四邊形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、四邊形知識(shí)點(diǎn)：名稱定義性質(zhì)判定面積平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。對(duì)邊平行；對(duì)邊相等；對(duì)角相等；鄰角互補(bǔ)；對(duì)角線互相平分；是中心對(duì)稱圖形定義；兩組對(duì)邊分別相等的四邊形；一組對(duì)邊平行且相等的四邊形；兩組對(duì)角分別相等的四邊形；對(duì)角線互相平分的四邊形。S=ah(a為一邊長(zhǎng)，h為這條邊上的高)矩形有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形具有平行四邊形的性對(duì)角線相等；既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形。四個(gè)角都是直角定義對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；。S=ab(a為一邊長(zhǎng)，b為另一邊長(zhǎng))菱形有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。具有平行四邊形的性質(zhì)對(duì)角線互相垂直，且每

2、一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形。四邊形相等 四條邊相等的四邊形是菱形；對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形；定義。S=ah(a為一邊長(zhǎng)，h為這條邊上的高)；(b、c為兩條對(duì)角線的長(zhǎng))正方形有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的性質(zhì)：四個(gè)角是直角，四條邊相等；對(duì)角線相等，互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形。 有一組鄰邊相等的矩形是正方形； 有一個(gè)角是直角的菱形是正方形； 定義。(a為邊長(zhǎng))；(b為對(duì)角線長(zhǎng))一、 關(guān)系結(jié)構(gòu)圖：1四邊形的內(nèi)角和與外角和定理：（1）四邊形的內(nèi)角和等于360°；（2）

3、四邊形的外角和等于360°.2多邊形的內(nèi)角和與外角和定理：（1）n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)180°；（2）任意多邊形的外角和等于360°.直角三角形性質(zhì)1:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如圖，BAC=90°，則AB²+AC²=BC²（勾股定理)性質(zhì)2:在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余。如圖，若BAC=90°，則B+C=90°性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)，外接圓半徑R=C/2）。該性質(zhì)稱為直角三角形斜邊中線定理。性質(zhì)4:直角三角形的兩直角邊的

4、乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積。性質(zhì)5.在直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于它斜邊的一半。判定判定1若，則以a、b、c為邊的三角形是以c為斜邊的直角三角形（勾股定理的逆定理）。判定2：若一個(gè)三角形30°內(nèi)角所對(duì)的邊是某一邊的一半，則這個(gè)三角形是以這條長(zhǎng)邊為斜邊的直角三角形判定3若在一個(gè)三角形中一邊上的中線等于其所在邊的一半，那么這個(gè)三角形為直角三角形。參考直角三角形斜邊中線定理1常見(jiàn)圖形中，僅是軸對(duì)稱圖形的有：角、等腰三角形、等邊三角形、正奇邊形、等腰梯形 ；僅是中心對(duì)稱圖形的有：平行四邊形 ；是雙對(duì)稱圖形的有：線段、矩形、菱形、正方形、正偶邊形、圓 .注意：線段有兩條對(duì)稱

5、軸.1若n是多邊形的邊數(shù)，則對(duì)角線條數(shù)公式是：.三精典例題解答：1已知：如圖，E、F是平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，AE=CF。求證：（1）ADFCBE；（2）EBDF。證明：（1） AE=CF AE+EF=CF+FE 即 AF=CE 又ABCD是平行四邊形， AD=CB，ADBC DAF=BCE 在ADF與CBE中 ADFCBE（SAS）（2） ADFCBE DFA=BEC DFEB 例1圖 例2圖2如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F是直線AC上的兩點(diǎn)，并且AE=CF，求證：四邊形BFDE是平行四邊形。證明： 四邊形ABCD是平行四邊形 OA=OC，OB=

6、OD又 AE=CF OA+AE=OC+CF 即 OE=OF 四邊形BFDE是平行四邊形3如圖，在梯形紙片ABCD中，ADBC，AD>CD，將紙片沿過(guò)點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)C落在AD上的點(diǎn)C處，折痕DE交BC于點(diǎn)E，連結(jié)。求證：四邊形是菱形。證明：根據(jù)題意可知 則 ， ADBC CDE=CED CD=CE 四邊形為菱形 例3圖4把正方形ABCD繞著點(diǎn)A，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到正方形AEFG，邊FG與BC交于點(diǎn)H（如圖）。試問(wèn)線段HG與線段HB相等嗎？請(qǐng)先觀察猜想，然后再證明你的猜想。 解：HG=HB。證法1：連結(jié)AH， 四邊形ABCD，AEFG都是正方形 B=G=90° 由題意知AG

7、=AB，又AH=AH RtAGHRtABH（HL） HG=HB證法2：連結(jié)GB 四邊形ABCD，AEFG都是正方形 ABC=AGF=90° 由題意知AB=AG AGB=ABG ABC-ABG =AGF-AGB 即HBG=HGB HG=HB5如圖，正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°后得到正方形AEFG，邊EF與CD交于點(diǎn)O。 （1）以圖中已標(biāo)有字母的點(diǎn)為端點(diǎn)連結(jié)兩條線段（正方形的對(duì)角線除外），要求所連結(jié)的兩條線段相 交且互相垂直，交說(shuō)明這兩條線段互相垂直的理由；（2）若正方形的邊長(zhǎng)為2cm，重疊部分（四邊形AEOD）的面積為，求旋轉(zhuǎn)的角度n。解：（1）我連結(jié)的兩條相交且互相垂

8、直的線段是_AO_和_DE_。 理由如下： 在RtADO與RtAEO中，AD=AE，AO=AO， RtADORtAEO DAO=OAE（即AO平分DAE） AODE（等腰三角形的三線合一） 注：其它的結(jié)論也成立如GDBE。（2） 四邊形AEOD的面積為 三角形ADO的面積= AD=2 DAO=30° EAB=30°即旋轉(zhuǎn)的角度是30° 例5圖 例6圖6四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG。 （1）求證：AE=CG；（2）觀察圖形，猜想AE與CG之間的位置關(guān)系，并證明你的猜想。證明：（1）如圖， AD=CD，DE=DG，ADC=GDE=90°

9、 又 CDG=90°+ADG=ADE ADECDG AE=CG（2）猜想：AECG。 證明：如圖，設(shè)AE與CG交點(diǎn)為M，AD與CG交點(diǎn)為N ADECDG DAE=DCG 又 ANM=CND AMNCDN AMN=ADC=90° AECG7已知：如圖，在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足為點(diǎn)D，AN是ABC外角CAM的平分線，CEAN，垂足為點(diǎn)E，（1）求證：四邊形ADCE為矩形；（2）當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCE是一個(gè)正方形？并給出證明。證明：（1）在ABC中，AB=AC，ADBC BAD=DAC AN是ABC外角CAM的平分線 MAE=CAE 又 ADBC，C

10、EAN ADC=CEA=90° 四邊形ADCE為矩形（2）當(dāng)時(shí)（答案不唯一），四邊形ADCE是正方形。 證明： AB=AC，ADBC于D 又 DC=AD 由（1）四邊形ADCE為矩形 矩形ADCE是正方形 例8圖8將平行四邊形紙片ABCD按如圖方式折疊，使點(diǎn)C與A重合，點(diǎn)D落到處，折痕為EF。（1）求證：ABEADF；（2）連接CF，判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論。證明：（1）由折疊可知：， 四邊形ABCD是平行四邊形 B=D，AB=CD，C=BAD B=D，AB=AD DAE=BAD，即1+2=2+3 1=3 ABEADF（2）四邊形AECF是菱形。 由折疊可知：

11、AE=EC，4=5 四邊形ABCD是平行四邊形 ADBC 5=6 4=6 AF=AE AE=EC AF=EC 又 AFEC 四邊形AECF是平行四邊形 AF=AE 四邊形AECF是菱形。9如下圖，已知P正方形ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn)(不與A、C重合)，PEBC于點(diǎn)E，PFCD于點(diǎn)F （1）求證：BP=DP；（2）若四邊形PECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中是否總有BP=DP？若是，請(qǐng)給予證明；若不 是，請(qǐng)用反例加以說(shuō)明；（3）試選取正方形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)，分別與四邊形PECF的兩個(gè)頂點(diǎn)連結(jié)，使得到的兩條線段在四邊 形PECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的過(guò)程中長(zhǎng)度始終相等，并證明你的結(jié)論

12、思路分析：（1）解法一：在ABP與ADP中，利用全等可得BP=DP 解法二：利用正方形的軸對(duì)稱性，可得BP=DP （2）不是總成立當(dāng)四邊形PECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到BC邊上時(shí)， DP>DC>BP，此時(shí)BP=DP不成立 說(shuō)明：未用舉反例的方法說(shuō)理的不得分 （3）連接BE、DF，則BE與DF始終相等 在圖中，可證四邊形PECF為正方形， 在BEC與DFC中，可證BECDFC 從而有BE=DF10為創(chuàng)建綠色校園，學(xué)校決定對(duì)一塊正方形的空地進(jìn)行種植花草，現(xiàn)向?qū)W生征集設(shè)計(jì)圖案圖案要求只能用圓弧在正方形內(nèi)加以設(shè)計(jì)，使正方形和所畫(huà)的圖弧構(gòu)成的圖案，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形種

13、植花草部分用陰影表示請(qǐng)你在圖、圖、圖中畫(huà)出三種不同的的設(shè)計(jì)圖案提示：在兩個(gè)圖案中，只有半徑變化而圓心不變的圖案屬于同一種，例如：圖、圖只能算一種解：以下為不同情形下的部分正確畫(huà)法，答案不唯一11如圖，等腰梯形ABCD中，AB=15，AD=20，C=30°。點(diǎn)M、N同時(shí)以相同速度分別從點(diǎn)A、點(diǎn)D開(kāi)始在AB、AD（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)。（1）設(shè)ND的長(zhǎng)為x，用x表示出點(diǎn)N到AB的距離，并寫出x的取值范圍。（2）設(shè)，用t表示AMN的面積。（3）求AMN的面積的最大值，并判斷取最大值時(shí)AMN的形狀。解：（1）過(guò)點(diǎn)N作BA的垂線NP，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P。 由已知：，。 四邊形ABCD是等腰梯形，ABCD，D=C=30°， PAN=D=30°。 在RtAPN中， 即點(diǎn)N到AB的距離為。 點(diǎn)N在AD上，點(diǎn)M在AB上， x的取值范圍是。（2）根據(jù)（1），。（3） ， 當(dāng)t=0時(shí)，即x=10時(shí)，有最大值25。 當(dāng)x=10時(shí)，即ND=AM=10，AN=AD-ND=10，即AM=AN。 此時(shí)，AMN為等腰三角形。12（08通州22改編）如圖，在ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，DAB=60°，點(diǎn)M是邊AD上一點(diǎn)，且DM=2cm，點(diǎn)E、F分別是邊AB、BC上的點(diǎn)，EM、CD的延長(zhǎng)線交于G，GF交AD于O，設(shè)AE=CF=x，（1）試用含x的代數(shù)式表示CG