工程中是有重要用途。第一步，通過五點(diǎn)尋找橢圓圓心第二步，確定橢圓坐標(biāo)x、y主軸方向第三步、確定橢圓的長(zhǎng)軸a和短軸b  1）大狗熊定理1：二次圓錐曲線內(nèi)接四邊形的對(duì)邊延伸線兩

2、交點(diǎn)調(diào)和分割對(duì)角線兩極點(diǎn)。如圖1，橢圓內(nèi)接四邊形KLMN，對(duì)邊線KN與LM交于A，對(duì)邊線KL與NM交于B，對(duì)角線KM的極點(diǎn)為C，對(duì)角線LN的極點(diǎn)為D，KM與LN交于Q點(diǎn)，則A、B、C、D四點(diǎn)共線，且AB調(diào)和分割CD，即1/AC+1/AD2/AB。雙曲線和拋物線也具有同樣性質(zhì)。  2）命題1：已知橢圓的斜向割線AB，作一條過橢圓圓心O點(diǎn)的任意割線JK， JA、BK交于E點(diǎn)，JB、AK交于F點(diǎn)，確定EF的中點(diǎn)N點(diǎn)，連線NA、NB就是橢圓的切線。 證明：由于割線JK的切線交點(diǎn)極點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)，利用定理1，可以快速證明這個(gè)命題。 定理2：圓錐曲線 的內(nèi)接完全四點(diǎn)形的對(duì)邊三點(diǎn)形是圓錐曲線的自配極三

3、點(diǎn)形。命題3（高斯定理）：已知橢圓外一點(diǎn)P，過P點(diǎn)作PAB與PCD二條任意橢圓割線，AD、CB交于Q點(diǎn)，AC、BD延長(zhǎng)交于R，連線QR與橢圓交于S、T兩點(diǎn)，PS、PT就是橢圓的切線。 圖 3二、通過五點(diǎn)尋找橢圓圓心原理：通過已知五點(diǎn)，作橢圓切線，獲得割線的極點(diǎn)，將割線的極點(diǎn)和割線中點(diǎn)連接并延伸，必定通過橢圓的圓心。圖 4問題1：只有五點(diǎn)，沒有坐標(biāo)軸和原點(diǎn)，橢圓斜的，割線PQ的切線極點(diǎn)如何辦？切線方法：帕斯卡定理（五點(diǎn) + 一個(gè)切點(diǎn)二次）做切線，或者如圖5方法作切線。圖 5命題4：已知橢圓上P、H、G、Q、A五點(diǎn)，利用橢圓內(nèi)接四邊形PQGH確定對(duì)角線PQ和GH交叉點(diǎn)T，可繪制極點(diǎn)T的極線E F，

4、利用橢圓內(nèi)接四邊形PQAB(H)確定對(duì)角線PQ和AB(H)交叉S點(diǎn)（利用帕斯卡定理，新構(gòu)造橢圓第六點(diǎn)B點(diǎn)，替換H點(diǎn)），繪制極點(diǎn)S的極線MN，極線MN和極線EF交于C點(diǎn)，C點(diǎn)即為PQ割線的極點(diǎn)。證明：依據(jù)極點(diǎn)極線的對(duì)偶定理，由于 S、T為PQ極線上的二點(diǎn)，可可知S、T極點(diǎn)的極線MN和極線EF相交于C點(diǎn)就是PQ的極點(diǎn)，連線PC、QC就是橢圓的切線。（該方法也適合于雙曲線和拋物線的情況）問題2：橢圓上五點(diǎn)有時(shí)候似乎不夠啊，如何構(gòu)造橢圓上的臨時(shí)第六點(diǎn)啊。命題5：運(yùn)用帕斯卡原理，通過橢圓上五點(diǎn)，可以增加橢圓上一點(diǎn)。Pascals定理為通過五點(diǎn)作圓錐曲線提供了一種優(yōu)美的解決方案。設(shè)已給1, 2, 3, 4

5、, 5五點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)不在同一直線上（特例將在后面討論），但五點(diǎn)的平面位置為任意。我們將這五點(diǎn)依次相連，并設(shè)線段12與45的交點(diǎn)為L(zhǎng)。為了構(gòu)作圓錐曲線上的任意一點(diǎn)，如點(diǎn)6，我們通過點(diǎn)1任意作一直線a，設(shè)a與線段34交于點(diǎn)N，再通過L和N作直線b，設(shè)b與a交于M，圖74-3；再通過5和M作直線c，則c與a的交點(diǎn)就是期望的第六點(diǎn)6命題6：利用侯明輝三割線定理加上阿波羅尼斯圓的調(diào)和分割性質(zhì)，構(gòu)造更多橢圓點(diǎn)。在尺規(guī)作圖五點(diǎn)定橢圓中，已知橢圓上五點(diǎn)（不知道橢圓曲線，不知道橢圓圓心，也不知道橢圓的xy坐標(biāo)主軸情況下），需要構(gòu)造其他的橢圓點(diǎn)。即A、B、C三點(diǎn)已經(jīng)知道（還有其他二點(diǎn)知道），采用其他辦法作出A

6、B割線的極點(diǎn)N，利用侯明輝三割線定理以及調(diào)和分割性質(zhì)確定新的橢圓點(diǎn) E點(diǎn)方法：連接CN線段交AB線段于M點(diǎn)，取線段MN中點(diǎn)J為圓心，畫圓直徑為MN，過C點(diǎn)作MN的垂直線交圓于F點(diǎn)，過F點(diǎn)作切線（或者是作垂直JF的線段EF），交MN于E點(diǎn)，則構(gòu)成調(diào)和分割的第四點(diǎn)。本例子是構(gòu)成了橢圓上的新點(diǎn)用途。圖 7工程應(yīng)用實(shí)例：（是用5點(diǎn)定圓心的，沒有構(gòu)造第六點(diǎn)方法）圖 8三、確定橢圓坐標(biāo)主軸方向目標(biāo)：通過已知的橢圓圓心和橢圓上三點(diǎn)，尋找橢圓坐標(biāo)主軸方向。圖 9原理：利用橢圓圓心，構(gòu)造二條共軛直徑，然后確定橢圓坐標(biāo)主軸方向方法：利用橢圓圓心，首先構(gòu)造一條共軛直徑，作圖共軛直徑端點(diǎn)的切線方向（確定另外一條共軛直

7、徑的方向），作平行線通過構(gòu)筑一條橢圓共軛弦，采用仿射幾何方法轉(zhuǎn)換為二條共軛直徑。1) 作AB割線的切線極點(diǎn)N圖 102) 作AF共軛直徑(連接OA)，作CL共軛弦(平行AN) 圖 113) 仿射幾何構(gòu)筑OE共軛半徑圖 12方法：作直徑為AF的圓，過N點(diǎn)作MN垂直AF，作三角形MNL. 作KO垂直AF，過K點(diǎn)作MLDE 平行線，KE和OE延伸交于E點(diǎn)。依據(jù)仿射原理，可知，OE為橢圓的共軛半徑。4) 構(gòu)筑橢圓坐標(biāo)主軸方向圖 13方法：繞橢圓圓心O點(diǎn)，OE旋轉(zhuǎn)90度，獲得N點(diǎn)，連接NA連線，獲得NA中點(diǎn)KK點(diǎn)為圓心，作任意半徑的圓，與KO交于W點(diǎn)，與NA交于H、G點(diǎn)。. 則WC為長(zhǎng)軸方向，HW為短軸

8、方向，完成橢圓坐標(biāo)主軸方向確定。證明：分析OK線段的斜率與NA線段的斜率的關(guān)系（1）共軛直徑的性質(zhì)圖 14 如果，點(diǎn)，橢圓共軛直徑推理，則有， 對(duì)于點(diǎn)C分析，則有： ， （2）共軛直徑的橢心角為90° 簡(jiǎn)單分析可以得到，C1OA190° 圖 15（3）共軛半徑旋轉(zhuǎn)90°圖 16 分析可以得知：，C點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°，則：， （4）圖形分析研究圖 17 問題1：延伸連線NK，與坐標(biāo)軸交于U、V兩點(diǎn)。要構(gòu)筑橢圓坐標(biāo)主軸方向的方法成立，只需證明1VOA1VOK=OVU=1，即證明OKV和ONU是等腰三角形，命題就成立。 現(xiàn)在，VOK=1 已經(jīng)成立 ，由于： ，

9、 則： 坐標(biāo)，可以化為 分析NA線段的斜率：則： ， 等腰三角形圖形成立，命題成立。問題2：K點(diǎn)為OA1與NA線段的交點(diǎn)，是不是位于NA線段的中點(diǎn)啊。 假如K為NA線段的中點(diǎn)，分析K、A1、O三點(diǎn)共線，就ok K點(diǎn)坐標(biāo)， 對(duì)于OK線段分析斜率： ，斜率相同，命題成立。四、確定橢圓長(zhǎng)軸a和短軸b目標(biāo)：已知橢圓心和坐標(biāo)軸、已知橢圓上二點(diǎn)，確定橢圓長(zhǎng)軸a和短軸b原理：運(yùn)用極點(diǎn)和極線關(guān)系，構(gòu)造自配極三角形，確定橢圓長(zhǎng)軸和短軸位置。方法：利用橢圓上二點(diǎn)構(gòu)造軸對(duì)稱二點(diǎn)，構(gòu)成橢圓內(nèi)接四邊形，連接對(duì)角線，獲得交叉點(diǎn)和對(duì)邊交叉點(diǎn)，運(yùn)用二個(gè)極點(diǎn)的數(shù)學(xué)關(guān)系，完成長(zhǎng)軸和短軸位置。 1）構(gòu)造自配極三角形，尋找二個(gè)對(duì)偶極點(diǎn)圖 18 E點(diǎn)為B點(diǎn)的軸對(duì)稱點(diǎn)，N點(diǎn)為x軸與AE的交叉點(diǎn) 令 ，極點(diǎn)極線關(guān)系方程分析得知： （類似橢圓準(zhǔn)線方程） 2）確定長(zhǎng)軸a位置 連線QN， K為QN中點(diǎn)，以K圓心半徑為KN畫圓，過O點(diǎn)作圓K的切線E，以O(shè)E為半徑原點(diǎn)O為圓心作一個(gè)圓，與 x軸交于F點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)即為長(zhǎng)軸a圖 193）確定長(zhǎng)軸b位置 利用切線方法，構(gòu)造割線AB的極點(diǎn)N點(diǎn)，過N點(diǎn)作水平線交y軸于G點(diǎn)，延伸割線AB與y軸交于P點(diǎn)，連線PG， K為PG中點(diǎn)，以K圓心半徑為KP畫圓，過O點(diǎn)作圓K的切線R，以O(shè)R為半徑原點(diǎn)O為圓心作一個(gè)圓，與y軸交于U點(diǎn)，U點(diǎn)即為短軸b圖 20 參考文獻(xiàn)：1 李建華.射影幾何入門M，科學(xué)出版