基于matlab的FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

1、基于matlab的FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)摘 要本文針對(duì)窗函數(shù)法、頻率采樣法和最優(yōu)化設(shè)計(jì)法三種設(shè)計(jì)方法，采用MATLAB 進(jìn)行FIR濾波器的設(shè)計(jì)與仿真，并比較了三種方法的特點(diǎn)。結(jié)果表明，在同樣的設(shè)計(jì)指標(biāo)下，利用等波紋切比雪夫逼近法則的設(shè)計(jì)可以獲得最佳的頻率特性和衰耗特性，具有通帶和阻帶平坦，過(guò)渡帶窄等優(yōu)點(diǎn)。 1. 引言數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)，簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是要找到一組能滿足特定濾波要求的系數(shù)向量a和b。而濾波器設(shè)計(jì)完成后還需要進(jìn)一步考慮如何將其實(shí)現(xiàn)，即選擇什么樣的濾波器結(jié)構(gòu)來(lái)完成濾波運(yùn)算。FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法很多，其中較為常用的是窗函數(shù)設(shè)計(jì)法、頻率采樣設(shè)計(jì)法和最優(yōu)化設(shè)計(jì)法。本文討論利用窗函數(shù)法、頻率采

2、樣法和等波紋切比雪夫逼近法（調(diào)用remez函數(shù)）來(lái)分別實(shí)現(xiàn)各種FIR濾波器的設(shè)計(jì)。2. FIR濾波器設(shè)計(jì)方法FIR濾波器設(shè)計(jì)的可以是選擇有限長(zhǎng)度的，使傳輸函數(shù)滿足一定的幅度特性和線性相位要求。由于FIR 濾波器很容易實(shí)現(xiàn)嚴(yán)格的線性相位，所以FIR 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的核心思想是求出有限的脈沖響應(yīng)來(lái)逼近給定的頻率響應(yīng)。設(shè)計(jì)過(guò)程一般包括以下三個(gè)基本問(wèn)題： （1） 根據(jù)實(shí)際要求確定數(shù)字濾波器性能指標(biāo)；（2）用一個(gè)因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這個(gè)理想性能指標(biāo)；（3）用一個(gè)有限精度的運(yùn)算去實(shí)現(xiàn)這個(gè)傳輸函數(shù)。 2.1 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的最簡(jiǎn)單的方法是窗函數(shù)法，通常也稱之為傅立葉級(jí)數(shù)法。FIR數(shù)字濾波器

3、的設(shè)計(jì)首先給出要求的理想濾波器的頻率響應(yīng),設(shè)計(jì)一個(gè)FIR數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)，去逼近理想的濾波響應(yīng)。然而，窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器是在時(shí)域進(jìn)行的，因而必須由理想的頻率響應(yīng)推導(dǎo)出對(duì)應(yīng)的單位取樣響應(yīng)，再設(shè)計(jì)一個(gè)FIR數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)去逼近。設(shè)計(jì)過(guò)程如下： 加窗的作用是通過(guò)把理想濾波器的無(wú)限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)乘以窗函數(shù)來(lái)產(chǎn)生一個(gè)被截?cái)嗟拿}沖響應(yīng)，即并且對(duì)頻率響應(yīng)進(jìn)行平滑。MATLAB工具箱提供的窗函數(shù)有：矩形窗(Rectangularwindow)、三角窗(Triangular window)、布拉克曼窗(Blackman window)、漢寧窗(Hanningwindow)、海明窗(Hammin

4、g window)、凱塞窗(Kaiser window)、切比雪夫窗(Chebyshev window)。窗函數(shù)主要用來(lái)減少序列因截?cái)喽a(chǎn)生的Gibbs效應(yīng)。但當(dāng)這個(gè)窗函數(shù)為矩形時(shí)，得到的FIR濾波器幅頻響應(yīng)會(huì)有明顯的Gibbs效應(yīng)，并且任意增加窗函數(shù)的長(zhǎng)度（即FIR濾波器的抽頭數(shù)）Gibbs效應(yīng)也不能得到改善。為了克服這種現(xiàn)象,窗函數(shù)應(yīng)該使設(shè)計(jì)的濾波器：（1） 頻率特性的主瓣寬度應(yīng)盡量窄,且盡可能將能量集中在主瓣內(nèi)；（2） 窗函數(shù)頻率特性的旁瓣趨于 的過(guò)程中，其能量迅速減小為零。2.2頻率采樣法頻率采樣法是從頻域出發(fā),根據(jù)頻域采樣定理，對(duì)給定的理想濾波器的頻率響應(yīng)加以等間隔的抽樣 ，得到：

5、k=0,1,N-1 再利用可求得FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)及頻率響應(yīng)。 而在各采樣點(diǎn)間的頻率響應(yīng)則是其的加權(quán)內(nèi)插函數(shù)延伸疊加的結(jié)果。但對(duì)于一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)的序列，用頻率采樣法必然有一定的逼近誤差,誤差的大小取決于理想頻響曲線的形狀, 理想頻響特性變換越平緩, 則內(nèi)插函數(shù)值越接近理想值,誤差越小。為了提高逼近的質(zhì)量，可以通過(guò)在頻率相應(yīng)的過(guò)渡帶內(nèi)插入比較連續(xù)的采樣點(diǎn)，擴(kuò)展過(guò)渡帶使其比較連續(xù)，從而使得通帶和阻帶之間變換比較緩慢，以達(dá)到減少逼近誤差的目的。 選取w0,2內(nèi)N個(gè)采樣點(diǎn)的約束條件為： 增大阻帶衰減三種方法：1）加寬過(guò)渡帶寬，以犧牲過(guò)渡帶換取阻帶衰減的增加。2）過(guò)渡帶的優(yōu)化設(shè)計(jì)利用線性最優(yōu)化的方法確定

6、過(guò)渡帶采樣點(diǎn)的值，得到要求的濾波器的最佳逼近（而不是盲目地設(shè)定一個(gè)過(guò)渡帶值）。3）增大N。如果要進(jìn)一步增加阻帶衰減，但又不增加過(guò)渡帶寬，可增加采樣點(diǎn)數(shù)N。代價(jià)是濾波器階數(shù)增加，運(yùn)算量增加。直接從頻域進(jìn)行設(shè)計(jì)，物理概念清楚，直觀方便；適合于窄帶濾波器設(shè)計(jì)，這時(shí)頻率響應(yīng)只有少數(shù)幾個(gè)非零值，但是截止頻率難以控制。典型應(yīng)用：用一串窄帶濾波器組成多卜勒雷達(dá)接收機(jī)，覆蓋不同的頻段，多卜勒頻偏可反映被測(cè)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)速度。2.3最優(yōu)化設(shè)計(jì)最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法是指采用最優(yōu)化準(zhǔn)則來(lái)設(shè)計(jì)的方法。在 FIR DF的最優(yōu)化設(shè)計(jì)中 ,最優(yōu)化準(zhǔn)則有均方誤差最小化準(zhǔn)則和等波紋切比雪夫逼近(也稱最大誤差最小化)準(zhǔn)則兩種。實(shí)際設(shè)計(jì)中 ,

7、只有采用窗函數(shù)法中的矩形窗 才能滿足前一種最優(yōu)化準(zhǔn)則 ,但由于吉布斯 (Gibbs )效應(yīng)的存在，使其根本不能滿足設(shè)計(jì)的要求。為了滿足設(shè)計(jì)的要求 ,可以采用其它的窗函數(shù)來(lái)消除吉布斯效應(yīng) ,但此時(shí)的設(shè)計(jì)已經(jīng)不能滿足該最優(yōu)化準(zhǔn)則了。因此 ,要完成 FIR DF的最優(yōu)化設(shè)計(jì) ,只能采用后一種優(yōu)化準(zhǔn)則來(lái)實(shí)現(xiàn)。3.仿真函數(shù) 利用數(shù)字信號(hào)處理工具箱中的 remezord 和 remez函數(shù)可以實(shí)現(xiàn) FIRDF的最優(yōu)化設(shè)計(jì)。在此先介紹這兩個(gè)函數(shù):(1)n ,fo ,ao ,weights =remezordf ,a ,dev功能:利用 remezord 函數(shù)可以通過(guò)估算得到濾波器的近似階數(shù) n ,歸一化頻率

8、帶邊界fo ,頻帶內(nèi)幅值ao 及各個(gè)頻帶內(nèi)的加權(quán)系數(shù)weights。輸入?yún)?shù)f為頻帶邊緣頻率 ,a 為各個(gè)頻帶所期望的幅度值 ,dev是各個(gè)頻帶允許的最大波動(dòng)。(2)h =remez(n ,fo ,ao ,weights, ftype)功能:利用 remez 函數(shù)可以得到最優(yōu)化設(shè)計(jì)的FIR DF的系數(shù) ,輸入?yún)?shù) n 是濾波器的階數(shù) ,fo ,ao ,weights參數(shù)含義說(shuō)明同 (1)。ftype 是所設(shè)計(jì)的濾波器類型 ,它除了可以設(shè)計(jì)普通的濾波器外 ,它還可以設(shè)計(jì)數(shù)字希爾鈔特變換器以及數(shù)字微分器。實(shí)際設(shè)計(jì)中 ,由于 remezord 函數(shù)可跑高估或低估濾波器的階數(shù) n ,因此在得到濾波器的

9、系數(shù)后 ,必須檢查其阻帶最小衰減是否滿足設(shè)計(jì)要求。如果此時(shí)的技術(shù)指標(biāo)不能滿足設(shè)計(jì)要求 ,則必須提高濾波器的階數(shù)到 n +1 ,n +2等。故等波紋切比雪夫逼近法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的步驟是： 給出所需的頻率響應(yīng)，加權(quán)函數(shù)和濾波器的單位取樣響應(yīng)的長(zhǎng)度N。 由中給定的參數(shù)來(lái)形成所需的、和的表達(dá)式。 根據(jù)Remez算法,求解逼近問(wèn)題。 利用傅立葉逆變換計(jì)算出單位取樣響應(yīng) 。4 .結(jié)果分析（1）窗函數(shù)法仿真結(jié)果圖1 窗函數(shù)設(shè)計(jì)的FIR低通濾波器頻率響應(yīng)從仿真結(jié)果可以看出，采用特殊的窗函數(shù)如Hamming窗，可以減小Gibbs效應(yīng)，但同時(shí)也會(huì)使濾波器的過(guò)度帶變寬。波動(dòng)幅度取決于窗函數(shù)幅度頻譜旁瓣的相對(duì)幅

10、度, 而波紋的多少取決于窗函數(shù)旁瓣的多少。以上兩點(diǎn)是就是窗函數(shù)直接截?cái)郒d(n)引起的截?cái)嘈?yīng)在頻域的反映, 截?cái)嘈?yīng)直接影響濾波器的性能, 因?yàn)橥◣?nèi)的波動(dòng)會(huì)影響濾波器痛帶中的平穩(wěn)性, 阻帶內(nèi)的波動(dòng)則影響阻帶最小衰減,因此,減少截?cái)嘈?yīng)也是FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的關(guān)鍵之一。（2）頻率采樣法仿真結(jié)果圖 2 FIR的單位取樣響應(yīng)圖3 FIR的低通衰減幅頻特性圖2為在間斷點(diǎn)處增加一個(gè)過(guò)渡點(diǎn)后的情況。從圖3,中可以看出濾波器的帶外衰減指標(biāo)有了明顯的改善!但這同時(shí)增加了濾波器的過(guò)渡帶寬。所以，在帶外衰減和過(guò)渡帶寬這兩個(gè)指標(biāo)之間需要有一個(gè)折衷。因頻率取樣點(diǎn)都局限在2/N的整數(shù)倍點(diǎn)上，所以在指定通帶和阻帶截

11、止頻率時(shí)，這種方法受到限制，比較死板。充分加大N，可以接近任何給定的頻率，但計(jì)算量和復(fù)雜性增加。頻率采樣法偏離設(shè)計(jì)指標(biāo)明顯，阻帶衰減最小，只有適當(dāng)選取過(guò)渡帶樣點(diǎn)值，才會(huì)取得較好的衰耗特性。（3）最優(yōu)化設(shè)計(jì)圖 4 濾波器輸出的幅頻及相頻響應(yīng)特性在設(shè)計(jì)中 ,如果該濾波器的特性不滿足要求 ,那么 ,原有參數(shù)必須作適當(dāng)調(diào)整。這在程序中很容易實(shí)現(xiàn) ,只需對(duì)參數(shù)進(jìn)行重新設(shè)定 ,就可以得到新條件下濾波器的特性。采用最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法時(shí)大大減小了濾波器的階數(shù),從而減小了濾波器的體積,并最終降低了濾波器的成本。這樣使得設(shè)計(jì)出來(lái)的濾波器更為簡(jiǎn)單經(jīng)濟(jì)。因而在實(shí)際的濾波器設(shè)計(jì)中,這種最優(yōu)化方法是完全可行的。在實(shí)際應(yīng)用中

12、,如果需要對(duì)某一信號(hào)源進(jìn)行特定的濾波 ,并要檢驗(yàn)濾波效果 ,應(yīng)用傳統(tǒng)方法實(shí)施起來(lái)比較繁瑣。在Matlab環(huán)境下,可先用軟件模擬產(chǎn)生信號(hào)源 ,再設(shè)計(jì)濾波器對(duì)其進(jìn)行濾波 。同樣是設(shè)計(jì)一個(gè)FIR低通數(shù)字濾波器，綜合分析可以看出： （1）窗函數(shù)法在階數(shù)較低時(shí)，阻帶特性不滿足設(shè)計(jì)要求，只有當(dāng)濾波器階數(shù)較高時(shí)，使用海明窗和凱塞窗基本可以達(dá)到阻帶衰耗要求； （2）頻率采樣法偏離設(shè)計(jì)指標(biāo)最明顯，阻帶衰減最小，而且設(shè)計(jì)比采用窗函數(shù)法復(fù)雜。只有適當(dāng)選取過(guò)渡帶樣點(diǎn)值，才會(huì)取得較好的衰耗特性； （3）利用等波紋切比雪夫逼近法則的設(shè)計(jì)可以獲得最佳的頻率特性和衰耗特性，具有通帶和阻帶平坦，過(guò)渡帶窄等優(yōu)點(diǎn)。 5.結(jié)論綜上所述，F(xiàn)IR 濾波器很容易實(shí)現(xiàn)具有嚴(yán)格線性相位的系統(tǒng), 使信號(hào)經(jīng)過(guò)處理后不產(chǎn)生相位失真,舍入誤差小,而且穩(wěn)定，因此越來(lái)越受到廣泛的重視。MATLAB軟件的誕生, 使數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)得簡(jiǎn)單,它已經(jīng)成為電子工程師必備的一個(gè)工具軟件。參考文獻(xiàn)1 張亞妮. 基于 MATLAB 的數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)J. 遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào), 2005, 24 (5): 716-718. 2 饒志強(qiáng)