1018線(xiàn)面垂直答案

1、1.如圖 1,在直角梯形 ABCQ 中，AB/CD, 4B 丄 4D，且=ADA-CDAl.現(xiàn)以4D為一邊向梯形外作正方形4DEF，然后沿邊 4D將正方形 4DEF翻折，使平 面4DEF與平面 ABCD垂直，M為ED的中點(diǎn)，如圖 2.圖1(1) 求證：AM /平面BEC ;(2) 求證：BC丄平面BDE; 求點(diǎn)D到平面BEC的距離.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析 一3【解析】試題分析：(1) 要證明線(xiàn)面平行，取 EC中點(diǎn)N ,連結(jié)MN,BN ,其中線(xiàn)段BN在面BEC中，根據(jù)線(xiàn)面平行的判斷只需要證明線(xiàn)段BN與AM平行即可，根據(jù) MN為所在線(xiàn)段的中點(diǎn)，利用中位線(xiàn) 定理即可得到 MN平行且等于 D

2、C的一半，題目已知 AB平行且等于 DC的一半，則可 以得到 MN與AB平行且相等，即四邊形 ABMN為平行四邊形，而 AM與BN為該平行 四邊形的兩條 對(duì)邊，則 AM與BN平彳丁，即得到線(xiàn)段 A平行于面 BEC.(2) 題目已知面ABCD與ADEF垂直且ED垂直于這兩個(gè)面的交線(xiàn)，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得線(xiàn)段 ED垂直于面 ABCD,再根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可得到BC垂直于ED,根據(jù)梯形 ABCD為直角梯形和邊長(zhǎng)關(guān)系和勾股定理可以得到BC與BD垂直，即線(xiàn)段 BC與面BED中兩條相交的線(xiàn)段 ED, BD相互垂直，根據(jù)線(xiàn)面垂直的判斷即可得到線(xiàn)段BC垂直于面BED(3) 要求點(diǎn)面距離可以考慮利用三棱錐

3、D-BEC體積的等體積法，即分別以D點(diǎn)和E點(diǎn)作為頂點(diǎn)求解三棱錐 D-BEC的體積，當(dāng)以 E作為頂點(diǎn)時(shí)，DE為高，三角形BCD為底面， 求 岀高和底面積得到三棱錐的體積，當(dāng)D為頂點(diǎn)，此時(shí)，高為 D到面BEC的距離，而三角形BEC為底面，利用三角形的勾股定理得到BE的長(zhǎng)度，求岀三角形 BEC的面積，利用三棱錐 的體積公式即可得到 D到面BEC的距離.試題解析：證明：取EC中點(diǎn)N,連結(jié)MN,BN .在厶EDC中，M,N分別為EC, ED的中點(diǎn)，所以 MN / CD, S.MN = -CD.2/CD, AB = -CD.所 UBN AM .4 分4M所以AM 平面BEC . 中，ED丄AD.ABCD

4、,且平面ADEF Pl平面2且AM平面BEC,又因?yàn)锽Nu平面BEC,且(2)在正方形4DEF又因?yàn)槠矫?ADEF丄平面所以且 M?V = AB.所以四邊形4BMW 為平行四邊形ABCD = AD ,所以ED丄平面 ABCD.所以ED丄BC.在直角梯形 ABCD中，AB = AD = 1, CD = 2,可得BC = 42.在厶 BCD 中，BD = BC = A2,CD = 2,所以 BD2 + BC" = CD-.所以BC丄BD.8分所以BC丄平面BDE.10分(3)解法一：因?yàn)?BC u平面BCE ,所以平面BDE丄平面BEC .11分過(guò)點(diǎn)D作EB的垂線(xiàn)交EB于點(diǎn)G,則DG丄平

5、面BEC所以點(diǎn)D到平面BEC的距離等于線(xiàn)段 DG的長(zhǎng)度12分在直角三角形 BDE中，S礙de =ABD DE = ABEDGBD DEBE解法二：BEu平面BDE,所以BC丄BE所以SAcD=qBDBC = q疋疋=,又AE-BCD = V d-BCE，設(shè)點(diǎn)D到平面BEC的距離為h.&憂(yōu)也-y BE BC4 -嚴(yán)、MCE v 6則AABCD DE = ? S皿E ? h,所以力=S 営 D DE =_a = f r所以點(diǎn)D到平面BEC的距離等于蟲(chóng).14分3考點(diǎn)：勾股定理線(xiàn)面平行，線(xiàn)面垂直等體積法2.（本小題滿(mǎn)分12分）在如圖所示的多面體中，四邊形 ABBA和4CGA都為矩形。AfGBi

6、EA-CDB（I）若AC丄BC,證明：直線(xiàn) BC丄平面 ACC, A,；（II）設(shè)D , E分別是線(xiàn)段 BC , CC的中點(diǎn)，在線(xiàn)段 AB上是否存在一點(diǎn) M，使直 線(xiàn) DEH平面A.MC?請(qǐng)證明你的結(jié)論。【答案】 （1）證明詳見(jiàn)解析；（2）存在，M為線(xiàn)段 AB的中點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)DED平面A.MC.【解析】試題分析：（1）證直線(xiàn)垂直平面，就是證直線(xiàn)垂直平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn) ？已經(jīng)有4C丄BCT，那么再在平面內(nèi)找一條直線(xiàn)與 BC垂直.據(jù)題意易得，幽丄平面 ABC,所以丄 BC.由此得BC丄平面ACCA .（2）首先連結(jié)，取£（7的中點(diǎn)0.考慮到D , E分別是線(xiàn)段BC, CG的中點(diǎn)，故在線(xiàn)段

7、 AB上取中點(diǎn) M ,易得DE D MO.從而得直線(xiàn) DE Z7平面A.MC .試題解析：（I）因?yàn)樗倪呅?ABB.A,和ACG4都是矩形,所以丄丄AC.因?yàn)锳B, AC為平面ABC內(nèi)的兩條相交直線(xiàn),所以？ 1%丄平面ABC.因?yàn)橹本€(xiàn)BCu平面ABC內(nèi)，所以幽丄 BC.又由已知，AC丄BC,AA,AC為平面ACCA內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)所以，BC丄平面ACCA .取線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M,連接 則,MC,£C,ACi ,設(shè)0為AC,A C】的交點(diǎn).由已知,AC】的中點(diǎn)連接MD, 0E,則MD, 0E分別為AABC,AACG 的中位線(xiàn).所以，MDZ7 丄 AC,OED- AC,:. MDOOE ,

8、=2 =2 =連接0M,從而四邊形 MDEO為平行四邊形，則 DE U MO .因?yàn)橹本€(xiàn)DE（Z平面AMC , MOu平面AAMC ,所以直線(xiàn)DED平面MC.即線(xiàn)段AB上存在一點(diǎn) M （線(xiàn)段AB的中點(diǎn)），使得直線(xiàn) DEC平面A.MC.【考點(diǎn)定位】空間直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系3如圖：在四棱錐 P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA = AB = 2 ,PB = PD = 2V2,點(diǎn) E 在 PD 上，且 PEA-PD.3求證：P4丄平面ABCD ;(2) 求二面角E-AC-D的余弦值；(3) 證明：在線(xiàn)段BC上存在點(diǎn)F,使PF 平面EAC,并求BF的長(zhǎng).【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2) - ;

9、(3)證明見(jiàn)解析.BF = 1.3【解析】試題分析：(1)要證線(xiàn)面垂直，就是要證PA與平面ABCD內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)垂直，如雖然題中沒(méi)有給岀多少垂直關(guān)系，但有線(xiàn)段的長(zhǎng)度，實(shí)際上在APAB中應(yīng)用勾股定理就能證明PA丄AB,同理可證P4丄4D ,于是可得PA丄平面ABCD ; (2)由于在(1)已經(jīng)證明了兩兩垂直，因此解決下面的問(wèn)題我們可以通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法解題.以4為原點(diǎn)，分別為 x,y,z軸 建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)岀相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，A(0,0,0) , B(2,0,0), C(2,2,0),2 4D(0,2,0), P(0,0,2), E(O,-,j),這樣我們只要求岀平面E4

10、C和平面DAC的法 向量，利用法向量的夾角與二面角相等可互補(bǔ)可得所求二面角大?。?3)線(xiàn)段BC上的點(diǎn)F的坐標(biāo)可寫(xiě)為(2, a,0),這樣若有 PF II平面EAC，即麗與(2)中所求平面 EAC的法向量垂直，由此可岀 Q,若0WaW2,說(shuō)明在線(xiàn)段BC上存在符合題意的點(diǎn)，否則就是不存在.試題解析：(1)證明：=PB = 2V2，? PA + AB2 = PB2PA丄4B,同理P4丄4D2分又 ABCADAA, .-.PA 丄平面 ABCD. 4 分以4為原點(diǎn)，分別為 x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，2 4則 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2)

11、, E(0,6 分 平面4CD的法向量為喬=(0,0,2),設(shè)平面EAC的法向量為 n = (x, y, z)AC = (2t2.0).4T =n- AC 0 由 < n ? AE = 0取y = -2設(shè)二面角E-AC-D的平面角為&n-AP11cos6 = 一 丫/.二面角E-AC-D的余弦值為10分1771 I API 33(3)假設(shè)存在點(diǎn)FeBC，使PF 平面EAC,令 F(2,a,0), (0 <12? < 2)分PF = (2,a,-2)由 PF 平面 EAC , .-.PF n = 0,解得 a = l存在點(diǎn)F(2,l,0)為BC的中點(diǎn)，即BF = l.

12、14分考點(diǎn)：線(xiàn)面垂直，空間向量與二面角，空間向量與線(xiàn)面平行4.如圖，在四棱臺(tái) ABCD-A.BAD,中，底面4BCD是平行四邊形，丄平面ABCD , AB = 2AD , AD =佔(zhàn)，ZBAD = 60 °(2)證明：CC/平面 A.BD.(1)證明：BD丄平面【答案】；1)詳見(jiàn)解析；(2)詳見(jiàn)解析【解析】'BD丄AD,再試題分析：(1)先用余弦定理確定 BD與AD的等量關(guān)系，利用勾股定理得到用DD,丄平面ABCD得到DD,丄BD ,最后利用直線(xiàn)與平面垂直的判定定理得到 BD丄平面ADD.A, ；(2)連接AC. AG，設(shè)ACABD = E,連接幽，禾U用棱臺(tái)底面的相似比得到

13、CJJEC,從而證明四邊形 4ECG為平行四邊形，得到CC, 平面 BD .CC, HAE ,最后利用直線(xiàn)與平面平彳丁的判定定理得到BD- = AD- + AB 2 -2AD- AB- cos60 ° 3AD2AD-+ BD =?AB-, 因此，AD 丄 BDD丄平D Pl DBDN BD u 平面 ABCD , ? 平面AD：)連扌妾AC、AS,設(shè)AC佻=E y連接硝,DDx丄BD由棱臺(tái)定義AB=AD = 2A5i 知 AG/EC ,且AC=】L=EC，?.?四邊形ABCD是平行四邊形，2?四邊形AECC是平行四邊形，因此 cci/EA又 EA'；ju 平面 AABD CC

14、(Z 平面 ABD /. CC; 平面 BD 考點(diǎn):5.如圖，在二棱錐 S-AB1.直線(xiàn)與平面垂2扌與平面平行的判定，S4 丄底面 ABC, A ABC = 90，。點(diǎn) M 是ASA=AB,點(diǎn)，4N丄SC且交SC于點(diǎn)N.(1)求證：SC丄平面4MN ;當(dāng)AB = BC =1時(shí)，求三棱錐 M -S4N的體積.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.36【解析】試題分析：（1）山已知條件 S4丄平面 ABC得到S4丄BC，再山已知條件得到 丄從而得 到BC丄平面S4B,進(jìn)而得到BC丄4M,利用等腰二角形二線(xiàn)合 一得到AM丄SB,結(jié)合直 線(xiàn)與平面垂直的判定定理得到 AN丄平面SBC,于是得到 AM丄SC,結(jié)合題中已知條件 AN 丄SC以及直線(xiàn)與平面垂直的判定定理得到 SC丄平面AMN ； （ 2）禾U用（1）中的結(jié)論 SC丄平面然后以點(diǎn) S為頂點(diǎn)，以SN為高，結(jié)合等體積法求岀三棱錐 M-S4N的體積.（1）證明：？S4L底面 ABC, :.BC 丄 S4又易知 BC 丄 AB,BC 丄平面 SAB, .BC 丄 AM,又